专题37 圆中的重要模型之圆幂定理模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题37 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型例1（2025·浙江·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 例2（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点．求证：． 证明：如图，连接， ∵，，∴①___________，___________∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整；(2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 模型2.割线模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（24-25·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（__________）…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务：任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程；任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 例3（2025·浙江台州·校考二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，连接，且．(1)求证：；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．    模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 1．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    2．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 3．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 4．（2025·江西宜春·模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 5．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：；(2)若，，则当为何值是，． 6．（2025·河南平顶山·二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：．（2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 7．（2025·河南·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ． 8．（2025·山东潍坊·统考一模）如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接(1)证明：是的切线；(2)若圆的半径，求的长；(3)求证：．    9．（2025·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（____________）．．∴____________， （____________），∴____________， ，，．． 任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 10．（2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；    (2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 11．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    12．（2025·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 13．（2025·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 14．（2025·河南洛阳·三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． (1)如图1，是的切线．点C，D在上．求证：；(2)如图2，是的切线．连接交于点D，为的直径．若，，的半径为5，求的长． 15．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）    16．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 17．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______．求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 19．（2025·河南·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 20.（2025·山东·校考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题37 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（同弧所对的圆周角相等）． ．∴，．，． ，，即． ．∴，． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则：， 由托勒密定理，得：，∴，∴． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型例1（2025·浙江·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 【答案】3或4 【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC， ∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB， ∴，即，∴AD=8，∴DE=6， ∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED， ∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数， 则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12； ∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7， ∴BE的值为3或4，故答案为：3或4． 例2（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点．求证：． 证明：如图，连接， ∵，，∴①___________，___________∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整；(2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，∴，，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等，故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，，∴，解得，∴的半径为． 模型2.割线模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 【答案】②③ 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC， ∴△PAD∽△PCB，∴，∴①错误；②正确； ③连接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB， ∴，∴，正确；故答案为：②③． 例2（2025·山东·校考一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC， ∵OC=3，OP=5，∴OE=OC=3，∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP−OC=5−3=2， 设PA=AB=x，则BP=2x，∵四边形ACEB为圆O的内接四边形， ∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P，∴△ACP∽△EBP， 即 解得：或 (舍去)，则 故选B. 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、， ∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（24-25·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故填空答案：． 例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（__________）…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务：任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程；任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点，，，， 又和是弧所对的圆周角，，． 任务三：∵是直径，∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴， ∵是切线，∴由任务二可知：， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即：， ∴，∴，∴的半径为3． 例3（2025·浙江台州·校考二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，连接，且．    (1)求证：；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相切，见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵，∴． （2）答：直线与相切．解：连接，∵，∴， ∵，∴，∴ ∵是的直径，∴， ∴，∴． 又∵是半径，∴直线是的切线．    模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 【答案】直线与相切于点C；；证明见解析 【详解】解：如图，内接于⊙O，直线与相切于点C，求证：．连接， ∵直线与相切于点C，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即． 故答案为：直线与相切于点C，． 例2（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；；(2)①；②，证明见解析 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点，，， 是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），，， 又（同弧所对的圆周角相等），．故答案为：；；； （2）解：①如图，是的切线，切点为，， 又，，，即：，，解得：； ②如图，连接，是直径，，， 又，是的角平分线，即：， 又是的切线，，． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2） 【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等． “依据2”是两角对应相等的两个三角形相似． 故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似． （2）∵为的直径，∴， ∵点D为的中点，∴，∴， ∴在中， ∵∴在中， ∵ ∴，∴ 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）解：由旋转可知，，， 为等边三角形，，， 在和中，，，，， 在与中，，， ，，， 故答案为：，； （2）证明：，，，，， ，，， ，，， ，， ，，，， ； （3）解：如图，， ，、、、四点共圆， 连接、，则为圆的直径，，， 延长至，使，连接，，，， ，，，， ，，， ，， ，， 当最大时，最大， 是圆的一条弦，最大为圆的直径，最大为， ，的最大值为． 1．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，设交于点，    ∵是的直径，， ，， 在中， ， ，，， 设则， ，，， 中，， ，， 又，，，，， ，，，解得， ，故答案为：． 2．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2， ∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x， 解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：． 3．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】（1）见解析  （2）的值为 【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点，∴， 即，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，，即； （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，，， 由（1）可知，，， 整理得 ，解得或(舍去)，∴的值为. 4．（2025·江西宜春·模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 5．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：；(2)若，，则当为何值是，． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图1，连接，，， 是的切线，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， 作交于，连接，，，，， 是的切线，，，，，， ，，，，， ，，，同理可得，， ，，，， ，，，； （2）解：如图2，连接，设，，则，， ，，由（1）知，，， ，，，，，， ，，． 6．（2025·河南平顶山·二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：．（2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点D，连接.则TD为的直径∴ 又∵PT为的切线∴ 即 ∵ ∴，即 （2）连接AC，OC，∵CE为的切线∴ 又∵∴∴∵∴∴ 又∵∴∴∴∴ 又∵为的切线∴ 又∵∴∴∴∴ 7．（2025·河南·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ． 【答案】AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD，见解析 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线． 求证：AB2＝AC•AD．故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD， 证明：连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC+∠CBE＝90°， ∵BE是圆的直径，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE， ∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC•AD． 8．（2025·山东潍坊·统考一模）如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接(1)证明：是的切线；(2)若圆的半径，求的长；(3)求证：．    【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）连接，，，       又平分，，，， 又，，∴是的切线； （2）连接，∵G是半圆弧中点，， 在中，，． ∴． （3）∵是的直径，，， 由（1）得，是的切线，，， ，，， 又，，∴， ． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（____________）．．∴____________， （____________），∴____________， ，，．． 任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）如图②，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（直径所对的圆周角相等）， ，．，． ，， （相似三角形的对应边成比例），． 故答案为：直径所对的圆周角相等；；圆周角定理；； （2）图3中，连接，， ，设，，，则， 是的切线，是割线，由割线定理得，则， 解得（负值舍去），，，，则， 是的直径，是的切线， ，； ，，∴，则， ，． 10．（2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；    (2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 【答案】(1)见解析(2)0，1，0(3)①等腰三角形，理由见解析，② 【详解】（1）证明：，，即， 又，； （2），，，， ∵∴，∴， ∵，，， ，， ，，，， ，，，故答案为：0，1，0 （3）①记的面积为，则，，① ，即，② 由①②可得，即，， ，即， ∴点D和点C到的距离相等，，， ，，都为等腰三角形； ②，，，，， ，， ，，又，，， ，， 则，，． 11．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： 为正三角形，． 四边形为圆内接四边形，∴； （2）证明：由（1）知，，∵， 又∵，∴．∴则 又∵，∴． 12．（2025·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）如图，连接．∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵∴∴∴半径，∴是的切线； （2）如图，连接．∵∴ ∵为的直径，∴，∴， ∵，  ∴，∴∵∴， ∵四点共圆，∴，∴，∴， ∵，∴，  ∴， ∵，∴∴，∴， 在中，，∴，∴． （3）如图，连接，交于点H．∵是的直径，∴， ∵，∴， ∵，∴，  ∴，∵，∴， ∵∴∴， ∴，∴，∴． 13．（2025·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是直径，，， ，，，，， ，∽； （2）解：设cm，由上可知 解得，（舍去），． 4．（2025·河南洛阳·三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． (1)如图1，是的切线．点C，D在上．求证：；(2)如图2，是的切线．连接交于点D，为的直径．若，，的半径为5，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，并延长交于点M，连接，如图所示： ∵是的直径，∴，∴， ∵是的切线，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）解：连接，，如图所示： ∵是的直径，∴，∴， ∵是的切线，∴，∵，∴， ∴，与（1）同理可得，，， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∵，，∴，∴． 15．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：；(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为，          ∵点是的内心，∴是的角平分线，∵，∴， ∵，∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点， ∵，∴， 由（1）可得，∴； （3）证明：连接，∵∴ ∴∴，∴ ∵，∴，又，∴， ∴，∴；∴，∴， （4）解：如图所示，连接， ∵点是的内心，∴是的角平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵， ， ∴，∴，∴． 16．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 【答案】(1)见解析(2)证明见解析， 【详解】（1）作图如下：连接OE，EQ，∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；∴QE=QP， ∵MN是OP的中垂线，∴OQ=OP，点O在圆Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ， ∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°， ∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圆O的切线． （2）证明：连接BE，OA， ∵EP是圆O的切线， AB为圆O的直径，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP ∵OE和OB为圆O的半径，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP， ∵∠EPB=∠EPA，∴，∴，∴． ∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴，∴． 17．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知是的切线，切点为点，为的割线． (1)求证：；(2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）过作的直径，连，则，， ∵切于点，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）连接，由（）可知，又，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴的半径，∴的面积等于． 18.（2025·河南·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______．求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于，求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵∴，∴∴． ∵∴． ∵∴即， ∴∴， ∴． （2）在图3中，连接AD、AC． ∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设． 在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： 即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为． 19．（2025·河南·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，．∴．∴．∴． （2）解：∵，，．由（1）可知．∴． ∵，是的直径，，．连接OD．如图②． ∵为切线．∴．∵．．∴．∴． ∵，∴．∴，．又∵．∴． 20.（2025·山东·校考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 【答案】(1)见解析(2)半径为；的值为 【解析】(1)证明：∵FC=FE，∴∠CEF=∠ECF， ∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠ECF=∠ECB+∠FCB，∴∠CAF+∠ACD=∠ECB+∠FCB， ∵点D是弧AB的中点，∴∠ACD=∠ECB，∴∠CAF=∠FCB， ∵AC是直径，∴∠CBA=∠CBF=90°，即∠F+∠FCB=90°， ∴∠F+∠CAF=90°，∴∠OCF=90°，∴CF是圆O的切线； (2)解：∵cosF=，即，令BF=3k，则CF=5k，∴BC==4k， ∵CF=EF，∴2+3k=5k  解得k=1，∴CF=5，BF=3，BC=4， 在Rt△ABC中，∠ACB=∠F，∵cos∠ACB=，∴AC=，所以半径为， 在Rt△ACF中，，∴，∴AE=AF-EF=，连接AD， ∵∠CBE=∠ADE，∠CEB=∠AED，∴△CBE∽△ADE， ∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $