专题03 二元一次方程组与一次函数问题（6大题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题03 二元一次方程组与一次函数问题 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解（常考点） 题型2 二元一次方程组确定一次函数的表达式（重点） 题型3 求两直线围成图形的面积（重点） 题型4利用一次函数求二元一次方程组的应用中最值（难点） 题型5 利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题（难点） 题型6 一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解（共5小题） 1．（24-25八年级下·云南保山）直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国）已知的解为，则直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 4．（24-25八年级上·广东茂名）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 5．（24-25八年级下·云南丽江）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 题型二 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（共5小题） 6．（24-25八年级下·吉林）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 7．（24-25八年级上·江苏）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点M在x轴的负半轴上，的面积为6．若一次函数的图象经过点M和点B，求这个一次函数的表达式． 8．（23-24八年级下·北京密云）已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系内画出该一次函数的示意图． (3)若，直接写出的取值范围． 9．（24-25八年级上·全国）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 10．（24-25八年级下·陕西安康）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G是直线上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线交于点H，且满足．求点G的坐标． 题型三 求两直线围成图形的面积（共6小题） 11．（24-25八年级下·四川南充）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 12．（24-25八年级下·湖南永州）已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． x 0 y 2 0 13．（24-25八年级上·江苏苏州）如图，已知直线与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与y轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 14．（24-25八年级下·陕西安康）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 15．（24-25八年级下·黑龙江七台河）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 16．（24-25八年级上·全国）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，已知A，B． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C在坐标轴上，且，求点C的坐标； (3)点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线的对称点恰好落在x轴的正半轴上，与相交于点Q，求点的坐标． 题型四 利用一次函数求二元一次方程组的应用的最值（共5小题） 17．（24-25八年级下·内蒙古通辽）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 18．（24-25八年级下·河南商丘）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 19．（24-25七年级下·山东青岛）为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和为，匹克球拍不少于副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 20．（24-25八年级下·河北承德）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式．某商场抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折． 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件（）．方案一、二所需付款的金额分别为元、元． (1)分别写出，与x之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算； (3)当时，如果用方案一购买a件运动外套，其余用方案二购买，购买总费用为w元，则当a取何值时，所需付款的金额最少？ 21．（23-24八年级上·甘肃张掖）某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元． 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 (1)三人间、双人间普通客房各住了多少间？ (2)设三人间共住了人，三人间与双人间一天一共花去住宿费用元表示，写出与的函数关系式； (3)如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？ 题型五 利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题（共7小题） 22．（24-25八年级上·辽宁丹东）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 23．（24-25八年级下·河北张家口）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 24．（24-25八年级下·广西贵港）南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式； (2)求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？ 25．（24-25八年级下·吉林）已知A，B两地相距．甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．图表示甲、乙两辆货车距A地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的数量关系；图表示甲、乙两辆货车间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的数量关系．根据以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)求甲、乙货车距A地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式； (3)写出点P的坐标为______； (4)当两辆货车相距时，直接写出t值． 26．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 27．（24-25八年级下·广东广州）已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系． 根据图象解答下列问题： (1)甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度； (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式； (4)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离． 28．（24-25九年级上·陕西安康）如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程与行驶的时间之间的函数图象如图②所示． (1)分别求出、与x之间的函数解析式； (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值： (3)直接写出当甲、乙两人相距时x的值． 题型六 一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题（共7小题） 29．（24-25八年级下·全国）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（拓展：若平面直角坐标系内有两点和，则两点间的距离） 30．（24-25八年级下·全国）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点的面积为；直线与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，求点的坐标． 31．（24-25八年级上·广东深圳）如图，在平面直角坐标系中有两点，连接，点C在线段上，连接，若点C纵坐标为m． (1)求直线的解析式； (2)若C是直线上一点，且，点C坐标为 ； (3)过点O作的垂线 l，在垂线l上取一点D，满足，设点D的坐标为 ．请先按要求在图中画出图形，再求的值． 32．（25-26八年级上·全国）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（24-25八年级下·广东惠州）如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 34．（24-25八年级下·湖北鄂州）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 35．（24-25八年级上·安徽宿州）综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． $专题03 二元一次方程组与一次函数问题 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解（常考点） 题型2 二元一次方程组确定一次函数的表达式（重点） 题型3 求两直线围成图形的面积（重点） 题型4利用一次函数求二元一次方程组的应用中最值（难点） 题型5 利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题（难点） 题型6 一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解（共5小题） 1．（24-25八年级下·云南保山）直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与的图像交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国）已知的解为，则直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二者之间的关系．二元一次方程组的解对应的坐标就是两个一次函数图象的交点． 【详解】解：∵方程组的解为， 即方程组的解为， ∴直线与的交点坐标是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东茂名）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·云南丽江）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为， 所以关于的方程组的解是， 故答案为：． 题型二 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（共5小题） 6．（24-25八年级下·吉林）已知一次函数的图象过点和． (1)求这个函数的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键． （1）设一次函数解析式为，把、代入解析式，求得，即可求解； （2）令一次函数解析式中的，求得的值，即可求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为， 把、分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）当时，， 解得， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 7．（24-25八年级上·江苏）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x、y轴交于点A、B，点M在x轴的负半轴上，的面积为6．若一次函数的图象经过点M和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积、待定系数法求函数解析式等知识．先求出A点坐标为，B点坐标为，设点且，根据求出，得到M点的坐标分别为，再利用待定系数法即可求出一次函数的表达式． 【详解】解：对于一次函数 令，得， ∴A点坐标为， 令，得， ∴B点坐标为， 设点且， ∵ ∴ 即， 即 解得（不合题意，舍去）或 ∴M点的坐标分别为， ∵一次函数的图象经过点M和点B， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为． 8．（23-24八年级下·北京密云）已知一次函数的图象经过两点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系内画出该一次函数的示意图． (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将点和分别代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解即可得到系数和的值，进而得出一次函数表达式为； （2）直线过和两点，由于两点确定一条直线，在直角坐标系中绘制即可； （3）根据题意，结合，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：已知一次函数解析式为， 将点和代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的表达式为． （2）在直角坐标系中绘制过点和 直线如下图所示， （3）由题意可知，一次函数表达式为， ， 函数值取值范围为． 【点睛】求解本题的关键是将两点坐标代入表达式，建立二元一次方程组求出系数，其次，是利用函数值与自变量的关系式，推出函数值的范围． 9．（24-25八年级上·全国）如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， 即，； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为， 解方程组， 解得： 点的坐标为； （3）解：是垂直于轴的直线交于点，交点于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 10．（24-25八年级下·陕西安康）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的另一直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点G是直线上的动点且在y轴右侧，过点G作x轴的垂线交x轴于点M，与直线交于点H，且满足．求点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为； 点 ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设，则， 点G在第一象限时，， ， ， 解得； ∴， ∴ 点G在第四象限时，，不合题意，舍去， 综上，． 题型三 求两直线围成图形的面积（共6小题） 11．（24-25八年级下·四川南充）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 12．（24-25八年级下·湖南永州）已知一次函数的图象经过，两点，且与x轴交于点C，求： (1)一次函数的表达式； (2)求出点C的坐标； (3)画出一次函数的图象，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【分析】此题考查了一次函数，涉及待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，运用数形结合思想是解题的关键． （1）把，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，再解方程组求出k、b，从而确定一次函数的解析式； （2）令求解即可； （3）根据列表，描点，连线画图，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：令得， 解得， ． （3）解：列表： x 0 y 2 0 画图如下： ， ， ． 13．（24-25八年级上·江苏苏州）如图，已知直线与直线平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与y轴交于点，与x轴交于点D，与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）由直线与直线平行，得到直线为，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线对应的函数表达式； （2）根据两直线的解析式求得A、D的坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线为， ∵点在直线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线中，令，则， 解得， ∴， 在直线中，令，则， 解得， ∴， ∴，， ∴， 故四边形的面积是7． 14．（24-25八年级下·陕西安康）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移得到， ∴； 点在直线上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 联立，解得， 的坐标为． （2）解：在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 的面积为． 15．（24-25八年级下·黑龙江七台河）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，由正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则，求出后即可判断得解； （）依据题意，把点，代入，则，解得，进而得解； （）依据题意，把代入，则，进而可得，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：由题意，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：把点，代入， ∴，解得， ∴； （3）解：依题意，把代入， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 16．（24-25八年级上·全国）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，已知A，B． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C在坐标轴上，且，求点C的坐标； (3)点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线的对称点恰好落在x轴的正半轴上，与相交于点Q，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据点C在坐标轴上，分两种情况讨论当点C在x轴上时，设点C坐标为，当点C在y轴上时，设点C坐标为，结合建立方程求解，即可解题； （3）利用对称和平行线性质证明，设，则，，进而得到，再结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，图象经过A，B， 则有，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：当点C在x轴上时， 设点C坐标为，则， ， ， 或， 或； 当点C在y轴上时， 设点C坐标为，则， ， 整理得：， 或， ∴C或C； 综上所述，点C的坐标为或或或． （3）解：∵P，关于直线对称， ， 点B和点P的纵坐标相同， 轴， ， ， ，设，则， ， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与面积综合，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 题型四 利用一次函数求二元一次方程组的应用的最值（共5小题） 17．（24-25八年级下·内蒙古通辽）王叔叔准备将一块面积为亩的土地全部种植甲，乙两种农作物，甲种农作物的种子成本元与其种植面积亩的函数关系如图所示，其中，乙种农作物的种子成本为每亩元． (1)求与的函数解析式； (2)若甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，王叔叔应该如何分配两种农作物的种植面积才能使两种农作物种子的总成本最少？并求出该费用． 【答案】(1) (2)当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出与的函数解析式； （2）根据题意，可以写出总的成本与甲种农作物种植面积的函数关系式，再根据甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍，可以求得甲种农作物种植面积的取值范围，最后根据一次函数的性质，可以求得最低费用及此时如何分配两种农作物的种植面积． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即与的函数解析式为； （2）解：设甲种农作物的种植面积为亩，则乙种农作物的种植面积为亩，总的成本为元， 由题意可得，， 随的增大而减小， 甲种农作物的种植面积不超过乙种农作物种植面积的倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时，， 答：当甲种农作物的种植亩，乙种农作物的种植亩时才能使两种农作物种子的总成本最少，该费用为元． 18．（24-25八年级下·河南商丘）洛阳牡丹文化节期间，某文创店推出特色商品组合促销活动．已知购买2盒牡丹酥和3盒八景糕共需132元，购买1盒牡丹酥和2盒八景糕共需78元． (1)购买1盒牡丹酥和1盒八景糕各需多少元？ (2)某游客准备购买牡丹酥和八景糕共20盒，且八景糕不超过12盒．设购买八景糕盒，所需总费用为元． ①求与之间的函数关系式． ②请你帮该游客设计一种能使总费用最少的方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元 (2)①；②购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的建立与求解，以及一次函数的实际应用．在解题中引入恰当的未知数，判断函数增减性是关键. （1）通过题目中的购买组合信息，设立二元一次方程组，解出牡丹酥和八景糕的单价； （2）①：根据总费用=牡丹酥费用+八景糕费用，再结合两种糕点各自数量和单价，建立总费用与八景糕数量之间的函数关系式； ②：分析函数的单调性，结合变量取值范围确定最小值对应的方案． 【详解】（1）解：设购买1盒牡丹酥需要元，购买1盒八景糕需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1盒牡丹酥需要30元，购买1盒八景糕需要24元． （2）①， 与之间的函数关系式为． ②， 随的增大而减小． ， 当时，的值最小，此时． （盒）． 答：购买牡丹酥8盒、八景糕12盒能使总费用最少，最少总费用为528元． 19．（24-25七年级下·山东青岛）为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和为，匹克球拍不少于副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元； (2)当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元，根据购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于副，求出的取值范围，再根据总费用等于购买匹克球拍和匹克球费用之和列出函数解析式，最后根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元， 由题意得：，解得：． 答：匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元． （2）解：设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，总费用为元， 由题意得：，， ， 随的增大而增大， ， 当时，最小，最小值为． 答：当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元． 20．（24-25八年级下·河北承德）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式．某商场抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折． 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件（）．方案一、二所需付款的金额分别为元、元． (1)分别写出，与x之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算； (3)当时，如果用方案一购买a件运动外套，其余用方案二购买，购买总费用为w元，则当a取何值时，所需付款的金额最少？ 【答案】(1)， (2)方案一更划算 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式，一次函数的实际应用． （1）根据题意即可列出一次函数解析式； （2）将分别代入（1）中求得的一次函数解析式，比较得出的结果即可； （3）根据题意列出总费用的代数式，结合a的取值范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：当时， ，． ∵， ∴方案一更划算． （3）解：由题意知，， ∵， ∴当时，w的值最小，即所需付款的金额最少． 21．（23-24八年级上·甘肃张掖）某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，在“十一黄金周”期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元． 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 (1)三人间、双人间普通客房各住了多少间？ (2)设三人间共住了人，三人间与双人间一天一共花去住宿费用元表示，写出与的函数关系式； (3)如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？ 【答案】(1)三人间、双人间普通客房各住了8间，13间； (2) (3)不是费用最少，费用最少为时，元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题关键在于能够读懂题意，解出函数解析式． （1）分别设三人间和双人间为x，y，根据人数和钱数列方程组求解； （2）根据收费列出表达式整理即可； （3）利用（2）一次函数的性质，可得到y随着x的增大而减小，x最大为48，而题中安排方式x=24，故不是费用最少． 【详解】（1）设三人间普通客房住了x间，双人间普通客房住了y间， 由题意可得， 解得， ∴三人间、双人间普通客房各住了8间，13间； （2）设三人间共住了x人，则双人间住了人， ∴一天一共花去住宿费用； （3）不是， ∵一次函数， ∴y随着x的增大而减小， ∵x应该为3的倍数， ∴x最大为48， ∴y取最小值时，题中住宿方式三人间人数为48人， ∴不是费用最少，费用最少为时，元． 题型五 利用一次函数求二元一次方程组的应用中行程问题（共7小题） 22．（24-25八年级上·辽宁丹东）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息、求一次函数解析式等知识，数形结合是关键． （1）根据题意结合图象即可得到答案； （2）求出A点的坐标是，B点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出图象与轴还有一个交点为，据此即可补全图象． 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 23．（24-25八年级下·河北张家口）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 【答案】(1)4；9 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【详解】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 24．（24-25八年级下·广西贵港）南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式； (2)求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？ 【答案】(1)， (2) (3)在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式，求出公共解即可； （3）分甲在乙前面和乙在甲前面讨论，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：， 与之间的函数解析式为； 设与之间的函数解析式为， 根据题意得：，解得 ， （2）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：甲在乙前面时，， 解得， 当乙在甲前面时，， 解得， 在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米． 25．（24-25八年级下·吉林）已知A，B两地相距．甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．图表示甲、乙两辆货车距A地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的数量关系；图表示甲、乙两辆货车间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的数量关系．根据以上信息回答下列问题： (1)______，______； (2)求甲、乙货车距A地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式； (3)写出点P的坐标为______； (4)当两辆货车相距时，直接写出t值． 【答案】(1)6， (2)甲：，乙： (3) (4)当两辆货车相距时，t的值为或 【分析】（1）根据图②直接写出a，b的值即可； （2）根据速度=路程时间求出甲货车的速度，再根据相遇时两货车行驶路程之和为A、B两地之间的距离求出乙货车的速度，从而分别写出甲、乙货车距A地的距离s与行驶时间t的函数关系式即可； （3）由（2）可知乙货车到达A地的时间，从而根据路程=速度时间求出此时甲货车距A地的距离即可； （4）分别计算两货车相遇前后相距时对应t的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键 【详解】（1）解：由图②可知，当时甲货车到达B地，当时，甲、乙两货车相遇， ， 故答案为：6， （2）甲货车的速度为， 则甲货车距A地的距离s与行驶时间t的函数关系式为； 乙货车的速度为，到达A地所用时间为， 则乙货车距A地的距离s与行驶时间t的函数关系式为 （3）根据（2），当时，乙货车正好到达A地，此时甲货车距A地的距离为， 点P的坐标为 故答案为： （4）当两辆货车相遇前相距时，得， 解得， 当两辆货车相遇后相距时，得， 解得， 当两辆货车相距时，t的值为或 26．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 【答案】(1)快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． (2)，自变量的取值范围是． (3)两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及行程问题中的相遇和追及问题，熟练掌握一次函数的性质和行程问题的基本公式是解题的关键． （1）先求出慢车行完全程所用时间，根据时间 = 路程÷速度，求得慢车速度，从而求得快车速度． （2）先求出快车从甲地到乙地的时间，从而确定点的坐标．然后利用待定系数法求快车返回过程中与的函数关系式． （3）分三种情况讨论两车相距千米的情况：两车相向而行时，还未相遇，路程和为千米．两车相遇后，快车还未返回甲地前，路程和为千米．快车从乙地返回甲地时，两车相距千米． 【详解】（1）解：∵慢车到达甲地的时间为（小时）， ∴慢车的速度为（千米/小时）， 快车速度为（千米/小时）， 答：快车速度为千米/小时，慢车速度为千米/小时． （2）解：快车从甲地到乙地的时间为（小时）， ∴快车中途停了（小时） ∴点的坐标为即． 设快车返回过程中与的函数关系式为， 将和代入，得 解得，， ∴函数关系式为，自变量的取值范围是． （3）解：情况一：两车相向而行，还未相遇，， 解得（小时）． 情况二：两车相遇后，快车还未返回甲地前，， 解得（小时）． 情况三：快车从乙地返回甲地时，， 解得（小时）． ∴两车出发后经过小时或小时或小时时，相距90千米的路程． 27．（24-25八年级下·广东广州）已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系． 根据图象解答下列问题： (1)甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度； (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式； (4)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离． 【答案】(1)甲，乙，小时 (2)千米/时 (3) (4)时分，千米 【分析】（）观察图象解答即可； （）根据速度路程时间计算即可； （）根据速度路程时间和路程速度时间计算列出函数解析式即可； （）求出线段对应的函数关系式，从而求出两图象交点坐标再进行有关计算即可； 本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时； （2）解：千米/时， 答：乙的行驶速度为千米/时； （3）解：甲在段的速度为千米，则； 甲在段的速度为千米/时，则； ∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为； （4）解：线段对应的函数关系式为， 当甲、乙相遇时，由， 解得， ∵小时时分， ∴甲、乙在下午时分相遇， 此时相遇地点到地的距离为千米． 28．（24-25九年级上·陕西安康）如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程与行驶的时间之间的函数图象如图②所示． (1)分别求出、与x之间的函数解析式； (2)当甲、乙两人相遇时，求x的值： (3)直接写出当甲、乙两人相距时x的值． 【答案】(1)， (2)4 (3)3小时或5小时或7小时 【分析】本题考查了一次函数的图象与二元一次方程组的关系及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据图象设出两个函数的解析式，找点代入即可得到答案； （2）联立两个函数解析式求解即可得答案； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设，， 把点代入得： ， 解得， 将代入，得： ， 解得：， ∴，； （2）解：联立得：， 解得， ∴甲、乙两人相遇时，x的值为4； （3）解：分两种情况： 甲到达C地之前，根据题意，得， 即， 解得或， 甲到达C地后，乙还需要2小时才到达C， ∴， 解得：， 故乙出发3小时或5小时或7小时，和甲相距． 题型六 一次函数、二元一次方程组与几何图形综合问题（共7小题） 29．（24-25八年级下·全国）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（拓展：若平面直角坐标系内有两点和，则两点间的距离） 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】这道题考查一次函数的综合应用，涵盖求函数解析式、三角形面积计算以及直角三角形存在性问题，数形结合是解题关键． （1）利用点在直线上的坐标关系，先求出点坐标，再用待定系数法确定直线解析式； （2）通过求出直线与坐标轴交点，结合图形，用割补法（或利用三角形面积公式结合坐标差）计算面积； （3）设出点坐标，依据勾股定理，分和两种情况列方程求解，判断轴上满足条件的点是否存在并求出坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点，代入， 得解得， 直线的解析式为． （2） 如解图1，记直线与轴的交点为点， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入，得，解得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， ． （3）存在．理由如下： 设点的坐标为， 根据（1），得， 根据（2），得， ，， ． 分以下两种情况讨论： ①如解图2，当时， 在中，存在， 即，解得：， 点的坐标为， ②如解图3，当时， 在中，存在， 即，解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 30．（24-25八年级下·全国）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点的面积为；直线与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，由的面积为，得到，得，即可得到答案； （2）联立，解得，即得； （3）当在上方时，在中，令得，故；当在下方时，设交轴于，由，知，设，有，即可解得，求出直线解析式为，联立，可解得． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点， 令得；令，即，解得； ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：联立， 解得， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，令得，解得， ∴； 当在下方时，设交轴于，如图所示： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线， 将代入得， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象与性质、直线与坐标轴围成的三角形面积问题、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式及其应用、平行线性质、等腰三角形性质、解二元一次方程组等，掌握一次函数图象与性质，数形结合，由题意分类讨论求解是解决问题的关键． 31．（24-25八年级上·广东深圳）如图，在平面直角坐标系中有两点，连接，点C在线段上，连接，若点C纵坐标为m． (1)求直线的解析式； (2)若C是直线上一点，且，点C坐标为 ； (3)过点O作的垂线 l，在垂线l上取一点D，满足，设点D的坐标为 ．请先按要求在图中画出图形，再求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或5 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）求出，再由，可得到关于m的方程，即可求解； （3）根据题意在图中画出图形，然后分两种情况：当点D在第三象限时；点D在第一象限时，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， ∵点C纵坐标为m． ∴， ∵， ∴，即， 解得：或1， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点C的坐标为或； 故答案为：或 （3）解：如图， 当点D在第三象限时，分别过点D，C作轴于点F，轴于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C纵坐标为m． ∴点C的坐标为， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴； 当点D在第一象限时，分别过点D，C作轴于点F，轴于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C纵坐标为m． ∴点C的坐标为， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或5． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及待定系数法确定函数、求直线上点的坐标、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 32．（25-26八年级上·全国）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 33．（24-25八年级下·广东惠州）如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）由，得直线解析式为，求出，得，设，可得，解得，，可得直线解析式为， （2）存在点F，使，连接并延长交y轴于G，连接，得，得，证明，得，点G，F关于对称，由， ，得 ，由，得，解得，得，由G，F关于点B对称得； （3）设直线与直线夹角等于，即为等腰直角三角形．作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．证明．得．由，得直线l的解析式为．设点H坐标为，得I点坐标为．得．解得．得．当直线l过H点时， ．当直线l过I点时，． 【详解】（1）解：∵， ∴设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：存在点F，使． 连接并延长交y轴于G，连接， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G，F关于对称， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如下图，设直线与直线夹角等于， 即为等腰直角三角形． ∴． 作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N． 则， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵直线l过， ∴． 解得． ∴直线l的解析式为． 设点H坐标为， 则． ∴I点坐标为． ∵I点在直线上， ∴． 解得． ∴． 当直线l过H点时， ． 解得． 当直线l过I点时， ． 解得． 故或． 【点睛】查考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定行数法求一次函数解析式，一次函数的图象的性质，轴对称性质，面积法求三角形的高，勾股定理，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 34．（24-25八年级下·湖北鄂州）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 35．（24-25八年级上·安徽宿州）综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1）；（2）①，；②点P，Q的坐标分别为或 【分析】（1）通过作辅助线构造全等三角形（），利用全等三角形对应边相等求出点的坐标． （2）①先求出直线与坐标轴交点、坐标，再作辅助线构造全等三角形（）得到点坐标，最后用待定系数法求直线的函数表达式． ②先根据对称得到坐标，设出、坐标，分两种情况（且；且 等，解析中是通过构造全等三角形求解），利用全等三角形性质列方程求出、坐标． 【详解】解：（1）分别过点，作轴于点，轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 点； （2）①令，解得； 令，则， 点，点， ，， 过点作轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 点， 设直线的函数表达式为， 将点，分别代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点； ②点是点关于轴的对称点， 点， 设点，， 若是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 分如下两种情况讨论： (i)当在点左侧时， 如答图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，； (ii)当在点右侧时，如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，， 综上所述，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点，的坐标分别为或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形变换（对称），熟练掌握全等三角形的判定与性质以及一次函数相关知识是解题的关键． $