专题39 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题39 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.米勒最大张角（视角）模型 5 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 10 17 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，， ，，，，， ，，，，，， 在中，， 设的半径为，则，，， ，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【答案】B 【详解】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大， 设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E， ∵点、的坐标分别是，∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点， 故，根据切线性质，∴，∴四边形，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：B. 例2（2025·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，当最大时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：过点P作于点F，则，由旋转知，， ∴点P是在以点A为圆心，以长为半径的上运动， 当最大时，与相切，∴，∵正方形中，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，解得，∴， 当点F在上时，，∴； 当点F在延长线上时，，∴． ∴的长为或．故答案为：或． 例3（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【详解】米勒定理 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，，（填“、或”）， 又，，，眼睛位于点C处时，最大，故答案：，； 问题解决∶解：如图，过作交于， 四边形是矩形，，，， ，， ，，， 在中，，， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 例4（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 【答案】（1）见解析（2）当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为（3）①② 【详解】解：（1）设与小圆交于点C，连接，如图， 则，∵，∴； （2）由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时摄像机P对球门的视角最大， 连接，过点G作于点D，如图， 则．∵与相切于点P，∴， ∵A，B两点的坐标分别为，∴，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∴．∴，∴． ∴当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为； （3）①由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时这名球员继续跑到达点P处对球门视角最大，连接，过点O作于点E，如图， 则．∵与相切于点P，∴，∵，∴, ∵，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴这名球员继续跑可到达对球门视角最大的射门位置． ②作经过A，B的圆，连接，使，如图， ∵无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为，∴点Q在G中的以为弦的优弧上运动， 过点G作于点H，过点G作于点F，则， 由题意：F为的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，， ∵摄像机P位于对的视角最大的位置，∴点P位于经过M，N的圆且与相切的切点， 作的垂直平分线，交于点K，交于点P，则P位于对的视角最大的位置， ∴，∵，∴四边形为矩形， ∴，∴， ∵当点G，Q，P三点在一条直线上时，P、Q水平距离最近，最近距离为（如图）， ∵，， ∴P、Q水平距离最近时相距．故答案为：． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：.      法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接， ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 例4（2025·广东深圳·二模）【问题提出】（1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）15  （3）存在一个面积最小的，其最小面积为 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作于E， ∵是边长为6的等边三角形，∴，，∴， ∵，∴；故答案为：； （2）如图2所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∴（SAS），∴，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴（SAS），∴，， 又∵，∴； （3）存在一个面积最小的；理由如下： 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，∴， ∵，∴，过点E作于M，作于N，则四边形是矩形， ∴，∴，∴，∴， ∴当的面积最小时，的面积最小；如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设， ∴，∴，∴， ∵，∴当r最小时，的面积最小， ∵，∴，∴， ∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究（2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决（3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如答案图①，即为所求；（答案不唯一）； （2）如答案图②，作的外接，连接，， ，，是等腰直角三角形， 过点O作于点E，，， ，当取得最小值时，取得最小值， ，，即，， 当点共线时，即点E与点D重合时，取到最小值， 的最小值为； （3）如答案图③，连接，过点P分别作的垂线，垂足记为， ，点P在的平分线上，且，， ，同理可得， ． 要使剩余板材的面积最大，则裁下的板材的面积需要取得最小值， 如答案图③，将绕点P逆时针旋转得到，作的外接圆，连接，过点O作于点M，设的半径为r， 为定值，为定值，板材的面积取得最小值时，值最小， ， ，，，， 如答案图④，当且仅当三点共线时，即点G与M重合时，取得最小值， ，， ， 五边形板材面积的最大值为． 1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 【答案】C 【详解】解：如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大． 故选C． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 【答案】B 【详解】解：以为弦作圆，当圆与相切于时，最大，甲最佳射门位置是点， 连接，过作于，连接，，（米， ，四边形是矩形，，， 米，米，（米，米， （米，米， 甲位于最佳射门位置时离点的距离是米．故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， 在和中，，， 于点，，点在以中点为圆心以为直径的圆上， 如下图所示，以点的中点为圆心，线段为半径作，当与相切时最大， 设的半径为，则有，，，， 在中，，．故答案为： ． 4.（25-26浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。 【解析】通过“距地面30米”，“光线夹角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高）， 可识别出定角定高模型，因此当△ABC为等腰三角形，边BC有最小值，此时△ABC为等边三角形， 解直角三角形求出BC=米，进而求出面积最小值为平分米， 周长最小值为米。可求答案：；。 5．（2025·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE， ∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 法1：根据：∠EAF＝60°，AK＝2，得到定角定高（探照灯）模型 设三角形△AEF的高为AK=h，其外接圆半径为r，∠EAF= 根据定角定高（探照灯）模型知道：当△AEF是等腰三角形（AE=AF）时。 ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时EF有最小值； ∴=4，当取等号时△ABC面积有最小值； 法2：作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 6．（2025·山东·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 【答案】（1，0） 【详解】解：∵点P在x轴正半轴上，作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角， ∴当圆E的半径最小时，∠MPN最大，∴当圆E和x轴相切时，∠MPN最大， 设E（x，y），则P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根据EM=EN=PE， 则，由化简可得：x+y=3， 由化简可得：， 将y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案为：（1，0）． 7.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】/ 【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H． ∵，∴，∵．，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴；故答案为：． 8．（2025·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究：如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)(2)(3)约是米 【详解】（1）解：连接，，，并过M作于N，则四边形为矩形，因而有， 因为，所以点N的坐标为，则M的纵坐标，即； 又，由垂径定理得，在中，由勾股定理得： ，故点M的坐标为（2，）； 又由圆周角定理可知，所以 ==.    （2）解：由于点A，B的坐标分别为，所以点N的坐标为（0，  ）， , , ,所以 所以，故点C的坐标为（，0）. （3）解：由题意，根据上述（2）的结论，可得小明视角最大时，视点到直线的距离为≈（米）．   9．（2025·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， ∵是的外角，∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）    【答案】（1）＜，＜；（2），理由见解析；（3）15米 【详解】解：（1）如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴， （2），理由如下：如图所示，设与交于点G，连接，    ∵，∴，∵是的外角，∴，∴． （3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大， 过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F， ∴，∴， ∵，，，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∵，设的半径， ∴，即，∴，∴， ∴在中，，∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去） ∴，∴． 答：的长度为米． 10．（2025·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值是；理由见解析；（3）存在，最大值是平方米． 【详解】解：（1）如图1，根据旋转可知：，，， 根据勾股定理，得，∴， 在中，根据勾股定理，得：，故答案为：； （2）的面积存在最小值，最小值是；理由如下： 如图2，作的外接圆，连接，，，过点作于， 设，∵，∴． ∵，∴，∵，∴，． ∵，∴，∴，∴，即的最小值是2． ∵，∴的最小值是，此时， ∴的面积存在最小值，最小值是； （3）存在，如图3，过点作于，则， ∵，，∴，∴． ∵，∴，将绕点顺时针旋转得到， ∴，∴，∴，，三点共线． ∵，当的面积最小时，四边形的面积最大， 作的外接圆，连接，，，过点作于， 设米，∵，， ∴，∴，∴． ∵，∴是等边三角形，∴，． ∵，∴，∴，此时的最小值是， ∴（平方米）， ∴四边形的面积的最大值是平方米． 11．（2025·山东·校考一模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把、代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作，交于， ∵抛物线的解析式为，与轴交于、两点，∴令，则， 解得∶（为点横坐标），，∴，，设直线的解析式为， 把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为， ∵点为第一象限抛物线上的一点，∴设点（）， ∵，交于，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴把代入得：，整理得：， ∴点的横坐标，∴点的横坐标点的横坐标， ∵的边上的高与的边上的高相同，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴， ∴当时，取得最大值， ∴与面积的比值的最大值为； （3）解：如图，作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，，∴， ∴点的纵坐标点的纵坐标，∴点的坐标为； 如图，作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接， ∵，∴，∴当点在点的位置时，最大， ∵，，抛物线的解析式为，与抛物线对称轴相切与点， ∴点的横坐标，抛物线对称轴为，， ∴，∴点的纵坐标点的纵坐标， ∴点的坐标为；综上所述，当最大时，点的坐标为或． 12．（2025·山西晋城·模拟预测）最佳视点 如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点． 如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…    任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大； 任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)． 【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想 【详解】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接， ∵是的外角，∴， 又∵与都是弧所对的圆周角， ∴， ∴，∴在点E时视角最大． 任务二：∵，∴， 又∵，∴是等边三角形，． 如图2，连接，∵是的切线，∴，    ∵，∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴．由题意得，(米)， 在中，(米)．答：观察者应该站在距离米的地方最理想． 13．（2025·江苏常州·模拟预测）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点是上一点，连接，，过点作于点，连接，，求的大小；(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点为直线上的一个动点，且，求出点的坐标；（ⅱ）如图3，点为直线上的一个动点，连接，．当最大时，求出此时的面积． 【答案】(1)(2)（ⅰ）P点坐标为或；（ⅱ）． 【详解】（1）解：连接，∵，，∴， ∵，∴， （2）解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图）， 设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，则点Q在直线上，设， 则，∴， 当时：，即，，∴，， ∵，∴，解得或者（舍去），此时， 当点P在x轴下方时，由轴对称可知：； 综上所述，当时，P点坐标为或； （ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1）， 设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，则点Q在直线上，，则有， 如图2，当与直线相切时，最大， ∴，此时为等腰直角三角形，， ，在中：， 解得：或（舍去），∴，∴， 即为等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 14．（2025·江苏镇江·二模）数学的思考:如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析(2)(3)(4)见解析 【详解】（1）解：如图，连接，∴∵是的外角，∴， ∴，∴． （2）直线l的表达式为，∵点C在直线l上，设点， ∴，， ∵，∴     ∴， 解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为． （3）连接并延长，交于点E，连接，如图， ∵是直径，∴，∴， ∵与x轴相切于点P，∴轴，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，即可得到直线的解析式为，∴， ∴，，∴，即， ∴，∴P点的坐标为． （4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求． 15．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点） ，垂足D在线段上 ，垂足M在线段外       (1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：证明：由三角形外角性质可得：，， ∴，即， ∴．在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性； （2）如图，由垂径定理可得，圆心O在线段的中垂线上，且到的距离等于半径，得到圆心O的位置如图，所在直线为线段的中垂线，点Q为切点，∴，∴，    ∵，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，最佳射门点到M的距离是． 16．（2025·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”． 如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 【答案】（1）；（2）；（3）米；． 【详解】（1）连接，∵，∴； （2）连接， 过作于点，连接，∵，∴， ∵恰好与l相切于点P，∴，∵，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴在中，， ∵，，∴， ∵，∴，∴； （3）以为弦，作切于直线，连接延长交于点，连接， 由（1）可知，当在线段上运动时，在如图位置时最大， ∵，，∴，∵直线切于，∴， ∴四边形是矩形，∴． ∴，∴，∴， ∵米，米，米， ∴． 设，则，∴在中， 即，解得米．∴米，米， ∵，∴∴． 答：摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值”． 17．（2025·陕西·一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）15；（3）存在，． 【详解】（1）如图①，过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面积＝×CD×AH＝×4×10•sin60°＝10，故答案：10； （2）如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEH中，AF=AH, ∠EAH＝∠EAF，AE=AE，∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15； （3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG， 则AG＝ AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N， ∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝， 设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H， 则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R， 由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4， ∴△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16， ∴△AGE的面积的最小值为16﹣16，∴△AEF的面积的最小值为24﹣24． 18．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米 【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．        ． 设，则，由，得，即， ∴，， ．即面积的最小值为 （3）过点作于点于点，∵平分，∴． 又，． 米，，， 为等腰直角三角形，∴米， （平方米），平方米． 在上截取，连接，如图．  ，， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ，， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则，∴．设，则． 由，得，解得，米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.米勒最大张角（视角）模型 5 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 10 17 1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regiomontanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Roder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌ 这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regiomontanus' Maximum Problem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。 有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。 “探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。 （2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． （2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ． 1）米勒最大张角（视角）模型 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D， 2）定角定高模型（探照灯模型） 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 例1（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 例2（2025·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，当最大时，的长为 ． 例3（25-26九年级上·陕西西安·期末）【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空：设点是上任意一个异于C的点， 是的外角，______（填“、或”）， 又______，．眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 例4（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点对线段的视角． 【问题探究】如图2，已知线段与直线，在直线上取一点，使点对线段的视角最大． 【数学思考】如图2，圆越大，越小 点在直线上圆与直线有公共点圆与直线相交或相切 当圆与直线相切且点为切点时，最大 （1）请说明图2中，； 【问题解决】如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为轴和轴建立如图所示平面直角坐标系，两点的坐标分别为，，摄像机在上移动拍摄． （2）请求出当摄像机对球门的视角最大时点的坐标．（用含的代数式表示） （3）在足球比赛中，足球位置对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门，一名球员从点处带球，沿方向跑动，，，． ①这名球员继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽，若摄像机位于对的视角最大的位置，在点移动的过程中，水平距离最近时相距______m． 模型2.定角定高模型（探照灯模型） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    例4（2025·广东深圳·二模）【问题提出】（1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】（3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 例5（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个； 问题探究（2）如图②，在中，，点C到的距离为6，求的最小值； 问题解决（3）碳纤维复合材料具有密度低，抗拉强度高的特点，近年来被广泛使用于民用汽车和大型飞机，既能增加美观性，又能降低自重达到减少耗油量的目的，如图③，四边形是一块碳纤维复合材料制成的板材，其中，由于高强度撞击导致P点出现小孔，经过测量点P与点A之间的距离为，且点P在的平分线上，工人为了不浪费这块板材，沿过点P的直线（分别在上）裁掉一个后，求五边形板材面积的最大值．（结果保留根号） 1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（   ） A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ． 4.（25-26浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。 5．（2025·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 6．（2025·山东·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 7.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 8．（2025·湖南永州·二模）问题探究与应用实践 （一）问题探究：如图（1），已知直线与水平视线互相垂直，，在上，在上，∠ACB叫做“视角”，点叫做“视点”，⊙是过，，三点的圆.当视点在直线上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点恰是⊙的切点时，视角最大，此时观察的效果最佳.当视角最大时：分别以直线，为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.      (1)如果此时点A的坐标为，点B的坐标为，试求圆心M的坐标及的值； (2)如果此时点A，的坐标分别为（0，a），（0，），请求出视点的坐标.（用a，的代数式表示） （二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题： (3)如图（3），是广场上挂的一个大屏幕电视，直线是水平视线，屏幕最高点A和最低点到水平视线的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线上）到直线的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：） 9．（2025·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下： 如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， ∵是的外角，∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）， ∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）； 【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）    10．（2025·陕西渭南·统考二模）问题探究：（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______； （2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； 问题解决（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 11．（2025·山东·校考一模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标． 12．（2025·山西晋城·模拟预测）最佳视点 如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点． 如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…    任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大； 任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)． 13．（2025·江苏常州·模拟预测）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，根据圆周角定理进行探究． (1)如图1，是的弦，点是上一点，连接，，过点作于点，连接，，求的大小；(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点为直线上的一个动点，且，求出点的坐标；（ⅱ）如图3，点为直线上的一个动点，连接，．当最大时，求出此时的面积． 14．（2025·江苏镇江·二模）数学的思考:如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标． 数学的眼光(1)如图①，请说明 数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程； (3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标； (4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹） 15．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点） ，垂足D在线段上 ，垂足M在线段外       (1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离． 16．（2025·陕西西安·一模）综合与实践 【问题提出】（1）如图①，点A为上一点，点D为外一点，(点A、点D在直线的同侧)，则与的大小关系为：________ (填“”、“”、“”) 【探究】（2）如图②，已知线段，点B为上一点，且，过点A作直线于点A，经过B、C两点的恰好与l相切于点P，连接，求． 【问题解决】（3）我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”． 如图③，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，．米，米，米，摄像头E从点D出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”． 17．（2025·陕西·一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为　 　； 问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 18．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $