专题35 最值模型之几何转化求几何最值模型（全等、相似、中位线）（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题35 最值模型之几何转化求几何最值模型（全等、相似、中位线） 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。 本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），希望对大家有所帮助！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.几何转化模型-全等转化法 1 模型2.几何转化模型-相似转化法 3 模型3.几何转化模型-中位线、斜边中线转化法 4 模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形边、对角线转化法 5 模型5.几何转化模型-其他性质转化法 6 16 该模型并非教材中的正式定义，而是教学实践中总结出的解题策略体系，它融合了多种经典模型的思想。几何转化法求最值模型，是初中数学中解决线段和、差或图形最值问题的核心方法之一。其本质是通过‌几何变换‌（如全等、相似、其他几何性质等）将复杂问题转化为基本最值模型，再依据“两点之间线段最短”“垂线段最短”等原理求解。 （2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． （2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． （2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ． （2025·黑龙江·二模）如图，正方形的边长为8，E是平面上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是 ． 模型1）全等转化法 条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。 该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。 模型2）相似转化法 条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。 该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。 模型3）中位线转化法 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 模型4）（特殊）平行四边形的边、对角线转化法 该模型主要运用（特殊）平行四边形边、对角线的性质（如：平行四边形对边相等、对角线互相平分、矩形的对角线相等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。 模型5）其他性质转化法 图1 图2 条件：如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，结论：BC=AC. 证明：可以过点A作底边的高线，通过含30°、60°的直角三角形三边关系求得结论。 条件：如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，结论：BC=AC. 模型1.几何转化模型-全等转化法 例1（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在等边中，，点在中线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 例2（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的动点，以线段为一边并在其右侧作等边三角形，连结，则的最小值是 ． 例3（2025·四川内江·校考一模）如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为 ． 例4（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为 ． 模型2.几何转化模型-相似转化法 例1（2026·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是边上的动点，则的最小值是（　　）​ A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，线段（）的长是的两根，P是y轴正半轴上一点，连结，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连结．当线段取最小值时，此时线段的最小值为 ． 例3（25-26九年级·北京朝阳·培优）已知为正三角形且，为平面内一点，连接．当时，的最小值为，则的值为 ． 模型3.几何转化模型-中位线与斜边中线转化法 例1（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，连接，点P是上的动点（不与端点重合），连接，点M是的中点，过点P作于点Q，连接，则的最小值是 ． 例2（2025·山东东营·一模）如图，在矩形中，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ． 例3（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． 例4（2025·安徽淮北·二模）如图，为的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是（   ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对边、对角线转化法 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在等腰中，，，为上一动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于，则的最小值为 ． 例2（2025·广东韶关·一模）如图，在中，，，M为斜边上一动点，过点作交于点，交于点，则线段的最小值为 ． 例3（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 模型5.几何转化模型-其他性质转化法 例1（2025·河南焦作·三模）如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ，此时的长为 ． 例2（2025·山东枣庄·二模）如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 例3（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 例4（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西南宁·月考）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·校考二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 8．（2025·江苏扬州·校考一模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 9．（25-26九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（　　）    A． B．6 C． D． 10．（2025·广东湛江·校考二模）如图，在上有顶点C和动点P，位于直径的两侧，过点C作的垂线与的延长线交于点Q．已知的直径为10，，则最大值为（　　） A．5 B． C． D． 11．（2026·四川成都·校考一模）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝ ． 12.（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ． 13．（2026九年级·广东·培优）如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，则对角线的最小值为 ． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有 ． 16．（2025·江苏南京·二模）如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是 ． 17．（24-25九年级下·福建漳州·月考）如图，边长为4的菱形的对角线相交于点O，，P为线段上的一动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 18．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）在边长为5正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接， （1）若时， （2）的最小值为 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为 ． 20．（2025·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号） 21．（2025·广东肇庆·一模）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ． 22．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、． 【探究提炼】（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数；②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题35 最值模型之几何转化求几何最值模型（全等、相似、中位线） 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。 本专题我们所讲的几何转化法求几何最值是对前面八类几何最值模型的一个补充。虽然我们前面讲的几何最值模型涵盖了大部分的最值问题，但也有部分几何最值无法很好的解决。鉴于此我们补充几类几何转化法（主要利用全等、相似、或其他的几何性质（如：中位线、对角线、特殊的边角关系等）转化），希望对大家有所帮助！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.几何转化模型-全等转化法 1 模型2.几何转化模型-相似转化法 3 模型3.几何转化模型-中位线、斜边中线转化法 4 模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形边、对角线转化法 5 模型5.几何转化模型-其他性质转化法 6 16 该模型并非教材中的正式定义，而是教学实践中总结出的解题策略体系，它融合了多种经典模型的思想。几何转化法求最值模型，是初中数学中解决线段和、差或图形最值问题的核心方法之一。其本质是通过‌几何变换‌（如全等、相似、其他几何性质等）将复杂问题转化为基本最值模型，再依据“两点之间线段最短”“垂线段最短”等原理求解。 （2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：连接， ∵矩形中，，∴， ∴，∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线，∴， ∴当点重合时，取得最大值为5，故答案为：5． （2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，，∴， 如图，设与交于点O，过O作于点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵，∴，解得：． ∴线段长最小为．故答案为：． （2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/0.75 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，，∴； ∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴当有最小值时，有最大值，∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为，∴的最小值为，∴的最大值为，故答案为：． （2025·黑龙江·二模）如图，正方形的边长为8，E是平面上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是正方形，，， ， ∵绕点顺时针旋转得到， ，， ∴，，∴， ∵，， 在和中，，，，， 在中，，， ，∴点落在上时，最小，最小值为，故答案为：． 模型1）全等转化法 条件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。 该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的全等模型，从而将所求线段进行转化。 模型2）相似转化法 条件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；结论：，。 该类转化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在图形中很难同时出现，需要我们通过辅助线构造出手拉手型的相似模型，从而将所求线段进行转化。 模型3）中位线转化法 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 模型4）（特殊）平行四边形的边、对角线转化法 该模型主要运用（特殊）平行四边形边、对角线的性质（如：平行四边形对边相等、对角线互相平分、矩形的对角线相等）来将不易求得的某些线段转化为能易求的线段进行求解。 模型5）其他性质转化法 图1 图2 条件：如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，结论：BC=AC. 证明：可以过点A作底边的高线，通过含30°、60°的直角三角形三边关系求得结论。 条件：如图2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，结论：BC=AC. 模型1.几何转化模型-全等转化法 例1（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，在等边中，，点在中线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】解：取的中点E，连接， ∵等边，将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，，∴， ∵等边， ∴，∵E是的中点，是中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点P在中线上运动，点E为的中点，∴当时，最短，即最短， 此时，即，∴， ∴，即，∴．即，故答案为：． 例2（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，是斜边上的动点，以线段为一边并在其右侧作等边三角形，连结，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵在， ∴， 解得，∴， 以为边在上方作等边，连接，，过点F作于点G， ∵是等边三角形，∴， ∴，即，∴， ∴，∴当时，的值最小，的值就最小， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是矩形，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，解得，∴的最小值为．故答案为：． 例3（2025·四川内江·校考一模）如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，，∴， ∵，P为中点，Q是的中点，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点D在直线上运动，∴当时，最小，∵，，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴， ∴线段的最小值是为1．故答案为：1． 例4（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，连接，，，如图所示： 则，为等腰直角三角形，，点为的中点，， 由勾股定理得：， 在中，，，点是的中点，， 等腰是以直角边的等腰三角形，，， ，，， 在和中，，≌，， 根据“两点之间线段最短”得：，即，，的最大值为， 此时点，，在同一条直线上，过点作交的延长线于，如图所示： 为等腰直角三角形，，，， 又，，， ≌，，， 为等腰直角三角形，，由勾股定理得：， 即，，． 模型2.几何转化模型-相似转化法 例1（2026·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是边上的动点，则的最小值是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点是的中点，∴，∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，∴点到各边的距离相等， ∵点是边上的动点，∴当时，有最小值，∵，∴， ∴，∴，∴，故选：C． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，线段（）的长是的两根，P是y轴正半轴上一点，连结，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连结．当线段取最小值时，此时线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，解得：或4， ∵线段（）的长是方程的两根， ，，，， ∴以为斜边构造等腰直角三角形，如图1，连接， 过作于，则，的坐标为， 与均为等腰直角三角形，， ，，， 又，，，， 当取得最小值时，取得最小值， 当轴时，取得最小值是3，此时取得最小值，故答案为：． 例3（25-26九年级·北京朝阳·培优）已知为正三角形且，为平面内一点，连接．当时，的最小值为，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作于点，作射线使得，射线与延长线交于点，连接，∵为正三角形， ∴， ∵，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为， 又∵的最小值为，∴， ∴，∴， ∵，∴，解得（负值已舍去），故答案为：3． 模型3.几何转化模型-中位线与斜边中线转化法 例1（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，连接，点P是上的动点（不与端点重合），连接，点M是的中点，过点P作于点Q，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ，，， 延长，使得，连接，过点B作，如图， ，，平分，， ，，点在定直线上， 中点为，∴是中位线，，∴当最小时，有最小值． ∵当时，即点与点重合时，最小，此时， ∴的最小值为．故答案为：． 例2（2025·山东东营·一模）如图，在矩形中，，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，连接， ∵F、G分别为、的中点，∴，当的最小时，即最小， ∵四边形矩形，，∴，∴， ∵沿折叠，∴，在中有， ∴，即，∴，∴的最小值为2，故答案为：2． 例3（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：延长交于点N，连接，， ∵，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形， ∵点M为中点，∴C，M，N三点共线，∵，∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴．故答案为：． 例4（2025·安徽淮北·二模）如图，为的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是（   ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】C 【详解】解：如图，连接将与的交点记为G， ，，， ，， ， ， ， 中，， ，即， ∵F是的中点，，， ∴ 在中，,∴， ∴，即，∴当时，最短，此时也最短， 当时，，， ，，即线段的最小值是4．故选C． 模型4.几何转化模型-（特殊）平行四边形对边、对角线转化法 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在等腰中，，，为上一动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，． ∵最短，∴也就是最短．∴构造，如图所示． 在等腰中，，，∴．∴， 在中，．∴的最小值为．故答案为∶2． 例2（2025·广东韶关·一模）如图，在中，，，M为斜边上一动点，过点作交于点，交于点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接；∵，，，∴四边形是矩形，∴； 当时，最小，从而最小；由勾股定理得：， ∴，∴，即的最小值为；故答案为：． 例3（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 【答案】的最小值为6，求解见解析； 【详解】解：小慧的做法： 如图2，过点P作交所在直线于点H，∴， ∵在中，，，，∴，， ∴，∴，又，∴，又， ∴四边形是平行四边形，∴，故的最小值即为求的最小值． 由垂线段最短得，当H、D重合时取等号，∴的最小值为，即的最小值为6； 选小明做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，则，在中，，，， ∴，，，， ∴四边形、是矩形，，∴，，， 在和中，，∴，∴， ∴，即为定长， 在中，，当时，最小，最小值为； 模型5.几何转化模型-其他性质转化法 例1（2025·河南焦作·三模）如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ，此时的长为 ． 【答案】 【详解】解：线段绕点B顺时针旋转得到线段， 为等腰直角三角形，，即最小时，最小， 如图，当时，最小， 根据勾股定理可得，， ，即的最小值是； 如图，过点作交于， ，， ，， ，，， ，四边形为矩形， ，， ，故答案为：；． 例2（2025·山东枣庄·二模）如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形，，， ，，在中，， ，的最小值为，在和中，， ，，， ，是等边三角形， ，的最小值为，故答案为：． 例3（2025·河北唐山·二模）如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形，∴，∴∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴，∴，， 设，则，故点作于点， ∵， ∴，∴， ∴，，∴，∴， 解得，即的长为，故选：A 例4（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 连接，，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接，， ∵正方形的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点，∴，当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，，∴，∴， ∴，∴，∴，故选：A． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 四边形是矩形，， ，，四边形是矩形，， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， 的最小值为．故选：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·月考）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， 四边形是平行四边形，，， 最短也就是最短，过作的垂线， ，，， ，，，则的最小值为，故选：A 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在正方形中，， ∵，∴，∴，∴点E在以为直径的圆上， 如图：取中点G，当过点G时，有最小值， 又∵将绕点D按逆时针方向旋转得到， ∴，∴此时也取最小值， ∵为的半径，即， ∴， ∴，即EF的最小值为．故选：C． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，即， 在与中，，∴，∴， ∵，当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，，∴， ∴最小即为，故选：A． 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，P为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点A作于D，    由旋转可得，，，∴，， 当最短时，最短，∵P为边上一动点，∴当时，最短， ∵，，∴，∴当时，， ∴∴∴．故选：B． 7．（2025·浙江杭州·校考二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】A 【详解】解：连接，过点作于，于， 点为的内心，是的平分线，又，，， 在和中，，，， 在四边形中，，， 又，，即：， ，即：，故甲的说法正确； 过点作于点，， 是的平分线，，， 又甲的说法正确；，， 在中，，， ，的周长为：， 当最小时，的周长为最小，根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小， ，与一定不垂直，不是最小， 的周长不是最小，故乙的说法不正确．故选：A． 8．（2025·江苏扬州·校考一模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧， ∵是中点，，在和中，， ，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 9．（25-26九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（　　）    A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：将绕点逆时针旋转得，连接，    则是等腰直角三角形，，， 在中，，的最大值为，即的最大值为6，故选：B． 10．（2025·广东湛江·校考二模）如图，在上有顶点C和动点P，位于直径的两侧，过点C作的垂线与的延长线交于点Q．已知的直径为10，，则最大值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，是直径，， ，，，，， 当是直径，即时，最大，最大值为：．故选：B． 11．（2026·四川成都·校考一模）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝ ． 【答案】 【详解】解：∵，点E、F分别是边的中点， ∴，，，∴，连接交与点N，连接， ∵，∴，；∴， ∵，∴，∵点M是中点，∴， 当时，最小，也最小；，，；故答案为：． 12.（2025·山东济宁·模拟预测）如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵将绕A点逆时针旋转得到，∴， ∴即， 在和中，，∴，∴， ∵D点在线段上运动，∴当时，的值最小，即线段有最小值， ∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴由勾股定理得， ∴线段有最小值为，故答案为：． 13．（2026九年级·广东·培优）如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】60 【详解】解：如图，以为边在其下方作等边，连接，∴； ∵是等边三角形，∴，∴， 即，∴，∴；在中，， ∴，即， ∴当三点共线时，取最大值与最小值分别为与，而，故答案为：60． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，则对角线的最小值为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作，且 设则 当最小时，最小 最小为最小为故答案为：1． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：四边形是矩形，，，，， ，，，，故①正确；，， ，，，，， 点M是的中点，，，，，故②正确； 当时，点G是边的中点，，， ，，，， ，，， ，，解得，故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ，由②知，，， ，当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，，， 的最小值为，故④正确；正确结论的序号有①②④．故答案为：①②④． 16．（2025·江苏南京·二模）如图，，与间的距离为2，A、B是上两个定点，P是上的一个动点，连接并延长至点C，使得．若D是上方一点，且四边形是平行四边形，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：如图所示，过点C作，交于点E，过点B作，交于点G，过点D作，交于点F，并延长交于点H，∴，且， 根据题意可知，且，∴，∴，∴． ∵，∴．∵， ∴，∴，∴．由， 当时，取最小值，即的最小值为5．故答案为：5． 17．（24-25九年级下·福建漳州·月考）如图，边长为4的菱形的对角线相交于点O，，P为线段上的一动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】1 【详解】解：在上取点E，使，连接， 由旋转得，，，∴， ∵四边形为菱形，∴，，，， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∴，，∴， 在和中，，，， ，，点为的中点．当时，取得最小值， ∵，，∴， ∴，∴， ∵∴，∴，即线段长的最小值为．故答案为：． 18．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）在边长为5正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接， （1）若时， （2）的最小值为 【答案】 或 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴， ∴，当点E在的上方时， 若，则，∵，∴，∴； 当点E在的下方时，若，则， ∵，∴，∴；故答案为：或． （2）∵是同平面内的一动点，，∴点为正方形外接圆上一点， 延长至，使， ∵是中点，是中点，∴为的中位线，， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，过点作于， ∵为正方形，边长为 5，， ，， ，，故答案为：． 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：分别取的中点，连接， 则是的中位线，∴， ∵，∴是直角三角形，且，∴， 当时，有最小值，即有最小， ∵为定值，∴有最小值， 此时，，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 20．（2025·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，，，点E、F分别是、边上的两个动点，连接，，若平分，则的最大值为 （结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，利用三角函数求边长，过点B作于点G，由菱形的性质易得，，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．由可知，当最小时，最大，从而得到的最大值． 【详解】过点B作于点G，由菱形的性质易得，，则． ∵，∴．∵平分， ∴，则，∴． ∵，∴，∴的最大值为． 21．（2025·广东肇庆·一模）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ， ，点、关于直线对称，即点在圆上，是的中点，， 当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，为，故答案为：． 22．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、． 【探究提炼】（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由； （2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度； 【类比迁移】（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且． ①求的度数；②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）,理由见解析；（2）；（3）①；②存在、 【详解】解：（1），理由如下：由折叠的性质可知垂直平分，； （2）由（1）知，垂直平分，， ，由折叠的性质同理可得，，， ，，，， 恰好垂直于，四边形为正方形，平分，， ，，， ， ，， 正方形边长为，； （3）①解：过点作于点，过点作于点，， ，， 草坪为菱形，为菱形的对角线，， ，，， ； ②解：存在，过点作于点，，， ，，， ，，整理得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ，，菱形草坪的边长为， ，， （）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $