专题02 平行线的证明（必备知识 9大题型 分层训练）（期中复习课件）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题07 平行线的证明 七年级数学下学期 期中复习大串讲 鲁教版五四制 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 命题的定义与分类 能区分命题与非命题，判断真/假命题，掌握反例的用法 基础必考点，常以选择题/填空题形式考查，易混淆“命题”与“陈述性语句” 证明的基本逻辑与步骤 能规范书写证明过程，明确每一步推理的依据（公理、定理、已知条件等） 能力考查点，常作为解答题压轴，易因“推理依据不规范”失分 平行线的判定与性质 熟练应用同位角/内错角/同旁内角的关系判定平行，或由平行推导角的关系 高频重难点，常结合几何图形综合考查，易出现“判定与性质混淆”的错误 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点 1.定义：对名称/术语的含义作明确描述（如“两点之间线段的 长度叫两点间的距离”）。 2.命题：判断一件事情的句子，由“条件”和“结论”组成（可 写成“如果…那么…”形式）。 3.真/假命题：正确的命题为真命题；错误的命题为假命题（举反例可证明假命题）。 示例 判断“内错角相等”是否为真命题？ 解：不是。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，内错角不相等。 易错点 混淆“命题”与“陈述性语句”（如“今天天气好”不是命题 因为未作判断）； 假命题的反例需同时满足“条件”但不满足“结论”（避免举 与条件无关的例子）。 定义与命题 知识点01 知识点 1.公理：公认的真命题（无需证明，如“两点确定一条直线”）。 2.定理：经证明的真命题（可作为推理依据，如“平行线的性 质”）。 3.证明：演绎推理的过程，每一步需有依据（已知、公理、定理 等）。 示例 证明“平行于同一直线的两直线平行”（已知：a∥ b，b∥c， 求证：a∥c）。 解：假设a与c相交于点P，则过点P有两条直线（a、c）与b平行， 与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾， 故a∥c。 易错点 证明过程中“跳步”（省略关键推理依据）； 混淆“公理”与“定理”（公理无需证明，定理需证明）。 公理、定理与证明 知识点02 知识点 由“角的关系”推“线的平行”，常见判定方法： 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行； 4. 平行于同一直线的两直线平行； 5. 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 示例 如图，，，， 求证． 易错点 误用“平行线的性质”代替“判定”（如由“两直线平行”推 “角相等”，但题目需证“平行”）； 忽略“同一平面内”的前提（垂直于同一直线的两直线平行， 需在同一平面内）。 平行线的判定 知识点03 知识点 由“线的平行”推“角的关系”，常见性质： 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 示例 如图，已知，点、、在 同一条直线上．(1)求证：； (2)若，，求线段的长． 易错点 判定与性质混淆（如已知“角相等”，错误得出“两直线平行 的性质”）； 漏看“两直线平行”的前提（直接由“角相等”得“平行”， 忽略线的位置关系）。 平行线的性质 知识点04 平行线中的“拐点模型” 知识点05 常见模型（遇拐点作平行线）： 铅笔模型： 如图1，①已知：AM∥BN， 结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°， 结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 平行线中的“拐点模型” 知识点05 常见模型（遇拐点作平行线）： 2.猪脚模型： 如图1，①已知： AM∥BN， 结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2 平行线中的“拐点模型” 知识点05 常见模型（遇拐点作平行线）： 3.牛角模型： 如图1，已知AB∥CD， 结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD， 结论：∠1+∠3-∠2=180° 易错点：忘记作辅助线（直接用模型结论，忽略证明过程）；辅助线作法错误 （未保证与已知直线平行）。 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 判断是否是命题 题型一 解｜题｜技｜巧 1.看是否为陈述句：命题必须是能判断真假的陈述句，疑问句（如“今天冷吗？”）、祈使句（如“把门关上”）、感叹句（如“真美啊！”）均不是命题。 2. 看能否判断真假：句子需有明确真假结果，如“地球绕太阳转”能判断为真，是命题；而“x>5”无法确定真假，不是命题。 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． B 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 D 解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江西吉安）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 解：对顶角不相等；两点之间线段最短；内错角相等，它们都是命题， 而过A、B两点作直线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． B 判断命题的真假 题型二 解｜题｜技｜巧 直接验证法：若命题描述的是明确事实或可直接推导的结论，直接判断真假。比如“正方形是特殊的长方形”，符合定义，直接判定为真。 举反例法：若要证明命题为假，只需找出一个不符合命题结论的例子。比如“所有质数都是奇数”，因2是质数却不是奇数，举此反例可判定命题为假。 【典例2】（24-25八年级下·河南）下列命题中，为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．的算术平方根是2 C．负数的立方根是负数 D．0没有平方根 解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； B、，2的算术平方根是，故原命题是假命题，不符合题意； C、负数的立方根是负数，是真命题，符合题意； D、0的平方根是0，故原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． C 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州）下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2中众数是4 D．直角三角形的两边长分别为3和4，则其第三边长为5 解：A、的平方根是，原命题是假命题； B、同角的余角相等，原命题是真命题； C、数据1，2，3，4，2中众数是2，原命题是假命题； D、直角三角形的两边长分别为3和4，则其第三边长为5或，原命题是假命题． 故选：B． B 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余 C．若 ，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 A．“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，是真命题． B．设两个角为和，且∠1+∠2=90°（互余）．它们的余角分别为和，其和为，故这两个余角互余，是真命题． C．由，可知，且左边右边即．此时x可能等于也可能等于（如时，等式成立但故该命题是假命题． D．“两边及夹角分别相等的两个三角形全等”是全等三角形判定定理中的“”，是真命题． 故选：C． C 举反例说明命题是假命题 题型三 解｜题｜技｜巧 1.紧扣命题条件与结论：先明确命题的“条件”和“结论”，反例需完全满足条件，却违背结论。如命题“若，则”，反例“，”，满足，却不满足。 2. 优先选简单易懂的例子：优先用常见数字、图形等，降低验证难度。如证“所有四边形都有外接圆”，举“普通平行四边形”，它满足四边形条件，却无外接圆，直观且易验证。 【典例3】（24-25七年级下·江苏无锡）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故选：B． B 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． B 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南）下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 解：A、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，，是反例，故此选项符合题意； 故选：D． D 写出命题的题设与结论 题型四 解｜题｜技｜巧 “如果…那么…”拆分法：若命题无明显关联词，先改写成“如果p，那么q”的形式。“如果”后接的p是题设，“那么”后接的q是结论。如“对顶角相等”，改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，题设和结论便清晰。 抓关键逻辑词定位：命题含“若…则…”“只要…就…”等词时，“若”“只要”后的内容是题设，“则”“就”后的是结论。如“若则”，前半句是题设，后半句是结论。 25 【典例4】（24-25七年级下·上海）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： . 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 26 【变式1】（24-25八年级上·广东河源）命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是 ． 解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”． 故答案为：同旁内角互补． 同旁内角互补 【变式2】（23-24八年级上·全国）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）． 两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等 解：命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”改写成“如果…，那么…”为：如果两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等， 所以题设是：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，为假命题， 故答案为：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，假． 假 判断使两直线是否平行 题型五 解｜题｜技｜巧 看截线形成的角的关系：若两条直线被第三条直线（截线）所截，出现同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的任意一种情况，即可判定两直线平行。 2. 用平行公理及推论：若已知一条直线与某直线平行，且另一条直线与该直线重合或平行（如“平行于同一直线的两直线平行”），或垂直于同一直线（同一平面内），可直接判断这两条直线平行。 【典例5】（24-25七年级下·湖北宜昌）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）． A． B． C． D． 解：A、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，能得到，不符合题意； C、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； D、，由内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意； 故选：D． D 【变式1】（24-25七年级下·全国）如图，，和互余， 于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 解：因为， 所以，故①正确； D 因为，，所以， 所以，所以， 因为和互余，所以， 所以，所以，故②正确； 因为， 所以， 所以，故③正确； 因为，， 所以， 即与互余，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 解｜题｜技｜巧 根据“角的关系”补条件：先找两直线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，补充“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”。如已知截线，补“∠1=∠2”（同位角相等）即可证平行。 根据“平行/垂直公理”补条件：补充与已知平行线相关的条件，如“平行于同一直线”；或同一平面内补“都垂直于同一直线”，比如补“”，可证。 补充条件使两直线平行 题型六 【典例6】（24-25七年级下·广东深圳）如图，两条直线，被第三条直线所截，请添加一个条件： ，使得． 解：， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：答案不唯一)． 33 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）如图，在四边形中，若要，则需增加条件： ．（填一个即可） 解：要使，根据“内错角相等，两直线平行”， 若和∠4是与被所截形成的内错角），则； 根据“同旁内角互补，两直线平行”，若和是与被所截形成的同旁内角）或和是与被所截形成的同旁内角），也可判定． 故答案为：（或或． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州）如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件 ． 解：当时，可有； 也可以是或． 故答案为：（答案不唯一）． 解｜题｜技｜巧 先定“三线八角”关系：找到平行线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，直接用性质——同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，将已知角与未知角关联。 结合其他知识推导：若所求角与平行线性质角不直接相关，可结合对顶角相等、邻补角互补等知识，搭建“已知角→性质角→未知角”的推导链条，逐步算出结果。 利用平行线的性质求解 题型七 【典例7】（24-25七年级下·浙江台州）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 解：如图，过点作， 由题意可知，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 15°． 37 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔南）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °． 解：因为，， ， ， 所以， 所以． 故答案为：135． 38 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安）如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，∠AEG与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 解：如图所示，过点G，M，H作 ，， ， ，， ,， ， 和是角平分线， ， ， 即． 故答案为：． 39 解｜题｜技｜巧 先辨“判定”与“性质”：看结论是由“角的关系推平行”（用判定，如同位角相等→两直线平行），还是“平行推角的关系”（用性质，如两直线平行→内错角相等），避免逻辑颠倒。 逐结论验证，排除干扰：对每个选项，结合已知条件（如已知平行或已知角相等），用判定或性质逐一验证，排除不符合逻辑推导的错误结论。 平行线的判定与性质多结论问题 题型八 【典例8】（24-25七年级下·吉林）某自行车的示意图如图所示，其中，且都与地面平行，若，则下列结论正确的是______（填序号）①；②当时，有； ③当∠CBD=30°时，有；④当时，有． 解：因为， 所以，故①正确； 当时，因为， 所以， 又因为,所以 所以，故②正确； 当∠CBD=30°时，ABD=∠ABC+∠CBD=60°+30°=90°， 所以 所以与不平行，故③错误； 当时，则,所以，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④．故答案为：①②④． 41 【变式1】（24-25七年级下·甘肃平凉）如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④∠ABD=∠DCM，其中所有正确结论的序号是 ． 解：因为，所以，所以结论①正确． 因为平分，平分， 所以，． 因为，所以，， 所以．所以，所以结论②正确． 因为，所以， 因为，所以，所以结论③错误． 因为，所以， 所以∠ABD=∠DCM，所以结论④正确．故答案为：①②④． 42 解｜题｜技｜巧 理清“判定”与“性质”的逻辑链：从已知条件出发，若已知角相等/互补，先用判定定理推导出平行；若已知平行，再用性质定理推出角的关系，形成“角→平行→角”或“平行→角→平行”的推导路径。 标记图形辅助分析：在图中标记已知角、相等角或互补角，明确平行线与截线的位置，快速定位关联的“三线八角”，避免混淆角与线的对应关系，减少推导错误。 平行线的判定与性质的综合问题 题型九 【典例9】（23-24七年级下·山东潍坊）如图，D、E、F、G是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． （1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，所以的度数为． 44 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，点E、F分别在线段、上，连接、、，过点F作分别交、于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，∠D=100°，求的度数． （1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以，∠C=∠ABC， 因为平分， 所以， 所以． 45 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25七年级下·甘肃武威）如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） B 解：因为，， 所以，， 所以， 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南普洱）下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ C 解： ① 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确； ② 平方根是它本身的数：0的平方根是0，1的平方根是（不完全是本身），故错误； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④ 同旁内角互补需两直线平行，否则不一定成立，错误； ⑤ 垂线段最短，正确。 综上所述，真命题有①、③、⑤， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川南充）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：因为，， 所以， 所以， 故选：A． A 4．（25-26八年级上·全国）说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 解：当时，， 此时a的平方不是正数， 命题“a的平方是正数”是假命题； 故答案为：0 5．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 （填所有正确条件的序号） 解：， （内错角相等，两直线平行）， 故条件符合题意； ， （内错角相等，两直线平行）， 故条件不符合题意； ， （内错角相等，两直线平行）， 故条件不符合题意； ， （同位角相等，两直线平行）， 故条件符合题意； ， （同旁内角互补，两直线平行）， 故条件符合题意； ， （同旁内角互补，两直线平行）， 故条件不符合题意； 综上，符合题意，故答案为：． 51 6． （23-24七年级下·贵州黔东南）完成下面推理过程： 如图，，可推得的理由如下： 因为（已知） 所以 （ ） 所以 （________ ______________） 因为（ ） 所以∠ （______________________） 所以（_ _____________________） 1．（23-24七年级下·贵州毕节）如图，直线、被直线所截，若，则（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 解：因为 ， 所以； 故选B． B 2．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯）下列命题中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等：②从全校名学生中抽取名学生调查课外阅读情况，抽取的样本容量为：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④的平方根是．其中真命题的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 C 解：若两条直线不平行，两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故①是假命题； 从全校名学生中抽取名学生调查课外阅读情况，抽取的样本容量为，故②是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； 的平方根是，故④是真命题． 故真命题为个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国）如图，已知， BF平分，平分，则下列结论中：①∠ACB=∠E；②平分；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：因为，所以∠ACB=∠E，故①正确； 因为，所以， 因为BF平分，平分， 所以，， 所以，所以，所以， 根据已知不能得出， 即不能得出平分，故②错误； 因为，所以，③错误； 因为，所以， 因为，所以∠BCD=∠EDC， 所以，故④正确；即正确的有2个，故选：B． B 4．（24-25八年级上·四川成都）举反例：当 时，可说明命题“对于任意实数”是假命题． 解：当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25七年级上·江苏淮安）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 解：， ，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定，故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①③④， 故答案为：①③④． 6．（23-24七年级下·浙江温州）如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若求的度数． （1）解：，理由如下： 因为， 所以∠1=∠DCB， 因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $