专题38 圆中的重要模型之阿基米德折弦模型、婆罗摩笈多（定理）模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题38 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 11 15 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3(2)，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ，，，； （2）解：，证明如下：如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点，，， 在和中，，，，， ，，，即； （3）解：是的直径，， 的半径为10，，，由勾股定理得：，， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ，，，，， ，即点是的中点，， ，； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，，，，即点是的中点， 由（2）可知，，，在中，， 综上可知，长为或． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，在中，，， 又∵，∴，∴， ∵，∴∴，∴； （2）证明：∵∴，∴ 又∵，∴， ∵，∴∴，∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ，， ，，即，，， ，，，由（1）中结论可得， ，，在中，，． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【详解】解：∵点是的中点，∴， ∵，∴，则选项A正确； 如图，连接，，，∵，∴， ∵，∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下：∵是的直径，∴， 又∵，∴，∴，∴平分，则选项D正确；故选：B． 例2（2025·河南南阳·校考一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点，… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 【答案】(1)见解析(2)2＋4 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中∵ ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG，∴△MBG是等腰三角形又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD； （2））解：如图4，截取BF＝AD，连接CF，CD， ∵△ABC是等边三角形∴ BC＝AC，∠CBF＝∠CAD，∠ABC＝60°， 在△CBF和△CAD中∵ ∴△CBF≌△CAD（SAS）， ∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD＝∠ABD＝15°∴△CDF是等腰三角形， ∵CE⊥BD，∴FE＝DE，∠BCE＝90°则AD+DE＝BE， ∵∠ABD＝15°∴∠CBE＝∠ABC－∠ABD＝45°∴∠BCE＝90°－∠CBE＝45° ∴△BCE是等腰直角三角形∴BE＝CE＝2，BC＝ ∴AD+DE＝BE＝2，AB＝BC＝2 ∴△DAB的周长＝AB＋AD+DE＋BE＝2＋4故答案为：2＋4 例3（25-26九年级上·四川南充·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点，① 又② 又即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 【答案】[问题呈现]①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等；[理解运用]1；[变式探究]；[实践应用] 或． 【详解】[问题呈现] 由证明过程可知， （相等的弧所对的弦相等）；（同弧所对的圆周角相等）； 故答案为：①相等的弧所对的弦相等；②同弧所对的圆周角相等； [理解运用]，即， 即，解得：，，故答案为：1； [变式探究]．证明：在上截去，连接、、、， 是弧的中点，，． 又 ， 又，，，即，故答案为：； [实践应用]是圆的直径，．因为，圆的半径为5，所以． 已知，过点作于点， 则，所以．所以． 如图，同理易得．所以的长为或． 例4（2024·河南·校考二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接， ∵是的中点，∴ 在和中，∴，∴ ∵，∴∴ ； （2）证明：在中，，在中，， 由（1）可知， ， ∴ ； 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（2025福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）DF=FP=AF，点F为AD的中点，过程见解析 【详解】解：（1）补全的图形如图所示；         （2）已知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC⊥BD，PE⊥BC．延长EP交AD于点F． 求证：点F为AD的中点 证明：∵AC⊥BD，PE⊥BC∴∠CPD=∠CEF=∠APD=90° ∵EF是线段  ∴∠CPE+∠CPD+∠DPF=180°，即∠CPE+∠DPF=90° ∵在Rt△CEP中，∠CPE+∠ECP=90°∴∠ECP=∠DPF ∵∠ACB与∠ADB为同弧所对的圆周角∴∠ACB=∠ADB，即∠ECP=∠PDF ∴∠DPF=∠PDF∴△DPF为等腰三角形，DF=FP ∵∠APF=∠APD -∠DPF=90°-∠DPF，∠PAF=90°-∠PDF∴∠APF=∠PAF ∴△APF为等腰三角形，PF=AF即DF=FP=AF，点F为AD的中点． 例2（2025·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据）又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）…，∵，， ∴，∴，∴． （3）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 例3（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：，，，（依据）， ，… (1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)等边对等角；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）∵，（等边对等角）， ∴上述证明过程中的依据是指等边对等角；故答案为：等边对等角 （2）证明：，， ，（等边对等角）， ，∴， ∵，∴，∴，∴． （3）解：∵，∴是等腰三角形， ∵点是弧的中点，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 在中，， 由题意得，四边形内接于，对角线，垂足为F，点G为的中点，连结并延长，交于点，根据布拉美古塔定理可得，， ∵，∴， ∴，∴，解得 .1（25-26九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形，，为的直径，， 的半径为4，，点为的中点，，， ，， ，，设，，其中， 则，解得：或 舍去，即，， ，，，，， ，，解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵，∴，∴．故选：A． 2.（2025·安徽芜湖·一模）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB， ∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC， CD=AB+BD=，故选：D． 3．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    【答案】1 【详解】解：连接，交于点E，连接并延长交于F，连接，设的半径为r，      ∵是直径，∴，由题意知，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，同理可得， ∴，∴，即的半径为1，故答案为：1． 4．（2025·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点， ∴根据阿基米德折弦定理得，， ∵中，，于点，且， ∴，，即是等腰直角三角形，则， ∴，∴， ∵的周长为，∴，故答案为：． 5.（2025·广东·校考一模）（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【详解】解：如图，连接 ∵∴，∴，而， ∴点E为弧的中点，即，∴， ∵，∴，∴．故答案为：60． 6．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程：， ，． ，（_________________________）．………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 【答案】任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等；任务二：见解析；任务三： 【详解】解：任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得， 故答案为：同弧或等弧所对的圆周角相等； 任务二：，∴，，∴， ∵，∴，∴，同理，∴，∴F为的中点； 任务三：如图，作于点G， 由条件可知，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到，∴，， ∵的中点，∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴， ∴在和中，∴，∴．故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．《阿基米德全集》的《引理集》中记述的一个引理用几何语言表示如下： 如图（1），在中，，以为直径作半圆，交于点，过点作于点，过点作半圆的切线交于点，连接交于点，则． 任务：(1)以下是小明写出的该引理的证明过程，请你在括号中填上对应步骤的依据． 证明：如图（2），连接，，．∵与半圆相切，∴． 又∵，，∴，（    ）∴，∴． ∵是半圆的直径，∴，（    ）∴，， ∴，∴，（    ）∴． ∵，，∴， ∴，，∴，∴． (2)若，求半圆的半径． 【答案】(1)；直径所对的圆周角是；等角对等边(2)半圆的半径为 【详解】（1）解：证明：如图（2），连接，，． ∵与半圆相切，∴． 又∵，，∴，（ ）∴，∴． ∵是半圆的直径，∴，（直径所对的圆周角是） ∴，，∴，∴，（等角对等边）∴． ∵，，∴，∴，， ∴，∴．故答案为：；直径所对的圆周角是；等角对等边． （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴ 在中，根据勾股定理，得，∴ 设半圆的半径为，则; 连接，在中，根据勾股定理， 得，即，解得，即半圆的半径为． 8.（24-25·山西太原·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME∴　 　，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF… 任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为：　 　； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，①　 　．求证：②　 　．证明： 【答案】（1）∠CBD=∠CAD；（2）①FA=FD，②FE⊥BC；证明见解析． 【详解】解：（1）由题意：空格处为∠CBD=∠CAD．故答案为：∠CBD=∠CAD； （2）①FA=FD，②FE⊥BC．故答案为：FA=FD，FE⊥BC． 理由：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 9．（2025·安徽宣城·一模）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为，过点作的垂线分别交，于点，． (1)求证：是的中点；(2)若，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：，，， ，，，， ，，，， 同理可得，，，是的中点； （2）解：，，，， ，，， 是的中点，，． 10．（2026·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形．(2)如图1，四边形ABCD为的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知．求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”． (3)如图2，在中，，以AB为弦的交AC于点D，交BC于点E，连接DE，AE，BD，，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． 【答案】(1)③(2)见解析(3)1.5 【详解】（1）解：当平行四边形ABCD是“婆氏四边形”时，则四边形ABCD的对角线AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=∠ABC， ∵四边形ABCD为的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形；故答案为：③ （2）证明：设AC与BD交于点E， ∵， ∴，∴∠CED=90°， ∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”； （3）解：∵，∴，∴AC=4， ∵BD为的直径，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴BD⊥AE， ∴弧AD=弧DE，弧AB=弧BE，∴AD=DE，BE=AB=3， 设AD=DE=x，则CD=4-x，CE=5-3=2，在中，， ∴，解得：，即DE=1.5． 11．（2025·内蒙古·校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：， 故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴；    证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点，，， 在和中，，，， 在和中，，， ，． 12．（2025·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1）；∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴．同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ②依据2指的是圆内接四边形对角互补， 故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； （2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF， 则EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°， 又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP， 同上可得点B，D，P，E四点共圆，∴∠DBP=∠DEP， ∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴点D，E，F在同一直线上； （3）如图，连接． ∵点P是的中点，∴，∴． 又∵，∴，∴，∴． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①； ②；③(2)①见解析；② 【详解】（1）解：①平行四边形对角线不相等， 平行四边形一定不是“等对”四边形，该说法正确； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确； 故答案为：①； ②；③； （2）①∵四边形是“等对”四边形，，， ， 又∵四边形是“垂对”四边形，，，为等腰直角三角形， 设，，则，，，， ②，在中，， 又∵为的中点，， ，，， ，即，， ，即， 将代入，得，解得： 14．（2025·江苏淮安·校考二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)；存在最小值，其最小值为 【详解】（1）解：延长到E，使得，连接，如图①，， 在和中，，，． ，，．故答案为：； （2）解：与的数量关系为：． 理由如下：延长至点G，使，连接，如图，则． 是的边上的中线，， 在和中，，， ，，，． ，．，． 在和中，，，．． （3）解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，．，，， ，，．，． ，． 在和中，，， ，．； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下：取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ，．，， ，，即． 在和中，，，， ∴点E，D，G、B四点共圆，，， ∵F为的中点，∴．，， ∴四边形为平行四边形，，，． ，．，． 在和中，，， ，． 若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，的值最小为：． 15．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是的中点，，，在中，， 在和中，，，， ，，． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且，，， ，四边形是矩形，， ，， ，． 16．（2025·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4． 【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．理由如下：如下图， ∵，为的中点，∴．∴． ∵，∴．∵， ∴．∴．∴．即：． ∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题． 故答案为：真命题． 【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴．∵，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∵，∴．∴． ∵为等腰直角三角形，∴．在和中， ∴．∴．∵，∴． 在和中，∴．∴．即是的中点． （2）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵，∴． 在和中，∴． ∴．∴． ∵，∴． ∵，∴． 在和中，∴．∴． 17．（2025·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1） ∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴． 同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ②依据2指的是圆内接四边形对角互补， 故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； （2）如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE、QF， 则EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴点E，F，P，C四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°， 又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，同上可得点B，D，P，E四点共圆，∴∠DBP=∠DEP， ∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴点D，E，F在同一直线上； （3）如图，连接． ∵点P是的中点，∴，∴． 又∵，∴，∴，∴． 18．（24-25·湖南长沙九年级月考）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． （3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°． ①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值． 【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；② 【详解】解：（1）如下图， ∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形， ∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故答案为：③； （2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD为直径， ∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6， 设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根据勾股定理, ,即，解得，即DE=3； （3）①设AC，BD相交于点E如图所示 ∵，，∠BOC+∠AOD=180°， ∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC， ∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°， ∵OA=OB=OC=OD，∴,， ∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴， 在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴， ∵AD+BC=4设，则，，， 在Rt△BON中，， 当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为． 19．（2025·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ，， ，，， 同理可证，，∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形故答案为：四边形是菱形 20．（2025·河南·校考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见解析 【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补； ③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换； （2）证明：如图，连接PA，PB，PC． ∵点P是的中点，∴．∴，． 又∵，，∴． ∴（HL）．∴． 21．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 【答案】(1)勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；直径所对的圆周角等于90° (2)见解析(3) 【详解】（1）解：勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）； 直径所对的圆周角等于90°． （2）证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴，∴，∵，∴． ∵，∴，∵，；∴， ∴，∴， ∴ （3）连接交于，如图，∵，，∴， ∴，，由（2）得：， ∴，解得：，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题38 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.阿基米德折弦模型 6 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 11 15 折断的琴弦：“折弦”之名源于其几何形态—从圆周一点 B 引出的两条弦 AB 与 BC 宛如一根被折弯的琴弦。阿基米德通过观察此类折线结构，揭示了隐藏的等量关系，后人便以“折弦定理”命名此模型‌。 数学家的浪漫：据传阿基米德曾用诗歌形式记录该定理（如“折弦端点连中点，垂线落处定等分”），将抽象几何化为韵律，体现了古希腊学者对数学与艺术融合的追求‌尽管原始诗作已佚，这一传说仍被数学史研究者津津乐道。 婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型以‌7世纪印度数学家婆罗摩笈多‌（Brahmagupta）命名，他是首个系统研究圆内接四边形性质的学者。其著作《婆罗摩历算书》首次记载了该定理，比欧洲同类研究早近千年，彰显了古印度数学的卓越成就。有趣的是，西方文献常称其为“布拉美古塔定理”，实为同一人名的音译差异。‌ （2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． （2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么；如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：，，即，，， 在中，，…… 请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；(3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 1）阿基米德折弦（定理）模型 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）模型 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC． 模型1.阿基米德折弦模型 例1（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 例2（2025·河南南阳·校考一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是弧ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是弧ABC的中点，… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为弧AC上一点，，于点E，，连接AD，则△DAB的周长是___________． 例3（25-26九年级上·四川南充·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图（1），和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点，① 又② 又即． 根据证明过程，分别写出步骤①，②的理由：① ；② ； 【理解运用】在图（1）中，若，则 ； 【变式探究】如图（3），是的两条弦，点M是的中点，于点D，请写出之间存在的数量关系： ； 【实践应用】如图（4），内接于，是的直径，点D为圆周上一动点，满足．若，的半径为5，求的长． 例4（2024·河南·校考二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3证明：． 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 例1（2025福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程． 例2（2025·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线，垂足为点，并且交直线于点，则． 证明：∵，，∴ ∴，．∴． ∵，∴．（依据）又∵，∴．∴．…… 任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整； （3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点，直线交于点，交于点．若，则．请证明该命题． 例3（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形内接于，对角线，垂足为，点为的中点，连结并延长，交于点，则． 证明：，，，（依据）， ，… (1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程． (3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形内接于，，点是弧的中点，，请直接写出线段的长度． .1（25-26九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·安徽芜湖·一模）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形是的内接四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若，则的半径为 ．    4．（2025·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    5.（2025·广东·校考一模）（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 6．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程：， ，． ，（_________________________）．………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．《阿基米德全集》的《引理集》中记述的一个引理用几何语言表示如下： 如图（1），在中，，以为直径作半圆，交于点，过点作于点，过点作半圆的切线交于点，连接交于点，则． 任务：(1)以下是小明写出的该引理的证明过程，请你在括号中填上对应步骤的依据． 证明：如图（2），连接，，．∵与半圆相切，∴． 又∵，，∴，（    ）∴，∴． ∵是半圆的直径，∴，（    ）∴，， ∴，∴，（    ）∴． ∵，，∴， ∴，，∴，∴． (2)若，求半圆的半径． 8.（24-25·山西太原·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD． 证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90° ∴∠CBD＝∠CME∴　 　，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF… 任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为：　 　； （2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性： 已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，①　 　．求证：②　 　．证明： 9．（2025·安徽宣城·一模）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线，垂足为，过点作的垂线分别交，于点，．(1)求证：是的中点；(2)若，求的长． 10．（2026·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形．(2)如图1，四边形ABCD为的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知．求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”． (3)如图2，在中，，以AB为弦的交AC于点D，交BC于点E，连接DE，AE，BD，，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． 11．（2025·内蒙古·校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 12．（2025·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1）；∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴．同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 14．（2025·江苏淮安·校考二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． (3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 15．（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点，．．．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 16．（2025·江苏·校考一模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 17．（2025·河南安阳·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知内接于，点P在上（不与点A，B，C重合），过点P分别作，，的垂线，垂足分别为．点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接，，，，取的中点Q，连接，，则，（依据1） ∴点E，F，P，C四点共圆，∴．（依据2） 又∵，∴． 同上可得点B，D，P，E四点共圆，…… 任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________． (2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 18．（24-25·湖南长沙九年级月考）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． （3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°． ①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值． 19．（2025·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 20．（2025·河南·校考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上 以下是他们的证明过程： 如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF， 则（依据1）， ∴E，F，P，C四点共圆．∴（依据2）． 又∵，∴． ∵，∴B，D，P，E四点共圆．∴（依据3）． ∵，∴（依据4）． ∴点D，E，F在同一条直线上． 任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______； ③依据3指的是______；④依据4指的是______． (2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性． 21．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2）∴， ∵，∴． 学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________；依据2：______________．(2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $