2.3.2向量的数乘与向量共线的关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 §3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1 学习目标 理解共线（平行）向量基本定理，并运用其解决相关问题.（数学抽象） 会利用共线（平行）向量基本定理判断三点共线及线线平行.（逻辑推理） 了解直线的向量表示.（数学抽象） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 思考：若 是非零向量，若 ， 与 之间有怎样的位置关系？ 知识点 1：共线(平行)向量基本定理 根据数乘运算的几何意义可知： ∥ 若 ∥ ，是否存在一个实数λ，使得 ？ 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 即 ， 即 ， 所以一定存在唯一一个实数λ，使 若 ∥ ，是否存在一个实数λ，使得 ？ 若 方向相同，则 是 的单位向量， ， 若 方向相反，则 是 的单位向量， ， 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 1：共线(平行)向量基本定理 共线（平行）向量基本定理：给定一个非零向量 <m></m> ，则对任意向量 <m></m> ， <m></m> 的充要条件是存在唯一一个实数 <m></m> ，使得 <m></m> . a，b共线 a＝λb (b≠0) 例如： 若，则， ，且方向相反。 若， ，且方向相反，则. 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 思考：在共线(平行)向量基本定理中，为什么要强调“非零向量b”？ 当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一. 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例1 如图，已知 ， ，试判断 与 是否平行. 解：∵ ∴ 与 平行. 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 设A，B，C，D中的任何三个点不共线，用向量语言描述下列几何图形的特征. （1）四边形ABCD是平行四边形； 解：由共线(平行)向量基本定理得 （1）如图， 或 ； B C A D （2）在梯形ABCD中，上底AD长是下底BC长的一半； B C A D （2）如图， ； 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 （3）点D是△ABC的重心. （3）如图， . B C A D 也可表示成 或 或 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型一、向量共线的判定 例1 已知 <m></m> ， <m></m> 不共线，则下列各式中， <m></m> 与 <m></m> 不共线的是( ). A. <m></m> ， <m></m> B. <m></m> ， <m></m> C. <m></m> ， <m></m> D. <m></m> ， <m></m> D [解析] A中，∵ <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 共线；B中， <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 共线；C中， <m>，</m> 则 <m></m> 与 <m></m> 共线；D中，设 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， ∴ <m></m> 这样的 <m></m> 不存在，因此 <m></m> 与 <m></m> 不共线.故选 <m></m> 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 题型二、由向量共线确定参数的值 例2 已知向量 <m></m> ， <m></m> 不是共线向量， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （1）判断 <m></m> ， <m></m> 是否平行； （2）若 <m></m> ，求 <m></m> 的值. 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] （1）显然 <m></m> 为非零向量，若 <m></m> ，则存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> ，即 <m></m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> 不存在， <m></m> 与 <m></m> 不平行. （2） <m></m> ，∴存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> . </m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> . 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 2：直线的向量表示 思考：已知A，B两点确定一条直线l，与直线l上任意一点P相关的向量有哪些表达式？ A B P l 通常可以用 表示过点A，B的直线l， 其中 称为直线l的方向向量. 思考：一条直线的方向向量是否唯一？ 不唯一 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 知识点 2：直线的向量表示 通常可以用 <m></m> 表示过点 <m></m> , <m></m> 的直线 <m></m> ，其中 <m></m> 称为直线 <m></m> 的方向向量. 特别提醒：已知平面内直线 <m></m> 外任意一点 <m></m> ， 若点 <m>满足 <m></m> ， 则点 <m> <m></m> ， <m>三点共线. </m> ，且 <m></m> 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 若点P是AB的中点，则 ，这是线段AB中点的向量表达式. 例3 如图，已知A，B是直线l上的两个定点，点O是直线l外的一定点，点P是直线l上的任意一点.证明：存在唯一的实数t，满足 解：∵A，B，P都是直线l上的点， ∴存在唯一实数t，使得 ∵ ，∴ ， 即 可利用直线的向量表示来判断A，B，P三点共线. 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例3 已知 <m></m> 为 <m></m> 的中线， <m></m> 是 <m></m> 的中点，过点 <m></m> 的直线分别交边 <m></m> ， <m></m> 于 <m>，</m> <m></m> 两点.若 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ( ). A A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 先证明：若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线，且 <m></m> 为直线 <m></m> 外一点， <m></m> ，则 <m></m> . 证明：由题意可知 <m></m> ，则存在 <m></m> 使得 <m></m> ，即 <m></m> ，所以 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> . 如图所示，因为 <m></m> 为 <m></m> 的中点，所以 <m></m> . 又 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> . 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> . 因为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线，所以 <m></m> ，解得 <m></m> ，故选A. 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 探究3 破解向量中的四心问题 例4 设 <m></m> 为 <m></m> 的外心，若 <m></m> ，则 <m></m> 是 <m></m> 的( ). A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心 C 方法指导 设 <m></m> 的中点为 <m></m> ，根据题意可得 <m></m> ，由题中向量的等式化简得 <m></m> ，即 <m></m> 在 <m></m> 边的高线上.同理可证出 <m></m> 在 <m></m> 边的高线上，故可得 <m></m> 是 <m></m> 的垂心. 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 在 <m></m> 中， <m></m> 为外心，可得 <m></m> . <m></m> ， <m></m> . 设 <m></m> 的中点为 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，可得 <m></m> 在 <m></m> 边的高线上. 同理可证， <m></m> 在 <m></m> 边的高线上， 故 <m></m> 是 <m></m> 两高线的交点，可得 <m></m> 是 <m></m> 的垂心，故选C. 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 已知 <m></m> 是平面上一定点， <m></m> , <m></m> , <m></m> 是平面上不共线的三个点，动点 <m></m> 满足： <m></m> ， <m></m> ，则点 <m></m> 的轨迹一定通过 <m></m> 的( ). A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 A [解析] <m></m> ， <m></m> 分别表示向量 <m></m> ， <m></m> 方向上的单位向量, <m></m> 的方向与 <m></m> 的角平分线一致, 又 <m></m> , </m> ， ∴向量 <m></m> 的方向与 <m></m> 的角平分线一致, ∴点 <m></m> 的轨迹一定通过 <m></m> 的内心. 20 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1.设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则共线的三点是( ). A. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> B. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> C. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> D. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> A [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线. 2.下列说法正确的是( ). A.若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 共线 B.若 <m></m> ，则 <m></m> ＝ <m></m> C. <m></m> D.若 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 四点共线 C [解析] A中， <m></m> ；B中，可能 <m></m> ；D中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 可能构成四边形.故C正确. 21 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3.设非零向量 <m></m> ， <m></m> 不平行，若向量 <m></m> 与 <m></m> 平行，则实数 <m></m> 的值为_ ___. [解析] ∵向量 <m></m> 与 <m></m> 平行， ∴存在实数 <m></m> 使得 <m></m> ， 化简得 <m></m> . ∵向量 <m></m> ， <m></m> 不平行，∴ <m></m> 解得 <m></m> . <m></m> 22 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 23 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 通常可以用 <m></m> 表示过点 <m></m> , <m></m> 的直线 <m></m> ，其中 <m></m> 称为直线 <m></m> 的方向向量. 已知平面内直线 <m></m> 外任意一点 <m></m> ， 若点 <m>满足 <m></m> ， 则点 <m><m>， <m>三点共线. </m> ，且 <m></m> a，b共线 a＝λb (b≠0) （1） （2） （3） 24 谢谢大家 25 4.设两个非零向量a,b不共线. (1)若=a+2b,=-3(a-b),=-2a-13b,求证:A,B,D三点共线. (2)若ka+12b与3a+kb共线,求k的值. [解析] 　(1)因为=+=-3(a-b)-2a-13b=-5a-10b=-5(a+2b)=-5, 又AB∩BD=B,所以A,B,D三点共线. (2)因为ka+12b和3a+kb共线,两个非零向量a,b不共线, 所以存在实数λ,使得ka+12b=λ(3a+kb), 所以解得k=±6. $