专题01 二元一次方程组（6知识&8题型&4易错&3方法清单）（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题01 二元一次方程组（6知识&8题型&4易错&3方法清单） 【清单01】二元一次方程的概念 . 【清单02】二元一次方程组的概念 【清单03】二元一次方程组的解 【清单04】二元一次方程组的解法 【清单05】二元一次方程组解的情况 . 【清单06】二元一次方程组的应用 . 【题型一】二元一次方程判断 【例1】1．（2025秋•雁塔区期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝9 B． C．y＝3x+5 D．x2+x＝9 【变式1-1】（2025秋•历下区期中）已知方程2x+〇＝1是二元一次方程，则“〇”可能是（　　） A．x B．y C．xy D．x2 【变式1-2】（2025秋•西安期中）若方程mx+y2n﹣1＝5是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值分别是（　　） A．m＝1，n＝1 B．m＝0，n＝0 C．m≠0，n＝1 D．m＝1，n≠0 【题型二】二元一次方程组的定义判断 【例2】（2025春•宝山区）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025春•玉田县期中）老师要求嘉嘉和淇淇各写出一个二元一次方程组：嘉嘉：；淇淇：，对于两人所写的方程组，下列说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉的对 B．只有淇淇的对 C．两人的均对 D．两人的均不对 【变式2-2】（2025春•濮阳期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是（　　） A．x＝2y B．xy＝1 C． D．x2＝1 【题型三】二元一次方程（组）的解的相关问题 【例3】（2025秋•成都期中）下列各对数是二元一次方程x+4y＝3的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025秋•济阳区期中）下列方程中，解为的二元一次方程是（　　） A．x﹣y＝1 B．3x﹣y＝9 C．x+y＝1 D．3x+y＝﹣9 【变式3-2】（2025秋•昆都仑区期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（　　） A． B． C． D． 【题型四】代入消元法解二元一次方程组 【例4】（2025春•海港区期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【变式4-1】（2025春•武鸣区）解方程组时，把①代入②，得（　　） A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 B．2y﹣（3y﹣2）＝10 C．（3y﹣2）﹣5x＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10 【变式4-2】（2025春•万全区）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得x﹣3x+6＝7，则方程①是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝x+2 C．x＝2y﹣1 D．x＝2y+1 【题型五】加减消元法解二元一次方程组 【例5】（2025春•富锦市）关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024秋•巴中）已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【变式5-2】（2025春•朔州）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法无法消元的是（　　） A．①﹣②×3 B．②×（﹣3）﹣①C．①×2﹣② D．①×（﹣2）+② 【题型六】二元一次方程组的特殊情况 【例6】（2025秋•亭湖区月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元—次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025春•莘县）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（　　） A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8 【变式6-2】（2025春•许昌）对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则x+y的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．6 D．13 【题型七】二元一次方程组的应用——行程问题 例7（2025秋•济南月考）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是　 ． 【变式7-1】（2025秋•南京月考）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　　 米． 【变式7-2】（2025春•海伦市）甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是　　 千米． 【题型八】二元一次方程组的应用——形积问题 例8（2025春•昌邑区）将一副直角三角板按如图方式摆放，图中α比β的3倍多10°，则α﹣β＝ 　　 °． 【变式8-1】（2025春•复兴区）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点A（1.5，3.5），则点B的坐标是　　 ． 【变式8-2】（2025春•云梦县）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是　　 分． 【题型一】忽略二元一次方程中“二次项系数为0”致错 【例1】（2024秋•武冈市）若方程（m﹣3）x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（　　） A．2，﹣1 B．﹣3，0 C．3，0 D．±3，0 【变式1-1】（2025春•吴桥县）已知□x﹣2y＝5是二元一次方程，“□”覆盖了x的系数，则覆盖的数不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【题型二】代入消元法中“变形错误”或“代入错误”致错 【例2】（2024秋•北海）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D．由②，得y＝2x+5 【变式2-1】（2025春•华蓥市）用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　） A．由①，得y＝2x﹣4，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入① 【变式2-2】（2025春•盐山县）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【题型三】加减消元法中“化同系数时计算错误”或“加减符号错误”致错 【例3】（2025春•武都区）用加减消元法解方程组下列结果正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3﹣②×5 B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×3+②×2 【变式3-1】（2025春•离石区月考）小亮在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a，b的值可以是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝5，b＝2 C．a＝3，b＝2 D．a＝2，b＝5 【变式3-2】（2025春•裕华区期中）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a、b的值可能是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝3，b＝﹣2 【题型四】实际应用中忽略解的实际意义致错 【例4】（2025春•锡山区期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要 　　 米布料做玩偶A． 【变式4-1】（2025•广饶县开学）今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，雉　　 只，兔　　 只．（“雉”指鸡） 【变式4-2】（2024秋•松山区）在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么安排 　　 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【题型一】代入消元法——“优选系数为1或-1的方程变形”核心技巧：优先选择系数为1或-1的方程变形，减少分数运算，变形时注意移项变号 【例1】（2025•威海一模）如果方程组的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，则m的值为 　　 ． 【变式1—1】（2025秋•市中区月考）已知，则用含x的式子表示y为 ． 【变式1—2】（2025春•凉州区）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝　　 ． 【题型二】加减消元法——“先看系数倍数关系，再化同消元”核心技巧：观察系数倍数关系，优先消去系数绝对值较小的未知数，符号口诀“同号相减，异号相加” 【例2】（2025•达州开学）已知二元一次方程组且x+y＝m，x﹣y＝n，则nm的值为　　 ． 【变式2—1】（2025春•新余）从方程组中消去m，得x，y的关系式为　　 ． 【变式2—2】（2025春•香洲区期中）已知方程组，则3x﹣3y的值是　　 ． 【题型三】二元一次方程组应用——“找等量关系的3个技巧” 核心技巧：① 抓关键词（和、差、倍、分等）；② 利用核心公式；③ 画示意图直观呈现关系适用场景：实际应用问题的建模，快速列出方程组 【例1】（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【变式1—1】（2025秋•长春期中）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ 学科网（北京）股份有限公9 / 9 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组（6知识&8题型&4易错&3方法清单） 【清单01】二元一次方程的概念 . 【清单02】二元一次方程组的概念 【清单03】二元一次方程组的解 【清单04】二元一次方程组的解法 【清单05】二元一次方程组解的情况 . 【清单06】二元一次方程组的应用 . 【题型一】二元一次方程判断 【例1】1．（2025秋•雁塔区期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝9 B． C．y＝3x+5 D．x2+x＝9 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程 【解答】解：xy＝9中含有未知数的项的次数是2，则A不符合题意， 中不是整式，则B不符合题意， y＝3x+5中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，则C符合题意， x2+x＝9中只含有一个未知数，并且最高次数为2，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•历下区期中）已知方程2x+〇＝1是二元一次方程，则“〇”可能是（　　） A．x B．y C．xy D．x2 【分析】根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为1次的整式方程即可得出结果． 【解答】解：∵2x+〇＝1是二元一次方程， ∴“〇”表示的数是y． 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2025秋•西安期中）若方程mx+y2n﹣1＝5是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值分别是（　　） A．m＝1，n＝1 B．m＝0，n＝0 C．m≠0，n＝1 D．m＝1，n≠0 【分析】根据二元一次方程的定义分别列出关于m、n的方程，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解：由二元一次方程的定义可得，m≠0，2n﹣1＝1， 故m≠0，n＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【题型二】二元一次方程组的定义判断 【例2】（2025春•宝山区）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项分析判断如下： A、不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意； B、是二元一次方程组，所以本选项正确，符合题意． C、xy＝4含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意． D、x2﹣1＝0含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意．故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，关键掌握把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组． 【变式2-1】（2025春•玉田县期中）老师要求嘉嘉和淇淇各写出一个二元一次方程组：嘉嘉：；淇淇：，对于两人所写的方程组，下列说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉的对 B．只有淇淇的对 C．两人的均对 D．两人的均不对 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：嘉嘉写出的方程组为二元二次方程组，淇淇写出的方程组为二元一次方程组， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，方程组共含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1，并且这两个方程都为整式方程． 【变式2-2】（2025春•濮阳期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是（　　） A．x＝2y B．xy＝1 C． D．x2＝1 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断即可解题． 【解答】解：A．x＝2y与x+y＝2能组成二元一次方程组，符合题意； B．xy＝1含未知数的项是2次，与x+y＝2不能组成二元一次方程组，不符合题意； C． 的分母含未知数，与x+y＝2不能组成二元一次方程组，不符合题意； D．x2＝1含未知数的项是2次，与x+y＝2不能组成二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【题型三】二元一次方程（组）的解的相关问题 【例3】（2025秋•成都期中）下列各对数是二元一次方程x+4y＝3的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程解的定义，将每个选项中的x和y值代入方程x+4y＝3，检验是否成立． 【解答】解：A：x＝﹣5，y＝2， ∴x+4y＝﹣5+4×2＝﹣5+8＝3，满足方程，故本选项符合题意； B：x＝3，y＝﹣1， ∴x+4y＝3+4×（﹣1）＝3﹣4＝﹣1≠3，不满足，故本选项符合题意； C：x＝2，y＝﹣2， ∴x+4y＝2+4×（﹣2）＝2﹣8＝﹣6≠3，不满足，故本选项符合题意； D：x＝1，y＝1， ∴x+4y＝1+4×1＝1+4＝5≠3，不满足，故本选项符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程的解的概念，能使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解． 【变式3-1】（2025秋•济阳区期中）下列方程中，解为的二元一次方程是（　　） A．x﹣y＝1 B．3x﹣y＝9 C．x+y＝1 D．3x+y＝﹣9 【分析】将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【解答】解：A：∵4﹣（﹣3）≠1， ∴不是方程的解，不符合题意； B：∵12+3＝15，∴不是该方程的解，不符合题意； C：4﹣3＝1，∴是方程的解，符合题意； D：∵3×4﹣3≠﹣9， ∴不是方程的解，不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的解．熟练掌握该知识点是关键． 【变式3-2】（2025秋•昆都仑区期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【解答】解：A、方程组中，方程xy＝2不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组； B、把代入方程x﹣2y＝3中，方程左边＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，此时方程左右两边相等，故是方程x﹣2y＝3的解；把代入方程x+y＝﹣3中，方程左边＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，此时方程左右两边相等，故是方程x+y＝﹣3的解；故是原方程组的解； C、把代入方程x+y＝3中，方程左边＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，此时方程左右两边不相等，故不是方程x+y＝3的解；故不是原方程组的解； D、把代入方程3x﹣y＝5中，方程左边＝﹣1×3﹣（﹣2）＝﹣1，此时方程左右两边不相等，故不是方程3x﹣y＝5的解；故选：B． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【题型四】代入消元法解二元一次方程组 【例4】（2025春•海港区期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【分析】根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【解答】解：A、由①，得，变形正确，故此选项不符合题意； B、由②得，原变形错误，故此选项符合题意； C、由①，得，变形正确，故此选项不符合题意； D、由②，得，变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 【变式4-1】（2025春•武鸣区）解方程组时，把①代入②，得（　　） A．2（3y﹣2）﹣5x＝10 B．2y﹣（3y﹣2）＝10 C．（3y﹣2）﹣5x＝10 D．2y﹣5（3y﹣2）＝10 【分析】根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解． 【解答】解：把①代入②得：2y﹣5（3y﹣2）＝10， 故选：D． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想． 【变式4-2】（2025春•万全区）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得x﹣3x+6＝7，则方程①是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝x+2 C．x＝2y﹣1 D．x＝2y+1 【分析】根据x﹣3x+6＝7得到x﹣3（x﹣2）＝7，则可得到﹣3y＝﹣3（x﹣2），据此可得答案． 【解答】解：由题意可得：x﹣3x+6＝7， ∴x﹣3（x﹣2）＝7， 又∵x﹣3y＝7， 解得：y＝x﹣2，故选：A． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，正确计算是解题关键． 【题型五】加减消元法解二元一次方程组 【例5】（2025春•富锦市）关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可作出判断． 【解答】解：，①+②，得3x＝9，解得x＝3， 把x＝3代入①，得y＝2， 所以方程组的解是，故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【变式5-1】（2024秋•巴中）已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【分析】将两个方程相加后两边同时除以5后求得x﹣y的值，将其代入原式计算即可． 【解答】解：将方程组中的两个方程相加得5x﹣5y＝﹣5， 则x﹣y＝﹣1， 那么（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 【变式5-2】（2025春•朔州）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法无法消元的是（　　） A．①﹣②×3 B．②×（﹣3）﹣①C．①×2﹣② D．①×（﹣2）+② 【分析】逐一验证各选项的操作是否能消去x或y即可． 【解答】解：A、①﹣②×3得，（x+3y）﹣3×（2x﹣y）＝4﹣3， 化简得：﹣5x+6y＝1，x和y的系数均不为零，无法消元，不符合题意； B、②×（﹣3）﹣①得，（﹣6x+3y）﹣（x+3y）＝﹣3﹣4， 化简得：﹣7x＝﹣7，消去y，解得x＝1，可以消元，符合题意； C、①×2﹣②得，（2x+6y）﹣（2x﹣y）＝8﹣1， 化简得：7y＝7，消去x，解得y＝1，可以消元，符合题意； D、①×（﹣2）+②得，（﹣2x﹣6y）+（2x﹣y）＝﹣8+1， 化简得：﹣7y＝﹣7，消去x，解得y＝1，可以消元，符合题意；故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 【题型六】二元一次方程组的特殊情况 【例6】（2025秋•亭湖区月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元—次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出k的值． 【解答】解：， ①﹣②，得5y＝﹣4k，解得， 把代入②，得，解得xk， 把xk，代入二元一次方程2x+3y＝6，得，解得． 故选：A． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式6-1】（2025春•莘县）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于x，y的方程组为“反解方程组”，则a的值为（　　） A．4 B．﹣8 C．﹣6 D．8 【分析】把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解． 【解答】解：两方程相加得得，2x+2y＝8﹣a， ∴， ∵x、y互为相反数， ∴，∴a＝8，故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，使用整体法解方程组是解题的关键． 【变式6-2】（2025春•许昌）对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则x+y的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．6 D．13 【分析】理解题意，将两个方程转化为二元一次方程组，通过代入法求解x和y的值，再计算x+y，即可作答． 【解答】解：对于任意实数a，b，c，d，规定． 依题意，，， 把y+2x＝5整理得y＝5﹣2x， 再把y＝5﹣2x代入3x﹣2y＝4， 得3x﹣2（5﹣2x）＝4， ∴3x﹣10+4x＝4，解得x＝2，把x＝2代入y＝5﹣2x，得y＝1，∴x+y＝2+1＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，新定义的运算，正确进行计算是解题关键． 【题型七】二元一次方程组的应用——行程问题 例7（2025秋•济南月考）从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是　765km/h ． 【分析】设飞机的平均速度为xkm/h，风速为ykm/h，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可． 【解答】解：设风速为xkm/h，飞机无风时的平均速度为ykm/h． 解得． 故答案为：765km/h． 【点评】本题考查了根据题意列二元一次方程组求解的问题，熟练掌握是解决本题的关键． 【变式7-1】（2025秋•南京月考）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，哥哥每分钟跑 　55　 米． 【分析】设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，根据若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 由题意得：， 解得：， 即哥哥每分钟跑55米，故答案为：55． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式7-2】（2025春•海伦市）甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是　154　 千米． 【分析】设从甲地到乙地的上坡路程为x千米，下坡路程为y千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 【解答】解：设从甲地到乙地的上坡路程为x千米，下坡路程为y千米，则根据题意列二元一次方程组得， ，整理得：，解得；∴x+y＝154， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米，故答案为：154． 【点评】本题考查的是二元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【题型八】二元一次方程组的应用——形积问题 例8（2025春•昌邑区）将一副直角三角板按如图方式摆放，图中α比β的3倍多10°，则α﹣β＝ 　50　 °． 【分析】根据题意和平角的定义列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知∠α＝3∠β+10°， 由题意得：，解得：， ∴α﹣β＝70°﹣20°＝50°，故答案为：50． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-1】（2025春•复兴区）用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点A（1.5，3.5），则点B的坐标是　　 ． 【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解得x、y的值，结合点B所在的象限，即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意列方程组得：，解得， ∴2.5+1＝3.5， 由图象可知点B在第二象限，所以点B的坐标为（﹣3.5，2.5），故答案为：（﹣3.5，2.5）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-2】（2025春•云梦县）小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是　29　 分． 【分析】设投中內圆得x分，投中外圆得y分，根据小明、小华的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（2x+3y）中，即可求出结论． 【解答】解：设投中內圆得x分，投中外圆得y分，根据题意得：， 解得：， ∴2x+3y＝2×7+3×5＝29（分），∴小红的得分是29分．故答案为：29． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型一】忽略二元一次方程中“二次项系数为0”致错 【例1】（2024秋•武冈市）若方程（m﹣3）x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（　　） A．2，﹣1 B．﹣3，0 C．3，0 D．±3，0 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解答】解：由（m﹣3）x|m|﹣2＝3yn+1+4是二元一次方程，得 ，解得， 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【变式1-1】（2025春•吴桥县）已知□x﹣2y＝5是二元一次方程，“□”覆盖了x的系数，则覆盖的数不可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据二元一次方程的定义，方程必须含有两个未知数，且未知数的次数均为1，覆盖的数若为0，则方程变为一元一次方程，不符合条件． 【解答】解：根据题意可知，当□的值为2、1、﹣1时，方程都是二元一次方程， 当□的值为0时，方程不是二元一次方程， 故□不可能是0．故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是关键． 【题型二】代入消元法中“变形错误”或“代入错误”致错 【例2】（2024秋•北海）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D．由②，得y＝2x+5 【分析】将两个方程变形后进行判断即可． 【解答】解：由①得：x或y， 则A，B均不符合题意；由②得：y＝2x﹣5或x， 则C不符合题意，D符合题意；故选：D． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 【变式2-1】（2025春•华蓥市）用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　） A．由①，得y＝2x﹣4，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入① 【分析】观察方程组第一个方程的特点可知y＝2x﹣4，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 【解答】解：把①变形为y＝2x﹣4， 再把y＝2x﹣4代入②，得，3x+2（2x﹣4）＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，关键是根据代入消元法解答． 【变式2-2】（2025春•盐山县）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．甲、丙、丁 D．乙、丙、丁 【分析】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【解答】解：，由①得：x ③，把③代入②得：， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y，由③得：x．则合作中出现错误的同学为丙． 由24﹣9y﹣10y＝5解得：y＝1， ∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁，故选：B． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【题型三】加减消元法中“化同系数时计算错误”或“加减符号错误”致错 【例3】（2025春•武都区）用加减消元法解方程组下列结果正确的是（　　） A．要消去x，可以将①×3﹣②×5 B．要消去y，可以将①×5+②×2 C．要消去x，可以将①×5﹣②×2 D．要消去y，可以将①×3+②×2 【分析】方程组利用加减消元法变形，判断即可． 【解答】解：用加减消元法解方程组时，要消去x，可以将①×5﹣②×2． 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式3-1】（2025春•离石区月考）小亮在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a，b的值可以是（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝5，b＝2 C．a＝3，b＝2 D．a＝2，b＝5 【分析】由题意得到﹣3ay+2by＝0，判断即可． 【解答】解：∵对于二元一次方程组，利用①×a+②×b消去y， ∴﹣3ay+2by＝0， 即﹣3a+2b＝0，只有选项A．a＝2，b＝3符合要求．故选：A． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【变式3-2】（2025春•裕华区期中）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a、b的值可能是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝3，b＝﹣2 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， 由题意，可知利用①×a+②×b消去y，∴两个方程中y的系数互为相反数， ∵﹣2×3＝﹣6，3×2＝6， ∴a＝3，b＝2．故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【题型四】实际应用中忽略解的实际意义致错 【例4】（2025春•锡山区期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要 　81　 米布料做玩偶A． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程组，然后求解即可． 【解答】解：由题意可得，，解得， 即需要81米布料做玩偶A， 故答案为：81． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【变式4-1】（2025•广饶县开学）今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，雉　23　 只，兔　12　 只．（“雉”指鸡） 【分析】设雉x只，兔y只，根据“上有三十五头，下有九十四足”，列方程组求解即可． 【解答】解：设雉x只，兔y只， 则， 解得， 故答案为：23，12． 【点评】本题考查了二元一次方程，理解题意是解题关键． 【变式4-2】（2024秋•松山区）在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么安排 　30　 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【分析】设x人剪筒身，则（50﹣x）人剪筒底，根据一个筒身配两个筒底列出方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设x人剪筒身，则人剪筒底，根据题意得， 解得， ∴30人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套， 故答案为：30． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据题中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【题型一】代入消元法——“优选系数为1或-1的方程变形”核心技巧：优先选择系数为1或-1的方程变形，减少分数运算，变形时注意移项变号 【例1】（2025•威海一模）如果方程组的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，则m的值为 　　 ． 【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入3x+my﹣8＝0，解一元一次方程即可得到m的值． 【解答】解：，把②代入①得：2x+3（2x﹣3）＝7，解得：x＝2， 把x＝2代入②得：y＝2×2﹣3＝1，∴原方程组的解为． ∵方程组的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解， ∴3×2+m﹣8＝0，解得：m＝2，∴m的值为2．故答案为：2． 【点评】此题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 【变式1—1】（2025秋•市中区月考）已知，则用含x的式子表示y为 ． 【分析】先用x表示t，然后代入y＝3﹣2t中即可得出答案． 【解答】解：由x＝3+t得t＝x﹣3， 把t＝x﹣3代入y＝3﹣2t中，得y＝3﹣2（x﹣3）＝3﹣2x+6＝9﹣2x， 故答案为：y＝9﹣2x． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，列代数式，熟练掌握用一个未知数含另一个未知数是解题的关键． 【变式1—2】（2025春•凉州区）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝　﹣2　 ． 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到x＝5满足方程2x﹣y＝12，于是把x＝5代入2x﹣y＝12得到2×5﹣y＝12，可解出y的值． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴把x＝5代入2x﹣y＝12得2×5﹣y＝12，解得：y＝﹣2． ∴★为：﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 【题型二】加减消元法——“先看系数倍数关系，再化同消元”核心技巧：观察系数倍数关系，优先消去系数绝对值较小的未知数，符号口诀“同号相减，异号相加” 【例2】（2025•达州开学）已知二元一次方程组且x+y＝m，x﹣y＝n，则nm的值为　　 ． 【分析】利用加减消元法可得x+y＝3，x﹣y＝﹣1，则可得到m＝3，n＝﹣1，据此代入计算即可． 【解答】解：，①+②，得3x+3y＝9， 等式两边同时除以3，得x+y＝3， ②﹣①，得x﹣y＝﹣1． 由题意可知：x+y＝m，x﹣y＝n，∴可得：m＝3，n＝﹣1， 把m＝3，n＝﹣1代入，nm＝（﹣1）3＝﹣1．故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的乘方，掌握解二元一次方程组的方法，有理数乘方的运算法则是解题的关键． 【变式2—1】（2025春•新余）从方程组中消去m，得x，y的关系式为　　 ． 【分析】用消元法消去m，即可得x与y的关系式． 【解答】解：，①﹣②，得：3x﹣2y＝﹣1， 故答案为：3x﹣2y＝﹣1． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法和依据是解题的关键． 【变式2—2】（2025春•香洲区期中）已知方程组，则3x﹣3y的值是　　 ． 【分析】将方程组的两个方程相加，得到3x﹣3y＝6，即得答案． 【解答】解：根据题意可知，两式相加得，3x﹣3y＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，运用整体思想分析解决问题是解题的关键． 【题型三】二元一次方程组应用——“找等量关系的3个技巧” 核心技巧：① 抓关键词（和、差、倍、分等）；② 利用核心公式；③ 画示意图直观呈现关系适用场景：实际应用问题的建模，快速列出方程组 【例1】（2025•吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元列方程组即可解得答案． 【解答】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 根据题意得：， 解得， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 【变式1—1】（2025秋•长春期中）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ 【分析】根据题意正确列方程组是解题关键．设A款纪念品每个进价x元，B款纪念品每个进价y元，根据“购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元”列方程组，求解即可． 【解答】解：设A款纪念品每个进价x元，B款纪念品每个进价y元， 则根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即A款纪念品每个进价40元，B款纪念品每个进价20元， 答：A款纪念品每个进价40元，B款纪念品每个进价20元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 学科网（北京）股份有限公46 / 111 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $