专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题04. 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例2（2025·四川乐山·二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 例4（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 1．（2025·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D．6 3．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·黑龙江·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 5．（2025·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 6．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    7．（2025·河北·校考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 8．（25-26·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 9．（2025·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 10．（2025·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 11．（25-26上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 12．（25-26·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 13．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 14．（25-26·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 16．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04. 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，故答案为：． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：即， ∴在中，，∴的最小值为． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（24-25·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 例2（2025·四川乐山·二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．    ∵在菱形中，，∴， ∵，∴，，即．∴．∴． ∵∴当时，即F与重合时，有最小值 ∴的最小值．故选B． 例3（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得，∴，∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴， ∴，即：的最小值为． 例4（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，，， 的垂直平分线是，， ，的最小值为， ，∴的最小值为． 例5（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∴，∴，∴，， 由折叠得，，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，∴，故选：． 例6（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例7（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积；(3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1：连接，四边形是菱形，． ，，. 是的垂直平分线，，； （2）解：如图1：过点作于点， ，，即．，． ∵四边形是菱形，，． ，， ，，过点A作于点， 在中，，∴ 根据勾股定理，得，； （3）解：如图：连接，， ，，当点A、、三点共线时（如图）， 即时，取得最小值，在中，由（2）得：，的最小值为． 1．（2025·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】解：如图，过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，则∠BEP＝90°，    在Rt△BPE中，sin∠PBE＝，∴sin30°＝＝，∴PE＝BP， 过点O作OF⊥BH，垂足为点F，则∠OFB＝90°， ∵OP＋PE≥OE≥OF，垂线段最短，∴OP＋BP≥OE≥OF，∴OP＋BP的最小值为线段OF的长， ∵在矩形ABCD中，∴∠BCD＝90°，，，， ∴，， ∴∠CBD＝30°，，∴∠HBD＝∠CBH＋∠CBD＝60°，， ∵在Rt△BOF中，sin∠OBF＝，∴sin60°＝，解得：， ∴OP＋BP的最小值为，故选：A． 3．（2025·山东·校考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 4．（2025·黑龙江·校考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，，∴∠ABP=30°，，， 由垂线段最短可知，的最小值为的长，， 即的最小值是：，故答案是：． 5．（2025·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 6．（2025·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 7．（2025·河北·校考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：． （2）过点P作于点E，过点M作于点F，    在中，由（1）知：，∴，∴， 在矩形中，，∵，∴， 在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2． 8．（25-26·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 9．（2025·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 【答案】3 【详解】解：如图，过作交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，线段的和最小， ∵，，∴， 即：的最小值等于3；故答案为：3． 10．（2025·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 【答案】3 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F, ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP; ∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3; ∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时, PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3. 11．（25-26上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得，∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴，∴， 即：的最小值为．故答案为：． 12．（25-26·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H， ∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°， 设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a， ∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5， AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5． 13．（25-26·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 14．（25-26·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为， ，，， 把代入中得：，解得：； （2）由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ，设点的横坐标为，则， 解得：，把代入中得：，； （3）如图所示，过点作轴交于点， ，，， 作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ，， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ，，，， 在中，，， 在中．，的最小值为． 15．（2025·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 16．（2025·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形的边、上的中点分别为点E、F，且，．(1)若的延长线交于点，，求的面积．(2)在（1）的条件下，点是直线上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点F作于点N，作交的延长线于点H，过点C作于点M，在中，，，，    在中，，，，同理可得， ，，， ； （2）解：如图，过点P作于点K，连接，， 由（2）知中，，，， ，， ，， 是直角三角形，，， 又F是边上的中点，垂直平分，． 在中，， ，， 由（2）知，的最小值是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $