专题01 二元一次方程组（必备知识 10大题型 分层训练）（期中复习课件）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题01 二元一次方程组 七年级数学下学期 期中复习大串讲 鲁教版五四制 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的概念 能准确识别二元一次方程、方程组，判断一组数是否为其解 基础必考点，常以小题（选择/填空）形式出现，难度较低 代入消元法、加减消元法 熟练用两种方法解二元一次方程组，掌握消元的化归思想 高频基础题，小题/解答题均有涉及，是方程组应用的前提，易因计算失误丢分 二元一次方程组的实际应用 能从实际情境中抽象等量关系，列方程组求解并检验合理性 中考高频解答题，常结合“鸡兔同笼”“增收节支”等场景，难度中等 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程与一次函数的关系 理解方程与函数的联系，会用函数图象求方程组的解 综合考点，常与一次函数结合考查，多为小题或解答题的部分设问 用方程组确定一次函数表达式 掌握待定系数法，通过方程组求一次函数的k、b值 基础应用点，常出现在函数综合题中，难度中等 三元一次方程组（选学） 了解概念，会用消元法解简单的三元一次方程组 部分地区拓展考点，多为小题或附加题，难度略高 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点 二元一次方程：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1 的整式方程（形式：(ax + by = c)，(a、b≠0)）。 二元一次方程组：由2个（或多个）二元一次方程组成的方程组。 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值。 示例 方程3x - 2y = 7是二元一次方程；方程组是二元一次 方程组；是该方程组的解。 易错点 1. 误判“次数”：如(x2 + y = 4)（未知数x的次数是2）不是二元一次 方程。 2. 忽略“整式”：如+ y = 2)（含分式）不是二元一次方程。 3. 混淆“解”的概念：仅满足一个方程的数不是方程组的 （如仅满足x+y=5，不是上述方程组的解）。 二元一次方程与二元一次方程组的概念 知识点01 知识点 将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示，代 入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解 （核心：“消元”）。 示例 解方程组 把①代入②得：3x + 2(2x - 3) = 8，解得x=2，再代入①得y=1， 所以解为。 易错点 1. 代入时漏乘系数：如错写为(3x + 2x - 3 = 8)（忽略2乘-3）。 2. 代回时选错方程：若代回错误方程，会得到错误结果。 代入消元法解二元一次方程组 知识点02 知识点 通过将方程组中两个方程相加/减，消去一个未知数（需使某一 未知数的系数相等或互为相反数）。 示例 解方程组 ①+②得：7x = 21，解得x=3，代入①得y=，解为 易错点 1. 符号错误：如消元时将“-3y”误算为“+3y”，导致 2x+5x+3y+3y=21的错误。 2. 系数不相等/相反时盲目加减：如直接加减，需先 将方程变形（如①×2得2x+4y=10）再消元。 加减消元法解二元一次方程组 知识点03 知识点 从实际情境中抽象出2个等量关系，设2个未知数，列方程组求 解，最后检验解的合理性。 示例 某商店买3支钢笔和2本笔记本花28元，买2支钢笔和3本笔记本 花22元，求钢笔和笔记本的单价。 设钢笔x元/支，笔记本y元/本，列方程组：，解得 ，即钢笔8元，笔记本2元。 易错点 1. 等量关系列反：如错写为2x + 3y = 28。 2. 忽略实际意义：如解为负数（如单价为负），未检验合理性。 二元一次方程组的实际应用 知识点04 知识点 二元一次方程ax + by = c（b≠0）可变形为一次函数y = -x +。 二元一次方程组的解，是对应两个一次函数图象的交点坐标。 示例 方程x - y = 1对应函数y = x - 1，方程2x + y = 5对应函数y = -2x + 5，两函数图象交点(2,1)，即方程组的解。 易错点 1. 混淆“方程的解”与“函数值”：误将交点的纵坐标当作方 程组的解（如只取y=1）。 2. 图象法求解除错：读取交点坐标时横、纵坐标颠倒（如错写为(1,2）。 二元一次方程与一次函数的关系 知识点05 知识点 已知一次函数图象上2个点的坐标，设函数表达式y = kx + b，代 入坐标列方程组，求解k、b。 示例 已知一次函数过(1,3)和(2,5)，设y = kx + b，列，解 得，表达式为y = 2x + 1。 易错点 1. 代入坐标时横、纵坐标颠倒：如错写为。 2. 解方程组后漏写函数表达式：只求出k、b，未整理成y = kx + b的形式。 用方程组确定一次函数表达式（待定系数法） 知识点06 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二元一次方程（组）的概念 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 概念辨析技巧：抓住“两个未知数”和“含未知数项次数为1”核心，判断时先看未知数数量，再查最高次数，比如符合，因是2次则不符。 2. 方程组解题技巧：用“消元法”，代入消元适用于有未知数系数为1的方程（如代入另一式），加减消元适合系数成倍数的情况（如两式系数为2和-2，直接相加消x）。 【典例1】（24-25八年级上·江西抚州）下列各方程中，是二元一次方程的是 （   ） A． B． C． D． 解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． B 【典例2】（24-25七年级下·湖北武汉）下列方程组中是二元一次方程组的是 （    ） A． B． C． D． A 解：A. 满足二元一次方程组的定义，它是二元一次方程组； B. 中，方程含分式，不是整式方程，它不是二元一次方程组； C. 中，含三个未知数、、，它不是二元一次方程组； D. 中，方程含二次项，不是一次方程，它不是二元一次方程组，故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． C 【变式2】（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． C 二元一次方程（组）的解 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 检验解的技巧：将一组值代入方程（组），若使所有方程左右两边相等，则为解。比如检验(1,2)是否是的解，代入两式均成立，即为解。 2. 求特殊解技巧：若求正整数解，先将方程变形为用一个未知数表示另一个（如），再根据正整数条件确定取值范围，筛选出符合的解。 【典例1】（24-25八年级上·广东清远）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意；故选：C． C 【典例2】（24-25七年级下·广东广州）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； D C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）是方程的解，则 ． 解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 2 【变式2】（24-25七年级下·青海海北）已知是方程的解，则代数式 ． 解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 8 解二元一次方程组 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 代入消元法技巧：优先选系数为1或-1的未知数（如方程），直接代入另一方程，消去该未知数，转化为一元一次方程求解，避免复杂计算。 2. 加减消元法技巧：观察同一未知数系数，若成相反数（如2和-2）直接相加，若成倍数（如4和2）先扩倍再相减，快速消元，适合系数较整齐的方程组 【典例1】（24-25七年级下·湖北荆州）解二元一次方程组： (1)； (2)． （1）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江七台河）解方程组： (1)； (2) （1）解：， ①得：③， ②③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·重庆江北）解方程组： (1)； (2)． （1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是；． （2）， 整理得， ，得，解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 二元一次方程组-错解复原问题 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 定位错误点技巧：先看错解代入哪个方程成立，成立的是未错用方程，不成立的是错用方程；再检查错用方程的步骤，重点看符号、系数运算、代入替换是否出错。 2. 复原正确解技巧：根据错误原因修正错用方程（如符号错则改符号），再联立原本正确的方程，用代入或加减消元法，计算出正确的未知数的值。 27 【典例1】（23-24七年级下·贵州遵义）下面是两位同学解方程组的做法， 请认真阅读并完成下 面的问题． (1)芊芊的消元方法 是 ； 浩浩的消元方法 是 ． (2)判断 （选填 “芊芊”或“浩浩”） 的解答过程有误， 并运用该同学的消元方法进行正确解答． 代入消元法 加减消元法 浩浩 28 （1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 29 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 代入 三 （1）解：①由第一步知，是用代入消元法解二元一次方程组； 故答案为：代入； ②第一步变形正确；第二步代入正确；第三步解方程错误，正确的解应是，导致后面两步都错误； 故答案为：三； （2）解：得：， 解得：； 把代入方程①中，得， 解得：； ∴方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 一 （2），得③ ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 二元一次方程组-同解问题 题型五 解｜题｜技｜巧 1. 核心思路技巧：同解方程组的解满足所有方程，先解其中较简单的方程组，得到一组解；再将这组解代入含参数的方程，转化为一元一次方程，求出参数值。 2. 参数处理技巧：若两组方程均含参数，先分别用参数表示出两组解，再根据“解相同”列等式，联立成关于参数的新方程组，求解参数后验证即可。 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 4 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港）如果方程组和的解相同，则 ． 解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． -1 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡）已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ． 解：由题意可得：， ②①得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为：， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴，即， ∴， ∴的算术平方根的值为；故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1. 整体代入法技巧：当方程组中含重复代数式（如或），不单独求，先把代数式当整体。例如方程组和直接将代入第一式，快速解出。 2. 设法技巧：遇比例关系（如），设，代入方程消去x、y，先求k值，再回代得x、y，避免分数计算。 二元一次方程组中特殊解法问题 题型六 【典例1】（24-25七年级上·重庆）若方程组的解是， 则方程组的解是 ． 解：， 得，， ∵， ∴，； ， 得，， ∴， ∴， ∴， 把代入③得，， ∴， ∴方程组的解为．故答案为：． 38 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 解：方程组可化为， 方程组的解为， ， ， 即方程组的解为，故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 二元一次方程组的应用 题型七 解｜题｜技｜巧 1. 找等量关系技巧：从题干中圈关键信息，如“共”“比…多/少”“是…倍”，转化为等式。比如“总金额=单价×数量”“两数和为XX”，确保每个等量关系对应一个方程。 2. 设元技巧：优先设直接未知数（求什么设什么），若复杂则设间接未知数（如设“份数”）。设元后用含未知数的式子表示其他量，避免重复或遗漏。 【典例1】（24-25七年级上·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 【变式1】（24-25七年级下·新疆昌吉）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； （1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州）为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ （1）解：根据题意得：，解得； ∴a的值为3，b的值为1； （2）解：设丙队胜x场，平y场，则负场；∴； ∵x，y，都为非负整数， ∴或或； ∴丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场； （3）解：丙队胜6场，平1场，负5场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜5场，平4场，负3场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜4场，平7场，负1场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； ∴， ∴丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是元． 二元一次方程组中新定义型问题 题型八 解｜题｜技｜巧 1. 解读新定义技巧：先抓住题干中“新符号/新规则”的核心（如“”），明确运算逻辑或对应关系，把抽象定义转化为具体等式，避免误解规则。 2. 构建方程组技巧：根据新定义列出含未知数的等式，若有多个条件则分别转化，联立成二元一次方程组。求解后可代入新定义验证，确保答案符合规则。 【典例1】（24-25七年级下·云南德宏）对于任意实数x，y，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． （1）解： ； （2）解：，， ①， ②， ，得， ． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中）定义：已知三个互不相等的实数a，b，c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a，b，c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有______； ①、1、2；②5、2、；③、3、； (2)实数a与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”，求a的值． （1）解：①∵，，， ∴这组数不是“幸福三数组”； ②∵，，， ∴这组数是“幸福三数组”； ③，，， ∴这组数是“幸福三数组”； 故答案为：②③． （2）解：， 将第一个方程与第二个方程相加得：，解得， 将代入第一个方程得：，解得， ∵实数与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”， ∴或或，且，， 解得（舍去）或或或（舍去）或， 综上，的值为0或3或6． 【变式2】（24-25七年级下·福建龙岩）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． （1）解：由题意得：方程的交换系数方程为或， 则组成的方程组为或，解得或． （2）解：方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或 ②， 则方程组①的解为，当时，方程组①的解为， 方程组②的解为，当时，方程组②的解为， 由题意可知，恰好是关于的二元一次方程的一个解， 将代入得：，所以，， 则 ． （3）解：方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时，∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴，解得， ∵，∴，解得，∴， ∵为整数，∴，即，∴； ②当方程的交换系数方程为时，∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴，解得，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 二元一次方程组与一次函数交点问题 题型九 解｜题｜技｜巧 1. 交点与方程组解的转化技巧：明确一次函数图像交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解。若求两函数交点，直接将两个函数表达式联立，组成方程组求解即可。 2. 已知交点求参数技巧：若函数含参数且已知交点坐标，先将坐标代入对应函数表达式，得到关于参数的二元一次方程组，解出参数后，可画图或代入验证交点是否正确。 【典例1】（24-25八年级上·陕西西安）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 。 解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 题型十 解｜题｜技｜巧 1. 设表达式与找条件技巧：先设一次函数表达式为（k≠0），再从题干中找函数图像经过的两点坐标（，或能转化为坐标的条件（如“当2时，y=5”）。 2. 列解方程组技巧：将两点坐标分别代入，得到关于的二元一次方程组，用代入或加减消元法求解，最后将代入表达式即可，解后可代入原条件验证。 【典例1】（24-25八年级下·四川南充）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． （1）解：把代入得，， 解得，∴， 把，代入得， ；解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． （1）解：由题意，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴. 故答案为：；． （2）解：把点，代入， ∴，解得， ∴； （3）解：依题意，把代入， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25七年级下·广西南宁）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） A 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆）若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 A 解：根据题意，则， 由得：，解得：， 把代入①得：， 解得：； 把代入，则， 解得：， ，故选：A． 3．（23-24七年级下·甘肃武威）由得到用x表示y的式子为 ． 解： ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 解：将代入得， ， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·浙江杭州）解方程组： (1) (2) （1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 66 6．（23-24八年级下·海南海口）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分 的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩 余部分的高度相差？ （1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ，解得， ∴． （2）解：联立，得， ，， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ，，； 情况二：，即， ，，． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 1．（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． C 2．（24-25八年级下·江西南昌）已知关于x，y的方程组，其中，下列命题正确的个数为（　　　） ①不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则；⑤若用x表示y，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 A 解：， ①②，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为， ∵， ∴不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数，故①正确； 把代入，得， 解得：， ∵， ∴此时符合， 故②正确； ③当时，满足 当时，解为，则， 故③正确； ④时，， 即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴若用x表示y，则 故⑤正确； 命题正确的个数为5个． 故选：A． 3．（24-25七年级下·甘肃武威）已知与互为相反数，则 ． 解：∵与互为相反数， ∴． ∴，， 即， 解得， ∴． 故答案为：8 8 4．（24-25八年级下·吉林）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 5．（24-25八年级下·重庆秀山）“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元， 选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． （1）解：由题意得；；； （2）解：∵点C为与的交点， ∴;解得， ， ∴点C的坐标为； ∵点D为与的交点， ∴;解得， ∴点D的坐标为； ∵点E为与的交点， ∴;解得， ∴点E的坐标为； （3）解：由图象可知，当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一和方案二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二和方案三费用一样，当时，采用方案三更合算． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $