专题40 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题40 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【详解】解：如图：连接，∵，∴， ∵，∴．故答案为：． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴，故选：D． 例3（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：C． 在中，，．故选：B． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【详解】解： 过点作，连接 ∵，，∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线，∴， 在中，，设的半径是，则， 在中，，∴，解得，故答案为：． 例2（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接，，作，垂足为H， 因为，，， 在等腰中，，，， 则的长为． 例3（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，∴，， ∴，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∴图中阴影部分的面积是．故选：B． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵直径，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：． 例2（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 【答案】D 【详解】解：如图，在优弧上取点E，连接， ∵是的内接四边形，∴， ∵，，∴，∴．故选：D． 例3（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接、， ∵，∴，∴的长为．故答案为：． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2025·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵为的直径，∴， ∵，∴，∴；故答案为： 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图： ∵是的直径，∴，∵，，∴， 在中，，∴，．故选：D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2025·河南·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小姝测量了一个圆月门尺寸，如图，她测得门下矩形的边高为0.3米，的长为1米，小姝测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小姝想做一个等大的木质模具（不包含）修缮后固定支撑圆月门，则木质模具的总长度为 米，（结果保留π）    【答案】 【详解】如图，连接，延长交圆月门于点并连接，取中点并连接，    ∵四边形为矩形，∴，∴为的直径，∴， ∵在中，，∴，∴，， ∴木质模具的总长度米．故答案为：． 例2（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】连接，∵，∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得， ∵，∴，，即圆的半径为2， ∴．故答案为． 例3（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于O点， 由条件可知是直径，， 四边形是矩形，， ，，∴是等边三角形，， 门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是，故答案为：． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江衢州·二模）如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点，，∴，∴， ∴，∵圆心角和圆财角所对的弧为， ∴．故答案为：． 例2（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，∴，∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∴， ∵，∴解得（负值已舍去） ∴，∴ 故选：B 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 例4（2025·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，∵、分别切于点、， ∴，∴，∴，    ∵，∴，∴，故选：C． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线；(2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， 是的直径，， ， ，，即，． 为的半径，是的切线． （2）解：点B是的中点，． ，． ，． 又，．． 在中．．即半径为． 例2（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解(2) 【详解】（1）证明：如图：连接交于点， ∵A是的中点，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵是的半径，∴是的切线． （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， 在中，，设的半径为，则， 在中，，∴，解得：，∴的半径为． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； （2），为半径，， ，，， ，，，，， ，，，， 在中，， ，， ，，， ，设，则， ，解得，． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【答案】6 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为：6． 例2（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于，，，，同理：，， ， ，，故选A 例3（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴，∴．故选：D． 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线，∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，，∴，， 设圆形工件的半径为，则，∵，∴， 在中，，即，解得，∴圆形工件的半径为，故选：B． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：过点O作于点C，交于点D， ∵，∴米，在中，， ∴，∴，∴该屋顶弧的弧长为（米），故答案为：． 3.（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵等边是的内接三角形，∴, ∵，，∴，，∴， ∵的半径为2，∴，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴，，∴， 故选：D． 4.（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵∴点C在上，由题意得：，， ，故选：A． 5.（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 6.（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【详解】解：连接，则， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故选：C． 7.（2025·安徽滁州·三模）如图，内接于，．若 ，则弧的长为（   ） A．π B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴弧的长为，故选：A． 8.（2022·四川凉山·统考中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ，是的直径，米， 又，，（米）， 则扇形部件的面积为（米2），故选：C． 9.（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（   ） A．58° B．59° C．60° D．61° 【答案】C 【详解】解：连接， 由题意，，，， ∵等腰直角形状的三角板ABC，，， ∵一条直角边AC与半圆相切于点D，， ，，．故选：C． 10.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，于点B， ，是等腰直角三角形，，故选： 11.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， ∵点是的内心，∴平分，∵，∴， ∵点是外接圆的圆心，∴， ∵，∴，故选：C． 12.（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵正六边形是的内接正六边形，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 13.（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，四边形内接于，，， ，，， 为直径，，； 14.（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴是的直径， ∵，∴，∴的半径为， ∴的面积为，矩形的面积为， ∴阴影部分的面积为；故答案为；      15.（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】 【详解】∵，∴为的直径，即，∴， ∴（平方厘米），∴故答案为：．    16.（2020·青海·统考中考真题）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理，得， 如下图，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，连接、、， ∴，，，可得四边形为矩形， 根据切线长定理，得，∴矩形是正方形，∴， ∴，， ∵，∴，解得， 则的内切圆半径．故答案为：． 17.（2023年湖北中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆，∴分别是的角平分线， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∵与分别相切于点，，∴， 又∵，∴是的垂直平分线，∴，即， ∴，故答案为：．    18.（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴弧的长为 故答案为：． 19.（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线；(2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，∵是的外接圆，是的直径， ∴，，∴， ∵，∴， ∵的平分线交于点D，∴， ∴，∴，∴， ∵为的半径，∴是的切线； （2）解：设交于点，∵，，∴， ∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴， 设的半径为，则：，， ∵，，∴，∴，∴，∴的半径为． 20.（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， 且是的半径，∴直线是的切线； （2）解：在中，， ∴，设，∴，解得， ∵，∴的长为：． 21.（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵于点F，∴, ∵∴， ∵∴，∴，即 ∵是的半径，∴是的切线； （2）∵为的直径，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴∵∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设，则， ∵，∴∴， ∵，∴，∴解得， ∵∴解得，∴ ∴，∴ 22．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性：扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；故答案为：变强； （3），理由如下：连接，则：，∴， ∵为切线，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴； （4）∵水滴弧的长度为：，∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 23．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点，∴， ∵，∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵，，∴，设的半径为， ∴，，而，， ∴，解得：，∴，，， ∵，则，∴， ∵，∴，∴，∴. 24．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2)6 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径，∴，即， ∵，∴，∴点E为的中点， 又∵O是的中点，∴是的中位线，∴． 设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，， 即，解得，（舍去）．∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题40 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，若，则的度数为 ． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 例3（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 例2（2025·湖北·三模）如图，为的弦，．若点C为上一点，且，则的长为 ．（结果保留π） 例3（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ． 例2（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（　　） A．94° B． C．162° D．172° 例3（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（2025·湖南·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为 ． 例2（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 例3（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，，，是弦，若，，则弦的长是（　　） A． B． C． D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2025·河南·校考模拟预测）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门，如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉．小姝测量了一个圆月门尺寸，如图，她测得门下矩形的边高为0.3米，的长为1米，小姝测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落，小姝想做一个等大的木质模具（不包含）修缮后固定支撑圆月门，则木质模具的总长度为 米，（结果保留π）    例2（2025·成都·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为 ． 例3（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 ．（结果保留） 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（2025·浙江衢州·二模）如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，若，则 ． 例2（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为 ． 例4（2025·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则AB是⊙O切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．(1)求证：是的切线；(2)若点B是的中点，且，求的半径． 例2（2025·安徽池州·二模）如图，在中，点A是弧的中点，以、为邻边作平行四边形，延长交于点E，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线．(2)当，时，求线段的长． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    例2（2023年攀枝花中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 例3（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 3.（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 5.（2025·浙江·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6.（2025·河南商丘·三模）如图，是的外接圆，，已知的半径的长为，则的长为（    ） A． B．6 C． D．3 7.（2025·安徽滁州·三模）如图，内接于，．若 ，则弧的长为（   ） A．π B． C． D． 8.（2022·四川凉山·统考中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 9.（2025·山东青岛·模拟预测）将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（   ） A．58° B．59° C．60° D．61° 10.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12.（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 13.（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 14.（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    15.（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    16.（2020·青海·统考中考真题）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 17.（2023年湖北中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    18.（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 19.（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径． 20.（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．(1)求证：直线是的切线；(2)已知，求的长（结果保留）． 21.（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 22．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性：扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 23．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 24．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $