专题18 圆中的重要模型之构造辅助线的八大模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦圆中辅助线构造八大模型，覆盖中考高频考点如垂径定理、圆周角定理、切线性质等。按“模型原理-真题解析-分层训练”架构，通过考点梳理、方法归纳和中考真题示例，帮助学生系统掌握解题策略，突破几何难点。 亮点在于模型化教学与核心素养培养，如模型4“直径作圆周角”构造直角三角形，结合2025北京海淀二模题培养推理能力与几何直观。分层练习配合限时测试，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应试能力。

专题18 圆中的重要模型之构造辅助线的八大模型 1 模型1 遇弦连半径（构造等腰三角形） 1 模型2 遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 6 模型3 遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 10 模型4 遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 14 模型5 遇90°的圆周角连找半径构造圆 19 模型6 遇切线连圆心和切点（构造垂直） 24 模型7 证明切线的辅助线（证垂直或直角） 29 模型8 遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 37 44 模型1 遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于，连接．，则的大小为 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，首先根据圆周角定理可得，结合知，即有，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：70． 例2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，直径与弦的交点为E，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：40． 例3．（2025·北京海淀·一模）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵直径平分弦， ∴， ∴． 故答案为：． 例4．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理和勾股定理求出边的长度是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，可求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 模型2 遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1．（2025·北京大兴·一模）将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 例2．（2025·河北唐山·二模）如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，勾股定理的应用．作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，，；设茶杯的杯口外沿半径为，在中，由勾股定理知，进而得出结果． 【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径， 由题意可知，； ∵ ∴， 设茶杯的杯口外沿半径为 则在中，由勾股定理知 解得 故答案为：． 例3．（2024·广东·模拟预测）如图，在中有折线，其中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，交于点，证明是等边三角形，可得，作于点，，可得，由可得，从而可得，即可得的长． 【详解】解：延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 作于点，则为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 例4．（2025·福建厦门·二模）一个数学小组研究如何用某地的纬度来计算该地所在纬线（圈）的长度各成员查阅相关资料，得到如下信息： ①地球半径约等于； ②如图，在地球仪表面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫做纬线（圈）； ③如图，为地球半径，弦，的大小为点所在地纬线（圈）的纬度根据以上信息，北纬纬线（圈）的长度约为 千米． 结果保留，参考数据：，， 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形的应用，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法，过作于，根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，过作于， ， ，， ， （千米）， 北纬的纬线长千米． 北纬纬线圈的长度约为千米． 故答案为：． 模型3 遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1．（2024·湖南·模拟预测）如图，直线，为的两条直径，点E 在上，连接，点 C 为的中点，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵点 C 为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：25． 例2．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 例3．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，再根据得出，进而即可求出答案． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：45． 例4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数是 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故答案为：． 模型4 遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 【答案】50 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 例2．（2025·北京顺义·一模）如图，是的直径，是的弦，与交于点，若为中点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，，，求出，得到，求出． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，为中点， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 例3．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例4．（2025·江苏南京·一模）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由是直径，推出，设，，则，，，再求出、即可解决问题． 【详解】解：连接，． 是半圆的直径， ，又， ， 是的中点， ， ， ； ，，， ， 又， ， ， ， ，设，，则，，， 在中，， 是直径， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 模型5 遇90°的圆周角连找半径构造圆 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示： 在等腰中，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， 是外接圆的直径， 又， 根据圆周角定理得：点F在外接圆上， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 点E是的中点， ， ， 解得：， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 例2．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点， ∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：， 此时， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 例4．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了矩形的性质，与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理、度的圆周角所对的弦是直径，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据三点共线是有最值即可求解． 【详解】解：由题意得， 点在为直径的圆上，在中， 的半径为是的中点， 三点共线时线段有最值， 如图1，有最大值， 如图2，有最小值． 故答案为：4，1． 模型6 遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接、，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：连接、，如图， 四边形内接于， ， ， ， 、为的切线， ，， ， ， ． 故答案为：． 例2．（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 例3．（2025·四川南充·一模）如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由切线的性质得，根据，则，结合圆周角定理，得出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点C作的切线交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例4．（2025·重庆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，以为直径的交于点E，连接，的切线交于点F，连接．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】过点C作，设，，根据等腰梯形的性质可得出，，再根据，得出y与x的关系式，然后将此关系式代入即可得出答案；先根据，求得，易证，然后根据对应边成比例，表示出，解出的表达式，进而代入可得出的值． 【详解】解：如图，过点C作，连接， 设，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：，即可得：， ∴（负值舍去）， ∴； ∴； ∵， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， ∴． 故答案为：；． 模型7 证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1．（2024·北京·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，根据已知条件得到，求得，进而得到，于是得到结论； （2）连接，，根据勾股定理得到，则，根据题意得到，，则，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 例2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 例3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 例4．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，在 中， 点 O 是 的中点，与半圆O 相切于点 D． (1)求证：是半圆O 所在圆的切线； (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，过点O作于点E，由等腰三角形中三线合一，可得，证明，推出，结合可证是半圆O 所在圆的切线； （2）连结，由等腰三角形中三线合一，可得，由可得，再证，推出，进而求出，． 【详解】（1）证明：如图，连结，过点O作于点E， ∵，点O是的中点， ∴，即． ∵与半圆O相切于点 D， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是半圆O所在圆的半径， 又∵， ∴是半圆O所在圆的切线； （2）解：如图，连结， ∵，点O是的中点， ∴，． ∵与半圆O相切于点 D， ∴， ∵在中，， 又 ∵，， ， ∴，即．， ∴ 模型8 遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1．（2025·山西阳泉·二模）有一张如图所示的四边形纸片，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G，根据角平分线性质，证明点E到四边形各边的距离相等，进而确定出圆最大半径时的位置，再利用相似三角形的性质求出半径即可． 【详解】解：如图，连接，作的角平分线，交于，过E作于点F， 作于点G， 则由角平分线性质知，， 又∵， ∴， ∴， ∴同理，由角平分线性质知，点E到四边形各边的距离相等， ∴当以点为圆心，以为半径作圆时，可知与四边形各边相切，此时圆的半径最大，其面积也最大，设圆的半径为r，如下图： ， ∵为直角，，， ∴四边形为正方形， ∴， 由为直角，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 例2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点、、；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)若，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得的内切圆； （2）连接，，，根据切线的性质得到，，求得，得到四边形是矩形，根据角平分线的性质得到，，求得，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：连接，，， ∵是的内切圆， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， 即的半径r的长为2． 例3．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 例4．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）任务1：由题可知两圆的直径为，则圆的最大半径为； （2）任务2：连接，，利用勾股定理求出，利用三角形内切圆的性质证明四边形为正方形，即可解答； （3）任务3：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，利用勾股定理求得半径的值，根据题意求出符合的半径即可． 【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列， 两圆的直径为， 圆的最大半径为； （2）解：如图，连接，， 设的半径为， 在中，， 是的内切圆， ，，，，， 又， 四边形为正方形， ． （3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距， 如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点， 则，， 在中，， 整理得， 解得， 当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 一、单选题 1．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图连接， 由圆内接四边形的性质可得：， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选A． 2．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的性质，，勾股定理，圆周角定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 过作，连接，，由圆周角定理可得，进而得到，再根据是另一侧半圆的中点，得到，继而得到，进而得到，再由，即可得到，即可求． 【详解】解：过作，连接，， 是的直径， ， ，， ，， 是另一侧半圆的中点， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，解得， ， ， ，即，解得， ． 故选：C． 3．（2025·甘肃临夏·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心O在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心O到的距离为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，求正切值，过O作半径于C点，根据垂径定理得到，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：过O作半径于C点， ∵，弦的长为， ∴， ∴. 故选：A． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 二、填空题 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角定理，熟悉掌握圆心角与圆周角的关系是解题的关键． 在优弧上取一点，连接，，利用角的等量代换求出的度数，即可用圆周角定理求解． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图所示： ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（2025·广东广州·二模）在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，连接交于E，由轴对称的性质可得，，则，再证明得到，则可求出，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于E， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的正切值，先根据网格判断是等腰直角三角形，得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得出． 【详解】解：由图可知，，， ，则， ， ， 故答案为：1 9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，，°，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的计算，解题关键是垂径定理的应用．作于F，得，由题意，得，，由进而求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：作于F， 得， 由， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 10．（2025·河北唐山·二模）如图，和中，，，．点，分别在，边上滑动，点在的下方，则点与点的最小距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，点与圆上一点的最值问题，勾股定理，取的中点，以为直径作圆，连接，根据题意，将固定，则点在以为直径的半圆上运动，根据题意可得在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，以为直径作圆，连接， 在中， ∴ 在中， 将固定，则点在以为直径的半圆上运动， ∴点与点的最小距离为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质与判定、垂径定理、相似三角形的性质与判定，关键是全等三角形及相似三角形的判定． （1）只需找到≌即可得出结论． （2）通过论证∽，可得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）解：过点作于点， 如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∵， 即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，． (1)求证：； (2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答． （2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于，， ∴，． ∴． ∴； （2）解：依题意，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴． ∴ ∵是直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点F，由已知条件可得出，由垂径定理的推论可知，，再根据平行线的性质即可得出，进一步即可证明． （2）利用同弧所对的圆周角相等以及平行线的性质，结合等边对等角的性质进一步证明，由相似三角形的性质即可得证． （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，由勾股定理求出k值，进而求出，，最后根据（2）的结论即可求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F， ∵， ∴， 由垂径定理的推论可知，， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线． （2）证明：∵四边形内接于， ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 设，，则， ∴，， 在中， ，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴. 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等，证明某直线是圆的切线，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 14．（2025·北京·模拟预测）在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，过点D作交于点G，若，且，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． （1）连接，，与交于点H，由直径得到，根据“两直线平行，同位角相等”然后即可求解的度数，由切线的性质得到为直角三角形，求得，最后根据“同弧所对的圆周角为圆心角的一半”，即可求解； （2）连接，，先证为的中位线，得到，在通过得到，然后根据得到，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ∵以为直径的与相切于点E， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，，如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，由（1）得， ∴， ∵为半径， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去 ∴， 在中， 可得， ∴的半径． 15．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，平分，交延长线于点E，，以为半径的交于点A，已知，． (1)求证：是的切线． (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点O作于点F，设的半径为r，则利用角平分线的性质，全等三角形的判定定理和勾股定理解答即可； （3）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：过点O作于点F，如图， ∵平分，，， ∴的半径， 设的半径为r，则． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为3． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2025·北京·三模）在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 17．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 18．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则； （2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题18圆中的重要模型之构造辅助线的八大模型 目录导航 例题讲模型 模型1遇弦连半径（构造等腰三角形） 模型2遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） .6 模型3遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） ..10 模型4遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） …14 模型5遇90°的圆周角连找半径构造圆… .19 模型6遇切线连圆心和切点（构造垂直） .24 模型7证明切线的辅助线（证垂直或直角） .29 模型8遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） .37 习题练模型 ….44 例题讲模型 模型1遇弦连半径（构造等腰三角形） 模型解读 己知AB是⊙O的一条弦，连接OA,OB,则∠A=∠B 1/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径 构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个 端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 模型运用 例1.(2025：北京密云一模)如图。为0直径CD为00的-条弦 CD、,⊙O AB LCD于E,连接 D,DB ∠CAB=20°，则∠OBD的大小为°. E 例2.(2025北京·模拟预测)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD的交点为E,AC∥OD,若∠BCE=65°， 则∠B=一° 例3.(2025·北京海淀一模)如图，⊙0的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠BAC=35°，则∠BOD 的大小为°. 2/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B D 例4.(2026陕西·一模)如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE=6, OB=10,则CD的长度为一 B 模型2遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题) 模型解读 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB,则AE=BE,OE2+AE2=OA。 B 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过 弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半 径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 般有弦中点、或证明弦相等或己知弦相等时，常作弦心距。 模型运用 例1，(2025·北京大兴一模)将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别 交于点A,B,C,D,点C,点D分别对应量角器的刻度为120,60，若量角器的直径EF的长为8cm,则 点O到CD的距离为cm. 3/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 例2.(2025河北唐山·二模)如图，将一把宽为2cm的刻度尺（单位：cm)放在一个圆形茶杯的杯口上， 刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外 沿半径为一。 012345678910 例3.(2024广东·模拟预测)如图，在⊙0中有折线OABC,其中OA=8,BC=20,∠A=∠B=60°， 则AB的长为一 B 例4.(2025福建厦门二模)一个数学小组研究如何用某地的纬度来计算该地所在纬线（圈）的长度·各 成员查阅相关资料，得到如下信息： ①地球半径约等于6400km; ②如图1，在地球仪表面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫做纬线（圈）； 2 0A ③如图，“为地球半径，弦 BC∥OA∠a 的大小为点所在地纬线（圈）的纬度根据以上信息， 北纬24°纬线（圈）的长度约为一千米. （结果保留π，参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45) 4/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 模型3遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 模型解读 1 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC,则∠ACB=2∠AOB。 模型运用 例1.(2024湖南模拟预测)如图，直线AB,CD为⊙O的两条直径，点E在⊙O上，连接DE,点C 为正的中点，若∠A0C=50°，则∠CDE=_。. D B E 例2.(2025宁夏银川模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙O的直径，∠ADC=116°， 点E在⊙0上，则∠BEC=一· 5/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 例3.(2025·四川南充·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙0上位于直径AB两侧的点，连接 C,DC,且0=D,则∠CD-度 D ⊙ 例4。，(2025陕西西安模拟预测)如图，4D,BD是O0的两条弦，点C在O0上，B是C, 的中点，连 接OB,OC,若∠BOC=46°，则∠D的度数是一 模型4遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 模型解读 如图，己知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC,则∠ACB=90°。 B 6/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的 圆周角的构造。 模型运用 例1.(2025北京海淀二模)如图，B为00的直径，点C在O0上，点D为C的中点，连接 AC,BD.若LABD=20°，则∠BAC=°. O 例2.(2025北京顺义·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E,若E为CD p点，BCD=60,cD-25,则4E= E B 例3.(2026福建福州一模)如图，在以点0为圆心的半圆中，AB是直径，D+BC=CD,连接 4C,BD交于点E,连接OC交BD于点F,若CB=3A6,则cE:CA的值是一 O 例4.(2025江苏南京一模)如图，AB是半圆的直径，1C是一条弦，D是4C的中点，DB上AB于点 7/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g且nB交4C于点p0B交4C于点0老是-寻 CG D B 模型5遇90°的圆周角连找半径构造圆 模型解读 如图，已知圆周角∠BAC=90°，连接BC,则BC是⊙O的直径。 C B 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 模型运用 例1. (2025湖南益阳·模拟预测)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,E为BC的中点， AB上有一点F,若∠CFE=∠CAE,则△CFE的面积等于一· 例2.(2025山东潍坊·三模)如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且AE⊥BE,点F是边AD的中 点，点G是边CD上的一动点，连接EG,FG,则EG+FG的最小值为_ 8/21 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 例3.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，点E为正方形ABCD内部一点，∠AEB=90°，AB=10,点F为 EB边上一点，且AE=BF,连接DF、AF,则△ADF面积的最小值为一 D B 例4.(2025河南信阳·模拟预测)如图，点M是矩形ABCD边AB的中点，AB=4,AD=3,若点P是 平面内的点，且∠BPD是直角，则线段MP的最大值为一，最小值为一· 模型6遇切线连圆心和切点（构造垂直） 模型解读 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C,连接OC,则OC⊥AB。 B 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的 有关性质解题。 9/21 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型运用 例1.(2026安徽：模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，过A、C分别作⊙O的切线，交于点E, 若∠ABC=125°，则∠E的度数为一· D B C E 例2.(2025北京·模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙0上一点，过点C作⊙0的切线CD,交 AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=26°，则∠CAB=一· D 例3.(2025四川南充·一模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D均在⊙0上，过点C作⊙0的切线交BA 的延长线于点P,连接 0,0.若P=28”,则D的度数为 例4.(2025·重庆模拟预测)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,以AD为直径的⊙O交AB于点 E流接DE·O0商战文C于点K连接D若nCDE·B6则%-一架- BF D 0 10/21