第2章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦“向量的数乘与向量共线的关系”，核心知识点为共线向量基本定理及直线方向向量。课前通过自主整理问题、知识填空和自主检验搭建学习支架，衔接向量数乘知识，为课堂互动奠定基础。 其亮点是以题型示例（如三点共线证明、梯形中位线向量法证明）和跟踪训练为载体，结合反思感悟与课堂小结，培养数学运算和直观想象核心素养。学生能通过问题探究提升逻辑推理能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §3　从速度的倍数到向量的数乘 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十六） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 非零 存在唯一一个实数λ，使a＝λb 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十六） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题． 2．理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用． 1．通过共线向量基本定理的应用，提升数学运算的核心素养． 2．通过直线的方向向量的简单应用，培养直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　共线向量基本定理、直线的方向向量 [问题1]　 若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ 答：λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa一定成立． [问题2]　能否用向量来刻画直线呢？ 答：能．需知一个点和一个非零向量a． ►知识填空 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个________向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是_______________________________． 2．直线的方向向量 如图．通常可以用 eq \o(AP,\s\up14(→)) ＝t eq \o(AB,\s\up14(→)) 表示过点A，B的直线l，其中 eq \o(AB,\s\up14(→)) 称为直线l的方向向量． [自主检验] 1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. ∵|a|＝3，|b|＝5， ∴|λ|＝ eq \f(3,5) ，即λ＝± eq \f(3,5) . 答案：± eq \f(3,5) 2．若 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝3 eq \o(CD,\s\up14(→)) ，则直线AB与直线CD的位置关系为________． 答案：重合或平行 3．点R在线段PQ上，且 eq \o(PR,\s\up14(→)) ＝ eq \f(3,5) eq \o(PQ,\s\up14(→)) ，设 eq \o(PR,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(QR,\s\up14(→)) (λ∈R)，则λ＝________． 答案：－ eq \f(3,2) 4．已知向量a，b，且 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a＋2b， eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝－5a＋6b， eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D　　　　　　　 B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 答案：C 题型一　向量平行及三点共线问题 [例1]　设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝2a－b， eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝3a＋b， eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． 解：(1)证明：∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而 eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up14(→)) － eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(BC,\s\up14(→)) 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线． (2)∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，)) 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. [反思感悟] (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(AC,\s\up14(→)) (或 eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(AB,\s\up14(→)) 等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 已知向量e1，e2不共线，如果 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝e1＋2e2， eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝－5e1＋6e2， eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 解析：∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝e1＋2e2， eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(BD,\s\up14(→)) 共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 答案：A，B，D 题型二　用共线向量基本定理证明几何问题 [例2]　如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB，EF＝ eq \f(1,2) (AB＋DC). 证明：延长EF到点M，使得FM＝EF， 连接CM，BM，EC，EB得▱ECMB， 由平行四边形法则得 eq \o(EF,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(EM,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(EB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(EC,\s\up14(→)) ). 因为AB∥DC， 所以 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(DC,\s\up14(→)) 共线且同向， 根据向量共线定理知， 存在正实数λ，使 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(DC,\s\up14(→)) . 由三角形法则得 eq \o(EB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(EA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(EC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(ED,\s\up14(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up14(→)) ， 且 eq \o(ED,\s\up14(→)) ＋ eq \o(EA,\s\up14(→)) ＝0. 所以 eq \o(EF,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(EB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(EC,\s\up14(→)) )＝ eq \f(1,2) ( eq \o(EA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(ED,\s\up14(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up14(→)) ) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up14(→)) )＝ eq \f(1＋λ,2) eq \o(DC,\s\up14(→)) ， 所以 eq \o(EF,\s\up14(→)) ∥ eq \o(DC,\s\up14(→)) . 因为 eq \o(EF,\s\up14(→)) ， eq \o(DC,\s\up14(→)) ， eq \o(AB,\s\up14(→)) 没有公共点， 所以EF∥DC∥AB， 又| eq \o(EF,\s\up14(→)) |＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(DC,\s\up14(→))))) ＝ eq \f(1,2) (| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＋| eq \o(DC,\s\up14(→)) |)， 所以EF＝ eq \f(1,2) (AB＋DC)，所以结论得证． [反思感悟] 首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量基本定理求证． 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB ，BC, CD，DA的中点，证明：四边形EFGH为平行四边形． 证明：连接BD，则 eq \o(EH,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AH,\s\up14(→)) － eq \o(AE,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) )＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→)) . 同理 eq \o(FG,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→)) ，∴ eq \o(EH,\s\up14(→)) ＝ eq \o(FG,\s\up14(→)) ， 即EH∥FG且EH＝FG， 故四边形EFGH为平行四边形． [课堂小结] 1．关于共线向量基本定理的说明 (1)定理中，向量b为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况． (2)条件b≠0是必须的．否则当b＝0，a≠0时，虽然b与a共线，但不存在实数λ，使得a＝λb；当b＝0，a＝0时，λ可以是任意实数． (3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得a＝λb即可． (4)若b＝λa(λ∈R)，则a与b共线． 2．重要结论 设O点是直线AB外一点 (1)P，A，B三点共线⇔∃x，y∈R，使 eq \o(OP,\s\up14(→)) ＝x eq \o(OA,\s\up14(→)) ＋y eq \o(OB,\s\up14(→)) 且x＋y＝1. (2)P点是线段AB中点⇔ eq \o(OP,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up14(→)) ). $