专题01 二元一次方程（组）解法及含参问题（11大题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题01 二元一次方程（组）解法及含参问题 题型1 二元一次方程（组）的概念（常考点） 题型7 构造二元一次方程组问题（重点） 题型2 利用二元一次方程的定义求参数的值 题型8 二元一次方程组-同解问题（重点） 题型3 二元一次方程（组）的解（重点） 题型9 已知二元一次方程组解的情况求参数（难点） 题型4已知二元一次方程（组）的解求参数的值 题型10 二元一次方程组中特殊解法问题（难点） 题型5 解二元一次方程组（常考点） 题型11 二元一次方程组中新定义型探究问题（难点） 题型6 二元一次方程组-错解复原问题（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程（组）的概念（共5小题） 1．（24-25七年级下·福建漳州）下列等式中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·宁夏银川）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·山东烟台）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 5．（24-25六年级下·上海闵行）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 利用二元一次方程的定义求参数的值（共5小题） 6．（24-25七年级下·云南德宏）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25七年级下·广西防城港）若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东淄博）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 9．（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（23-24八年级上·陕西榆林）若是关于 的二元一次方程，则 的值为 （    ） A． B． C．0 D．1 题型三 二元一次方程（组）的解（共5小题） 11．（24-25七年级下·浙江杭州）下列是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·浙江宁波）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·河北沧州）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 14．（24-25七年级下·广东广州）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·福建福州）已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型四 已知二元一次方程（组）的解求参数的值（共3小题） 16．（24-25八年级上·宁夏固原）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 17．（24-25七年级下·黑龙江七台河）如果方程组的解为，那么“”所得的数 ． 18．（24-25八年级上·内蒙古包头）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 19．（24-25七年级下·云南昆明）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值是 ． 20．（24-25七年级下·江苏徐州）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 题型五 解二元一次方程组（共5小题） 21．（24-25八年级上·浙江杭州）解方程组： (1) (2) 22．（24-25七年级下·重庆江北）解方程组： (1)； (2)． 23．（24-25八年级上·山东青岛）解方程组： (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·全国）解方程组： (1)； (2)． 25．（25-26八年级上·全国）解下列方程组： (1) (2) 题型六 二元一次方程组-错解复原问题（共5小题） 26．（23-24八年级上·甘肃兰州）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：…（1）， 得：…（2） ∴（3） (1)第 步（填序号）出错； (2)请你写出正确的解题过程． 27．（24-25七年级下·河北廊坊）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步：可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 29．（24-25七年级下·山西临汾）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①，得③     第一步 ②③，得           第二步 两边都除以，得         第三步 将代入①，得，解得       第四步 所以，原方程组的解为       第五步 任务一： （1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是___________； A．数形结合    B．分类讨论    C．类比思想    D．转化思想 任务二： 贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________． 30．（24-25七年级下·山西大同）阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 题型七 构造二元一次方程组问题（共3小题） 31．（24-25七年级下·辽宁大连）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 32．（24-25七年级下·河南周口）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 33．（24-25七年级下·河南南阳）在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 34．（23-24七年级下·河南安阳）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ． 35．（23-24七年级下·山西吕梁）某种动物的身高与其腿长满足二元一次方程，当动物的腿长时，身高；当动物的腿长时，身高，则 ． 题型八 二元一次方程组-同解问题（共3小题） 36．（24-25七年级下·内蒙古赤峰）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 37．（24-25七年级上·湖南永州）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 38．（24-25七年级下·全国）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 39．（24-25八年级下·江西南昌）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 40．（24-25七年级下·山东泰安）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 41．（24-25七年级下·湖南长沙）关于的方程组的解满足，则 ． 42．（24-25七年级下·河南新乡）若方程组的解互为相反数，则 ． 43．（23-24七年级下·浙江温州）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 44．（24-25九年级下·重庆沙坪坝）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 45．（24-25七年级下·福建福州）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列四个结论：①当时，；②当时，则；③不论k取什么实数，的值始终不变；④不论k取什么实数，x、y均为正整数的解有一对．其中正确的是 ．（填写序号） 题型十 二元一次方程组中特殊解法问题（共3小题） 46．（23-24八年级上·陕西宝鸡）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 47．（24-25七年级下·吉林长春）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 48．（24-25七年级下·江西上饶）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 49．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 50．（23-24七年级下·山西吕梁）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 题型十一 二元一次方程组中新定义型探究问题（共3小题） 51．（24-25七年级下·云南德宏）对于任意实数x，y，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 52．（24-25七年级下·四川巴中）定义：已知三个互不相等的实数a，b，c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a，b，c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有______； ①、1、2；②5、2、；③、3、； (2)实数a与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”，求a的值． 53．（24-25七年级下·广东广州）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 54．（24-25七年级下·浙江金华）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 55．（24-25六年级下·上海闵行）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． $专题01 二元一次方程（组）解法及含参问题 题型1 二元一次方程（组）的概念（常考点） 题型7 构造二元一次方程组问题（重点） 题型2 利用二元一次方程的定义求参数的值 题型8 二元一次方程组-同解问题（重点） 题型3 二元一次方程（组）的解（重点） 题型9 已知二元一次方程组解的情况求参数（难点） 题型4已知二元一次方程（组）的解求参数的值 题型10 二元一次方程组中特殊解法问题（难点） 题型5 解二元一次方程组（常考点） 题型11 二元一次方程组中新定义型探究问题（难点） 题型6 二元一次方程组-错解复原问题（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程（组）的概念（共5小题） 1．（24-25七年级下·福建漳州）下列等式中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（）方程中只含有个未知数；（）含未知数项的最高次数为一次；（）方程是整式方程，据此判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二元一次方程，该选项符合题意； 、只含有个未知数，且方程不是整式方程，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是二元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·宁夏银川）下列各式中属于二元一次方程的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．根据此概念进行判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤中左边不是整式，故不是二元一次方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个； 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东烟台）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程），逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解：方程① 含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合条件． 方程②： 含两个未知数，次数为2，不符合条件． 方程③： 含两个未知数，y出现在分母，导致方程不是整式方程，不符合条件． 方程④： 化简后为，含两个未知数且次数为1，符合条件． 方程⑤： 含两个未知数，但xy项的次数为2，不符合条件． 综上，符合二元一次方程定义的为①和④． 故选B． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 5．（24-25六年级下·上海闵行）下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程；据此逐一分析各方程组即可； 【详解】解：方程组①含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，故不属于二元一次方程组； 方程组②含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组； 方程组③含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组； 方程组④中第一个方程含二次项，不符合“一次”条件，故不属于二元一次方程组； 综上，符合条件的为②和③，共2个； 故选：B． 题型二 利用二元一次方程的定义求参数的值（共5小题） 6．（24-25七年级下·云南德宏）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 7．（24-25七年级下·广西防城港）若是关于的二元一次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·山东淄博）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数均为1，且系数不为零．由此确定关于的条件． 【详解】解：由题意得：且， 且， 解得：， 故选：D． 9．（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 10．（23-24八年级上·陕西榆林）若是关于 的二元一次方程，则 的值为 （    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义（只含有两个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程）是解答的关键． 【详解】解：∵是关于 的二元一次方程， ， 故选：D． 题型三 二元一次方程（组）的解（共5小题） 11．（24-25七年级下·浙江杭州）下列是方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值是二元一次方程的解，把未知数的值代入二元一次方程，如果左右两边的值相等，则未知数的值是二元一次方程的解，否则不是二元一次方程的解． 【详解】解：A选项：把代入， 可得：左边右边， 是方程的解， 故A选项符合题意； B选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故B选项不符合题意； C选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故C选项不符合题意； D选项：把代入， 可得：左边右边， 不是方程的解， 故D选项不符合题意． 故选：A． 12．（24-25七年级下·浙江宁波）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可． 【详解】解：A．， ∴是方程的解，故此选项符合题意； B．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 13．（24-25七年级下·河北沧州）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的正整数解的定义是解题的关键． 列举出二元一次方程的正整数解，即可解答． 【详解】解：二元一次方程的正整数解有： ，，共2组， 故选：B． 14．（24-25七年级下·广东广州）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 15．（24-25七年级下·福建福州）已知是二元一次方程的三个解，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据两个二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可． 【详解】解：是二元一次方程的三个解， 是二元一次方程的三个解， ∴是二元一次方程和的公共解， ∴二元一次方程组的解为， 故选：C． 题型四 已知二元一次方程（组）的解求参数的值（共3小题） 16．（24-25八年级上·宁夏固原）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．根据题意，把代入方程得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得：， 解得：， 故答案为：1． 17．（24-25七年级下·黑龙江七台河）如果方程组的解为，那么“”所得的数 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识和方程解的概念；先将代入方程组，求得和⊕的值，再代入、求解． 【详解】解：， ， 解得， 即， ⊕， ⊕， 故答案为：12． 18．（24-25八年级上·内蒙古包头）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 19．（24-25七年级下·云南昆明）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将代入原方程组得：，得到一个关于、的方程组，两方程相加求值即可． 【详解】解：将代入原方程组得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：3 20．（24-25七年级下·江苏徐州）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 【详解】解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 题型五 解二元一次方程组（共5小题） 21．（24-25八年级上·浙江杭州）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 22．（24-25七年级下·重庆江北）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 整理得， ，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 23．（24-25八年级上·山东青岛）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）先将原方程组整理得到，然后由①②得，再求得的值即可； （2）将原方程组整理得到，然后由①②得，再求得的值即可； 解题的关键是掌握解二元一次方程组的一般方法（代入消元法、加减消元法）并能根据具体情况选用适当的方法求解． 【详解】（1）解：将原方程组整理得：， ①②，得：， 解得：， 把代入①，得： ， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）将原方程组整理得：， ①②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 24．（24-25八年级上·全国）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法与加减消元法，根据题目选用适当的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法即可求出解； （2）方程组整理后，利用加减消元法即可求出解； 【详解】（1）解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解：， 方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 25．（25-26八年级上·全国）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）求出，再将代入求出即可； （2）求出，再将代入求出即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴； （2）， 整理得， 得， 解得， 将代入得 解得 ∴ 题型六 二元一次方程组-错解复原问题（共5小题） 26．（23-24八年级上·甘肃兰州）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：…（1）， 得：…（2） ∴（3） (1)第 步（填序号）出错； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1）； (2)，过程见详解． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、等式的基本性质等知识点，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据等式的性质即可判断第（1）步出错； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第（1）步出错． 故答案为：（1）． （2）解：， 得：③， 得：， ∴． 把代入②，得， 所以方程组的解是． 27．（24-25七年级下·河北廊坊）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的基本解题过程进行判断即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误； （2），得③ ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步：可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （）根据变形后的方程代入方程组的另一个方程，即可得出选项； （）得出，求出，再把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵③是由①变形得来， ∴不能将③代入①，应将③代入， ∴第二步出现错误． 故选：B． （2）解： ，得， 解得：，代入， 解得：， 所以方程组的解是． 29．（24-25七年级下·山西临汾）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①，得③     第一步 ②③，得           第二步 两边都除以，得         第三步 将代入①，得，解得       第四步 所以，原方程组的解为       第五步 任务一： （1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是___________； A．数形结合    B．分类讨论    C．类比思想    D．转化思想 任务二： 贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________． 【答案】任务一：（1）B；（2）D；任务二：三， 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 任务一：（1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）将“二元”转化为“一元”是转化思想； 任务二：利用加减消元法解方程即可． 【详解】解：任务一：（1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法， 故选：B； （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想， 故选：D； 任务二：贝贝同学的解题过程从第三步开始出现错误， 解方程组： 解：①，得③， ②③，得， 两边都除以，得， 将代入①，得， 解得， 所以，原方程组的解为． 故答案为：三，． 30．（24-25七年级下·山西大同）阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 【答案】任务一：（1）等式的性质；（2）两边不是除以未知数的系数4；（3）；任务二： 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 任务一：根据小明同学的解题步骤逐步分析即可； 任务二：仿照小明同学的解题步骤求解即可． 【详解】解：任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是等式的性质； （2）第五步出现错误，错误的原因是两边不是除以未知数的系数4； （3）解：①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 任务二： ①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 题型七 构造二元一次方程组问题（共3小题） 31．（24-25七年级下·辽宁大连）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 32．（24-25七年级下·河南周口）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 33．（24-25七年级下·河南南阳）在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 34．（23-24七年级下·河南安阳）对，定义一种新运算▲，规定：（其中，均为非零常数），例如：．已知．则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴ 故答案为： ． 35．（23-24七年级下·山西吕梁）某种动物的身高与其腿长满足二元一次方程，当动物的腿长时，身高；当动物的腿长时，身高，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意得到二元一次方程组，求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得： ∴ 故答案为：． 题型八 二元一次方程组-同解问题（共3小题） 36．（24-25七年级下·内蒙古赤峰）已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握两个方程组的解相同的含义是解决本题的关键． 根据题意，可先求解的解，再将求出的x和y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将等号两边同乘3，可得， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， 的解为， 将代入中， 即， 两式相加，可得， 解得， 将代回中，即， 解得， ∴． 37．（24-25七年级上·湖南永州）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 38．（24-25七年级下·全国）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 39．（24-25八年级下·江西南昌）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入求值． 【详解】（1）解：由题意，得， ，得， ∴， 把代入①得， ∴， 它们的相同解为； （2）解：将代入，得， 解得． ， ． 40．（24-25七年级下·山东泰安）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 41．（24-25七年级下·湖南长沙）关于的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可． 【详解】解：， ①②，得：， ∴， 代入②得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： ． 42．（24-25七年级下·河南新乡）若方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据方程组的解互为相反数，得到，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：，即， 代入方程组得：， 整理得， 可得， 解得：． 故答案为：． 43．（23-24七年级下·浙江温州）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 44．（24-25九年级下·重庆沙坪坝）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 45．（24-25七年级下·福建福州）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列四个结论：①当时，；②当时，则；③不论k取什么实数，的值始终不变；④不论k取什么实数，x、y均为正整数的解有一对．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入得： ，即①错误； ②由方程组，得：， ∵， ∴， 解得， 即当时，则， 即②正确， ③解方程组，得： ， ∴， ∴不论k取什么实数，的值始终不变， 故③正确； ④由③知，不论k取什么实数，， 此时x、y均为正整数的解没有， 故④错误， 故答案为：②③． 题型十 二元一次方程组中特殊解法问题（共3小题） 46．（23-24八年级上·陕西宝鸡）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 47．（24-25七年级下·吉林长春）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 48．（24-25七年级下·江西上饶）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 49．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【答案】（1）；（2），；（4）① ，② 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答即可； （2）根据新定义，得到，进行求解即可； （4）仿照（3）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 50．（23-24七年级下·山西吕梁）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 题型十一 二元一次方程组中新定义型探究问题（共3小题） 51．（24-25七年级下·云南德宏）对于任意实数x，y，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组、实数的新定义的运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列式，计算即可得； （2）根据新运算的定义可得一个关于x，y的二元一次方程组，将两个方程相减即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ①， ②， ，得， ． 52．（24-25七年级下·四川巴中）定义：已知三个互不相等的实数a，b，c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a，b，c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有______； ①、1、2；②5、2、；③、3、； (2)实数a与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”，求a的值． 【答案】(1)②③ (2)0或3或6 【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组的应用等知识，正确理解“幸福三数组”的定义是解题关键． （1）根据“幸福三数组”的定义列式，计算绝对值，逐个判断即可得； （2）先利用加减消元法求出，再根据“幸福三数组”的定义分类列出式子计算即可得． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴这组数不是“幸福三数组”； ②∵，，， ∴这组数是“幸福三数组”； ③，，， ∴这组数是“幸福三数组”； 故答案为：②③． （2）解：， 将第一个方程与第二个方程相加得：，解得， 将代入第一个方程得：，解得， ∵实数与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”， ∴或或，且，， 解得（舍去）或或或（舍去）或， 综上，的值为0或3或6． 53．（24-25七年级下·广东广州）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， ②①得， 将代入①得， 解得： 方程组的解为： （2）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得， ∴把代入可得，即，， ∴． 54．（24-25七年级下·浙江金华）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果； （3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果． 本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的“友好方程”为， ∴， ①﹣②，得， 解得， 把代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）方程的“友好方程”为， ∴， ①②得， 由 ∴， 把代入①式，得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”， ∴， 由①得，代入②中，得： ， 则， ∴． 55．（24-25六年级下·上海闵行）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． $