专题36 圆中的重要模型之隐圆（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题36 圆中的重要模型之隐圆 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：定点定长（定义）、定弦对定角（或直角）、定边对等角（四点共圆）、对角互补（四点共圆）等。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.隐圆之定点定长模型 6 模型2.隐圆之定弦对定角模型 9 模型3.隐圆之同弦对等角（四点共圆）模型 12 模型4.隐圆之对角互补（四点共圆）模型 16 20 隐圆模型‌源于中考数学对动态几何问题的深度提炼，其核心思想是“‌化隐为显‌”，即当图形中未直接出现圆时，通过特定几何条件识别出隐藏的圆（或圆弧），进而利用圆的对称性、等距性与角度性质简化求解。该模型广泛应用于最值、轨迹、角度推理等压轴题中。 学习圆的相关知识，不仅仅要充分理解、运用圆的定义和圆的基本性质、圆的对称性、和圆相关的角以及直线和圆的位置关系等相关知识，更要树立“圆”的思想和“圆”的意识，既要关于哪些看得见的圆，更要心领神会哪些看不见的圆--隐圆。 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． （2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 模型1）隐圆之定点定长模型 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合． 条件：如图1，若P为动点，且AB=AC=AP，结论：B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 图1 图2 图3 模型2）隐圆之定弦对定角模型 ‌定弦对定角‌：若某固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 1）条件：如图2，固定线段AB所对动角∠C恒定值，结论：动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2）条件：如图3，特别地，若∠C为直角，结论：动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 模型3）隐圆之定边对等角(四点共圆)模型 定边对等角模型：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C（为定值），则A、B、C、D四点共圆 图4 图5 图6 图7 1）条件：如图4，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 2）条件：如图5，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型4）隐圆之对角互补(四点共圆)模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：如图6，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图7，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。 ∴，∵，∴∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.隐圆之定点定长（定义）模型 例1（2025·湖南永州·三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 例2（2025·江苏·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 例3（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ． 例4（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是 ． 模型2.隐圆之定弦对定角模型 例1（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 例3（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 例4（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 模型3.隐圆之定边对等角（四点共圆）模型 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为 ． 例2（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 例3（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 例4（2025·河南驻马店·三模）如图，是等边三角形，P是内一动点，将点P绕点B逆时针旋转得到点Q，射线和射线交于点D，则 ；过点A作交于点E，连接，若，，则的最小值为 ． 模型4.隐圆之对角互补（四点共圆）模型 例1（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 ． 例2（2025·广西来宾·三模）如图，在中，，D、E、F在上，连接，若，，则线段的最小值为 ． 例3（2025·贵州·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 例4（2025·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东惠州·三模）如图，在中，，作的外接圆，D为上的动点且在的上方，F为线段的中点，P为线段上一点，Q为线段的延长线上一点，，则下列结论正确的有（    ） ①    ②的最小值为 ③    的最大值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则 ，线段的最小值为 ． 5.（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是 ． 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，中，，将绕点C顺时针旋转一周，点A、B的对应点为与，连接，在旋转的过程中线段的长最大值为 ，最小值为 ． 8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有 ． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，菱形中，，点为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ． 10.（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 11（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为 ． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 13．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 14．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，点D为的中点，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，点E，F在运动的过程中，的最小值为 ，当最大时，线段的长是 ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 16.（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    17．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，四边形中，，，，且四边形的面积为，连接，则的面积为 ；在上取点，使，则最小值为 ． 18．（2025·广西贵港·一模）【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ，．（定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部，点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】（1）①根据类型一的学习，可求得 °；②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】（2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 19.（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）（）提出问题：如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展：如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用：某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 21.（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题36 圆中的重要模型之隐圆 隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：定点定长（定义）、定弦对定角（或直角）、定边对等角（四点共圆）、对角互补（四点共圆）等。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.隐圆之定点定长模型 6 模型2.隐圆之定弦对定角模型 9 模型3.隐圆之同弦对等角（四点共圆）模型 12 模型4.隐圆之对角互补（四点共圆）模型 16 20 隐圆模型‌源于中考数学对动态几何问题的深度提炼，其核心思想是“‌化隐为显‌”，即当图形中未直接出现圆时，通过特定几何条件识别出隐藏的圆（或圆弧），进而利用圆的对称性、等距性与角度性质简化求解。该模型广泛应用于最值、轨迹、角度推理等压轴题中。 学习圆的相关知识，不仅仅要充分理解、运用圆的定义和圆的基本性质、圆的对称性、和圆相关的角以及直线和圆的位置关系等相关知识，更要树立“圆”的思想和“圆”的意识，既要关于哪些看得见的圆，更要心领神会哪些看不见的圆--隐圆。 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵∴，∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴，由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，，∴，，∴， ∵，∴，即，∴，∴ ∴，即面积的最小值为．故选：B． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，，， ，． ，，， 又，，， ，是定值，取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持，点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，即点E在位置时，取最大值， ，，， ，即，，，即的最大值为， 此时，的最小值是3，故答案为：3． （2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴，∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为；故答案为： 模型1）隐圆之定点定长模型 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合． 条件：如图1，若P为动点，且AB=AC=AP，结论：B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 图1 图2 图3 模型2）隐圆之定弦对定角模型 ‌定弦对定角‌：若某固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 1）条件：如图2，固定线段AB所对动角∠C恒定值，结论：动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2）条件：如图3，特别地，若∠C为直角，结论：动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 模型3）隐圆之定边对等角(四点共圆)模型 定边对等角模型：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C（为定值），则A、B、C、D四点共圆 图4 图5 图6 图7 1）条件：如图4，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 2）条件：如图5，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型4）隐圆之对角互补(四点共圆)模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 条件：如图6，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图7，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。 ∴，∵，∴∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.隐圆之定点定长（定义）模型 例1（2025·湖南永州·三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 【答案】 【详解】解：将沿折叠得到，， 点为的中点，，， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ，共线时，的值最小，如图， 最小为；， 设，，，在直角三角形中， 由勾股定理得：，，解得：，即，故答案为：． 例2（2025·江苏·二模）如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上取点Q，使得，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，即的最小值为．故选：D 例3（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：依题意可知，点的运动轨迹是一个圆，设点的运动轨迹为，且是以点为位似中心的位似图形，当过圆心时，过圆心，， ，，过的顶点构造矩形， ，，， ，，， ，，令点， ，， ，解得，,点的坐标为， ，，， 在中，，， ，， ，即轨迹的半径为． 当点在上时，取得最小值，如图，， ．故答案为：． 例4（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长相交于点，连接， ∵，，∴， ∵点为的中点，∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示， 过点作于，当与圆弧的交点和点重合时，的边上的高最短，此时的面积的最小，如图，∵，∴， 设，则，，∴， ∵，∴，∵，∴， 解得，（不合，舍去），∴，∴， ∴的面积的最小值为，故答案为：． 模型2.隐圆之定弦对定角模型 例1（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【详解】解：，．如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为，连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，，∴，∴， ，即的最大值为，故答案为：． 例2（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上， ∵为等腰三角形，当时，点为正方形对角线的中点，如图， ∵    ，∴； 当时，如图，过点作于，则，， ∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴，∴； 当时，如图，仅当点和点重合时， ∵点为正方形内部一点，∴此种情况不符合；综上，的长为或，故答案为：或． 例3（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，，，，， ，，，， ，，，， ，，四边形是矩形，， ，四边形是矩形， ，，， ，，， ，的最小值是，故答案为：． 例4（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，∵边长为6的等边，∴， ， 又∵，∴，∴， ∴， ∴，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 此时，连接交于，当点P运动到时，取到最小值， ∵，，，∴， ∴，，∴， 又∵，∴，， ∴，即，故答案为：． 模型3.隐圆之定边对等角（四点共圆）模型 例1（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】18 【详解】解：过点F作于点P，连接 ∵四边形为矩形，∴，∴ ∵与互补，∴与互补，∴四点共圆， ∵，∴，∵，，∴， ∵∴∴，同理， ∴，∴， ∴四边形周长为，∴当最小时，四边形周长， ∴当，即点重合时，最小，即为， ∵，，，∴由勾股定理得：， ∵，∴， 而，∴，∴四边形周长为：，故答案为：18． 例2（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【答案】B 【详解】解：如图连接、 交于点 ，在矩形中，，， ∵， ∴四点共线，以为圆心 为半径作圆，作 交于点， ∴， ，∴；∴， ∵ ，当最大时最小，∴连接，当为 中点时最大，则， ∵ ，且为中点，∴ ，则， ∴ ，∴，∴的最小值为8，故选：B． 例3（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：，∴四点共圆，，∴为直径， ， ， ，，， 在圆中，直径是最长的线段，因此当为直径时，最大，， ，故答案为：． 例4（2025·河南驻马店·三模）如图，是等边三角形，P是内一动点，将点P绕点B逆时针旋转得到点Q，射线和射线交于点D，则 ；过点A作交于点E，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 60 【详解】解：如图1所示，连接，设交于T，由旋转的性质可得， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴，∴， 又∵，，∴； ∵是等边三角形，∴； ∵，∴四点共圆，∴； ∵，∴点P在以点B为圆心，3为半径长的圆上； ∵，∴， ∴当最小时，有最小值，∴当与相切时，最小，此时有最小值， 如图2所示，此时，∴，， 设，则，在中，， 在中，由勾股定理得，∴， 解得或（舍去），∴；故答案为：60；． 模型4.隐圆之对角互补（四点共圆）模型 例1（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，则，而， ∴，∴点在的外接圆上运动， 记，所在的圆为，连接，，，，∴，， ∴， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：．故答案为：． 例2（2025·广西来宾·三模）如图，在中，，D、E、F在上，连接，若，，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作、的外接圆与，两圆交于点G，连接、． ∵四边形为内接四边形，∴， ∴， ∴C、E、D、G四点共圆，圆心为Q，连接，则， ∵，且，∴， ∵，∴， 作的外接圆，连接，则为等腰直角三角形，∴， 过点M作，垂足为N，则∴， 即为等腰直角三角形，则，从而，连接， 在中，，在中，，∴的最小值为， 当为直径时，连接，则为等腰直角三角形， ∴故答案为： 例3（2025·贵州·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：是等边三角形，，， ，，， ， ，如图，连接设， 当时，点A到点F的值最小，，， ，，，， ，A，D，F，E四点共圆，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，．故答案为：． 例4（2025·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边 (2)成立，理由见解析(3)或3 【详解】（1）解：由题意可知：①两直线平行，内错角相等，②同弧所对的圆周角相等，③等角对等边， 故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：连接DQ，如图1所示：          ∵在菱形中，∴，， ∵，∴点共圆，∴，， ∵为菱形的对角线，∴，∴，∴； （3）解：或3． 由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下： ①当时，如图2所示： ∵在菱形中，，，∴， ∵，∴，∴， 由（2）中知点共圆，知，， ∴，∴，即， ∴在中，，则，∴由（2）知； ②当时，如图3所示： 在菱形中，，则， ，点与点重合， 由（2）可知，，，综上所述：或3． 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，，，，， ，，，，， ，，,, ，，即当取得最小值时，则的长为，故选：C． 2.（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，过点作于点，连接． ，．在中，，， ，，，，． ，．， ，，． ，，点在以为直径的上运动，． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为．故选：B． 3．（2025·广东惠州·三模）如图，在中，，作的外接圆，D为上的动点且在的上方，F为线段的中点，P为线段上一点，Q为线段的延长线上一点，，则下列结论正确的有（    ） ①    ②的最小值为 ③    的最大值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是的外接圆，，， 在中，，， ，， ，故①正确； 如图，连接，取的中点，连接，，过点作，垂足为， ∵是的中点，是的中点∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵∴ ∴∴， ∴， ∴ ∴的最小值为，故②错误； ∵设，则，，∴∴解得： ∴，∴， ∴ 又∵∴∴，故③正确； ∵是直径，∴，∴ ∵即∴，故④正确， 故正确的有①③④，故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在的上方，作，使得，连接，过点O作于Q，于J． ∵，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的上， ∴当点P落在线段上时，的值最小，∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴，∵，， ∴，，∴，∴， ∴，即∵，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴， ∴的最小值，故答案为：，． 5.（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ∴，，，∴， ∴，∴，∴四点共圆，∴， ∴点在以为直径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，有最小值，此时重合， ∴，即的最小值是，故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：，，， 点P是的内心，分别是和的平分线， ， ， ∵，，，∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ，， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示：∴，， ∴四边形是正方形，，， 在中，， 即的最小值为；故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，中，，将绕点C顺时针旋转一周，点A、B的对应点为与，连接，在旋转的过程中线段的长最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：中，，， ∵将绕点C顺时针旋转一周， ∴点运动轨迹为以点C为圆心，长为半径的圆，，如下图， ∴当点在线段上时，线段的长最小为； 当点在线段延长线上时，线段的长最大为；故答案为：；． 8．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵正方形，∴，，，，∵，∴， ∵，∴，故①符合题意； ∵，，∴，∴，故②符合题意； 当时，，∴，，∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵，∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小，∵，∴， ∴，∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意；故答案为：①②④ 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，菱形中，，点为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长到点H，使得，连接，，，，如图， ∴是的中位线，∴，由菱形的性质可知，，， ∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， 由翻折的性质可知，，∴点F在以C为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点C，点F，点H三点共线时，最小，即最小，由勾股定理得，， ∴最小的，∴最小的．故答案为：． 10.（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，，分别是CB、AB的中点，连接EF，将绕点旋转一个角度，连接并延长，与直线交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ∴，，，∴， ∴，∴，∴四点共圆，∴， ∴点在以为直径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，有最小值，此时重合， ∴，即的最小值是，故答案为：． 11（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，取中点E，中点F，连接，在线段上取点O使，连接，，，以点O为圆心，为半径画弧，∵在矩形中，，点E是中点 ∴，， ∵，∴ ∵，∴，即 ∵∴∴ ∴点P在以为半径的圆上运动，如图所示，连接，， ∴；∴如图所示，当点B，P，O三点共线时，有最大值，即的长度 根据题意得，四边形是矩形；∴ ∴；∴ ∵；∴ ∴；∴线段的最小值为．故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等 腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，．． 点P是的内心，即，分别平分和，，． ． ，，，≌．． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ，设所对的圆心角优角为，则，． ，．，． ∵四边形是正方形，．过点Q作，则， ．∴是等腰直角三角形．． ．． ．的最小值为．故答案为：． 13．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H． ∵，∴优弧所对的圆心角的度数为，∴劣弧所对的圆心角：， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，在中，， ∴，，∵，∴， ∴，∵，∴，∴BP的最小值为． 14．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，点D为的中点，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，点E，F在运动的过程中，的最小值为 ，当最大时，线段的长是 ． 【答案】 1 【详解】解：如图1，；∴， ， ∵点D为的中点，∴，∵，∴同理，在中，， ∵点E，F分别是边，上的动点，点G是的中点， ∴G点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的，∴当G点位于上时，最小， ∴的最小值为；故答案为：1； ∵如图2，当与圆C相切时，最大，过A点作圆C的切线，切点为G，∴， ∵，∴在中，，∴， ∵G是的中点，，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为 【答案】 【详解】解：如下图所示，连接，，是的直径，圆心在上， ，， ，，以为斜边构造等腰直角， 则有，，， 以点为圆心，为半径作圆，在优弧上取一点，连接、，则， ，点在的劣弧上运动，当点、、三点共线时，的值最小， ，，，， ．故答案为： ． 16.（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    【答案】 【详解】如图，连接、，在上取一点，使得，    ，，，、、、四点共圆， ，，是等边三角形，， ，是等边三角形，，，， ，，，， 四边形的周长为， ，当最大时，四边形的周长最大，则最大， 当是的外接圆的直径时，最大，此时点在中点处， ，最大值=，最大为，故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，四边形中，，，，且四边形的面积为，连接，则的面积为 ；在上取点，使，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 如图，过作于点，∴，即， ∴，∴点在与平行，与距离为的直线上运动， 延长交直线于点，则，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，取，则，∴， ∵，∴,∴， ∴点在以为直径的圆上运动，取中点，∴， ∴， 如图，当三点共线时，最小， ∵，∴最小值为，故答案为：，． 18．（2025·广西贵港·一模）【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ，．（定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部，点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】（1）①根据类型一的学习，可求得 °；②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】（2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【详解】（1）①是所对的圆心角，而是所对的圆周角，， ，故答案为：； ②， ，．（定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部，点在弧上（不包括点、点） 如图2，连接交于点，此时最小， ， ，在中，，， ，，最小值为； （2）四边形是正方形，，， ，，，， ，，， ，如图4，连接，交于点， 点在运动中保持，点的运动路径是以为直径的圆弧， 点的运动路径长为 ． 19.（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（），；（）；（）证明见解析；． 【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） ∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，； （）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆， ∵，∴，故答案为：； （）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆； 解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴， ∵，关于对称，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，∵，∴． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）（）提出问题：如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展：如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用：某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 【答案】（）；（）；（）元 【详解】解：如图，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于， 则，，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，即的外接圆的半径是，故答案为：； （）∵是等边三角形，∴，， 如图，将绕点逆时针旋转到，连接， 则，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∵，， ∴，∴，， 又∵，∴，∴是直角三角形，， ∴，∴； （）解：∵米，米，，∴米， ∵，，∴， ∵，∴把顺时针旋转得到，连接，则，，，，∴是等边三角形，∴米， ∴平方米， ∵，∴， ∴，如图，作的外接圆， ∵米，，∴点在上运动（不含端点）， 连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大，∵，∴， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值， 当时，如图，则米， ∵，，∴，∴， ∴米， ∴平方米， ∴种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值为元． 21.（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．(2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． 【答案】(1)垂直， (2)见解析 【详解】（1）解：连接并延长交于，         ∵，∴，同理：， ∴，∴，四点共圆，∴， ∵，∴，∴与垂直；∵是的中点，∴，， ∵是的中点，∴，∵，∴，∴， 又，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：垂直，； （2）作于，作，交的延长线于点，连接， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，四点共圆，∴， ∵是的中点，∴，，∵是的中点，∴，∴， ∴，∴，∴是梯形的中位线，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∴，∴，∴； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $