精品解析：2026年河北邯郸市育华中学中考一模数学试卷

2026年育华中学初三一模数学试卷 一、单选题（共12小题，每题3分） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　） A. B. C. D. 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 关于代数式，下列选项中表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与的和 D. 表示与的乘积 4. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（ ） A. B. C. D. 5. 面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A. 22×10﹣9m B. 22×10﹣8m C. 2.2×10﹣8m D. 2.2×10﹣10m 6. 如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 无法确定 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 12. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 二、填空题（共4小题，每题3分） 13. 计算：______． 14. 如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 15. 若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 三、解答题（共4小题，每题3分） 17. 如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． （1）在①~④的计算结果中，有错误的是______（填序号）；为了区分和，请直接写出______，______； （2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 18. 如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． （1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； （2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 19. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七、八年级学生测试成绩频数分布表 5 6 7 8 9 10 七年级 3 1 7 3 4 2 八年级 2 4 4 5 2 3 分析数据，得到以下统计量 年级 平均数 中位数 众数 不合格率 七年级 a 7 7 八年级 7.5 7.5 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中　　　　，　　　　，　　　　． （2）若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数． （3）结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性） 21. 如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时， ①______，______； ②求点到直线的距离； （3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______； 22. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 23. 活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． （1）若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； （2）小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 24. 已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． （1）直接写出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年育华中学初三一模数学试卷 一、单选题（共12小题，每题3分） 1. 杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 温差即最高气温减去最低气温，由此计算即可． 【详解】解：A.（）； B.（）； C.（）； D.（）； ∵， ∴温差最大的城市武汉， 故选：B． 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 关于代数式，下列选项中表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与的和 D. 表示与的乘积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的意义．根据代数式意义判断即可． 【详解】解：表示与的乘积， 故选：B． 4. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴，   故选：B ． 5. 面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A. 22×10﹣9m B. 22×10﹣8m C. 2.2×10﹣8m D. 2.2×10﹣10m 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示计算即可； 【详解】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键． 6. 如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 7. 嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程，若方程的两根为和，则，，根据题中条件即可解得、． 【详解】，即， ，， ，， 即为，故位于第二象限， 故选． 9. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画树状图法，求概率解答即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有20种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”有2种等可能性， “李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 10. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与菱形，正切值的计算，掌握待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，正切值的计算是关键，根据正切值的计算得到，由勾股定理，菱形的性质得到，再证明，结合题意得到，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点，过点B作轴于点， ∵， ∴设， ∴， ∵点落在反比例函数上， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在反比例函数上， ∴， 故选：C ． 12. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆的周长计算， 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每题3分） 13. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：原式 ． 14. 如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 15. 若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 【答案】b >﹣5 【解析】 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出y=2x+b的图象向上平移5个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，得到的函数解析式为y=2x+b+5， 又平移后的函数图象经过第一、二、三象限，， ， 解得， 故b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数图象平移后的解析式是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 三、解答题（共4小题，每题3分） 17. 如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． （1）在①~④的计算结果中，有错误的是______（填序号）；为了区分和，请直接写出______，______； （2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 【答案】（1）②，4， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴，则， ∴有错误的是②， ，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． （1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________； （2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得，据此结合所给条件可求出a的值，再把所求分式变形为，再把分子合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵点B为原点，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵a、b、c为三个连续的正整数， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴原式． 19. 如图，中，． （1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴． 20. 青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七、八年级学生测试成绩频数分布表 5 6 7 8 9 10 七年级 3 1 7 3 4 2 八年级 2 4 4 5 2 3 分析数据，得到以下统计量 年级 平均数 中位数 众数 不合格率 七年级 a 7 7 八年级 7.5 7.5 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中　　　　，　　　　，　　　　． （2）若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数． （3）结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性） 【答案】（1）；8； （2）七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人 （3）八年级学生的成绩较好，详见解析 【解析】 【分析】对于(1)，计算需利用加权平均数公式结合七年级成绩频数分布表求解；求需确定八年级成绩中出现次数最多的分数（众数）；求需先确定八年级不合格人数（5分及以下），再计算不合格率．对于(2)，先分别计算七、八年级样本中优秀（9分及以上）的比例，再乘以各自年级总人数估算优秀人数．对于(3)，通过对比平均数、中位数、众数、不合格率等统计量，从至少两个角度分析哪个年级成绩更优． 【小问1详解】 解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则 解得． 八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人． 其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此． 八年级5分的频数为2，总人数为20． 不合格率， 因此． 【小问2详解】 解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人， (人)， ∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人． 【小问3详解】 解：八年级学生的成绩较好． ∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率， ∴八年级学生测试成绩较好． 21. 如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时， ①______，______； ②求点到直线的距离； （3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______； 【答案】（1）见解析 （2）①5；3② （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得，，可得，由“”可证； （2）①由勾股定理得，可得； ②通过证明，可得，即可求的长，即可求点F到直线的距离． （3）由，可得，当时，的值最小，即可求的面积的最小值． 【小问1详解】 证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，且，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，是边的中点， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； ②如图2，过点F作交延长线于点P， 则线段的长度就是点F到直线的距离． ∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离为 【小问3详解】 解：， ∴， ∵当时，点E到的距离最小，则的值最小， ∴的面积的最小值． 22. 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 23. 活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． （1）若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； （2）小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 【答案】（1）①，的长；② （2）此时点比②中点的位置升高的距离为 【解析】 【分析】（1）①根据题意，运用勾股定理得到，由即可得到，根据题意得到是等边三角形，，运用弧长公式即可得到的长为； ②延长交桌面于点，过点A作于点，结合题意得到，根据解直角三角形的计算即可求解； （2）根据题意算出②中点到的距离为，再结合图形算出当时，点到的距离为，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵为半圆的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 如图所示，过点作于点，作于点，已知，， ∴，四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴当时，点到的距离为， 当时， 如图所示， 同理，四边形是矩形， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点比②中点的位置升高的距离为． 24. 已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． （1）直接写出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：， 则， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $