专题19 全等与相似模型之半角模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦“全等与相似模型之半角模型”专题，覆盖中考几何核心考点，梳理正方形、等腰直角三角形、等边三角形等半角模型的全等与相似类型，通过“模型来源-真题现模型-提炼模型-分层运用”架构，结合考点梳理、旋转构造方法指导及中考真题训练，帮助学生突破综合题难点。 亮点在于“模型化”教学策略，如通过旋转构造全等（如90°半角转化）培养几何直观与推理能力，结合2024-2025年中考真题变式训练提升应用意识。分层设计基础模型认知、综合应用及拓展延伸练习，配合即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题19.全等与相似模型之半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.半角模型（全等型） 8 模型2.半角模型（相似型） 13 22 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 1）半角模型（全等型） 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 2）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 3）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 例2（2024·广东东莞·一模）如图，正方形中，点E、F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G、H，连接，则下列结论：①的周长不变；②是等腰直角三角形；③当时，．其中正确的有（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 例3（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例4（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 例5（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 模型2.半角模型（相似型） 例1（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 例2（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，． (1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______； (2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 例4（2025·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接．(1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 例5（2025·河南·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上．连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：线段，与的关系：______．（请直接写出结论，不必说明理由）    （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：． （3）如图3，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，已知，，则的长是______． 1.（2025·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏·校考一模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 3.（24-25·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 4.（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝3，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 6.（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 7．（2025·四川达州·校考二模）如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④，其中正确的是 ．    8．（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，， ① ，，． 又 ② ， 在中，．，， ③ ． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 9．（24-25九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 10.（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．       由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．       【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 11．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为______． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 12.（2025·湖北·一模）如图1，在菱形ABCD中，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A逆时针方向旋转，交直线CD于点F，射线AF、AE分别交BC、DC的延长线于点H、G，连接AC，． (1)求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图3，连接GH，若，当为等腰三角形时，直接写出的值（可用含n的式子表式）． 13.（2025·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．    【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 14．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 15.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 16.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 17.（2025·福建·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.全等与相似模型之半角模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.半角模型（全等型） 8 模型2.半角模型（相似型） 13 22 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵∴是等边三角形，∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，  ，，， 又即 又，，；∵∴，∴，∴， 在中,可得：即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H   ，， ， 又即 又，， 在中，， ，；， 在中,可得：即 整理得 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴；∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴，又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴，∴，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴,∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴，∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 1）半角模型（全等型） 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 2）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 3）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 例2（2024·广东东莞·一模）如图，正方形中，点E、F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G、H，连接，则下列结论：①的周长不变；②是等腰直角三角形；③当时，．其中正确的有（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，    由旋转可得， ∴，因此，点M，B，E在同一条直线上． ∵，∴ ． ∵，∴．即． 在与中，∴．∴， 故，∴，故①正确，∵ ，∴A，B，E，H四点共圆， ∵ ，∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵∴，而，∴ 又∵∴，故③正确；故选：D． 例3（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴， ∵ ，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵ ，∴， 又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：． 例4（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图，∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴，∴，答：的长为． 例5（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N．(1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明；(3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ∴，， 如图1，将绕点逆时针旋转到，          ∴，，， ∵，∴三点共线， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴； （2）解：，证明如下：如图2，将绕点顺时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴，∴，∴； （3）解：；如图3，将绕点逆时针旋转到， 同理（1）可得，，，， ∴，∴三点共线，∴， ∴，∴． 模型2.半角模型（相似型） 例1（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【答案】A 【详解】解：如图，延长EB至点G，使BG＝DF， ∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°， ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG， 又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE+∠BAG＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF，∴△AGE≌△AFE，∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE， 又∵AH⊥EF，AB⊥GE，∴AH＝AB＝a，故①正确；∵BG＝DF，GE＝FE， △CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EG+CF＝CE+BE+BG+CF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝2a，故②正确； ∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5， 在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52， 解得：a＝6或a＝﹣1（负值舍去），故③正确；∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，∴∠EAF＝∠DBC， 又∵∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴， 又∵∠AMB＝∠NME，∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④错误； ∵△AMB∽△NME，∴∠ABM＝∠AEN＝45°，又∵∠EAF＝45°， ∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，即AN⊥NE，故⑤正确，正确的是①②③⑤，故选：A． 例2（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，． (1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______； (2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）． 【答案】(1)(2)①见解析；②；③的长为或 【详解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，，∴∽， ∴，∴阴影部分的面积与的面积比为，故答案为：． （2）解：①证明：∵，，∴∽； ②解：在中，，，则，∴， ∵，，∴， ∵，∴∽，∴，即,解得：； ③解：如图2，当点N在线段上时，由②可知：∽， ∴，即解得：，∴， 如图3，当点N在线段的延长线上时， 综上所述：的长为或． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接， ∵四边形是矩形，， ，，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是正方形， ，， ，， ，，，， ，，，设，， ，， 在中，，，，， ，，，， ，，，故选：D． 例4（2025·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接．(1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)，且(2)见解析(3) 【详解】（1），且∵， ，，∴．∵，∴，∴∴∴，且 （2）如图，把绕点A逆时针旋转，得到 ∴，． ∵，∴，∴，即， ∵，，∴B、D两点重合．∵，∴F，D，H三点共线， ∴，∴．由（1） 得：， ∵G是的中点，，∴，∴，∴； （3）过点N作于点P，过点G作于点Q， ∴．又∵，∴四边形为平行四边形， ∴，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴． 设，则，，，∴解得 ， ∴．由（2）得：， ． 例5（2025·河南·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上．连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：线段，与的关系：______．（请直接写出结论，不必说明理由）    （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：． （3）如图3，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，已知，，则的长是______． 【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，由旋转的性质得：， ∴，，，， ∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）证明：设，，由（1）可知，， ∵，，∴，∴， ∴，，在中，由勾股定理得： ∴，整理得：，∴， （3）解：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，如图③所示：    则四边形是正方形，∴， 设，则，∵，∴， ∴，∴，∴， 由（1）得：，在中，由勾股定理得： ，解得：，即的长是；故答案为：． 1.（2025·广东汕头·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边和上的动点（不与端点重合），，、分别与对角线交于点G和点H，连接．以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4），其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，连接，将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，       由旋转可得，，，，， ∴，因此，点M，B，E在同一条直线上． ∵，∴ ． ∵，∴．即． 在与中，∴． ∴，故，故结论（1）正确； ∵ ，∴A，B，E，G四点共圆，∴， ∴ ，∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； 同理是等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，故结论（3）正确；过点作交的延长线于点，连接， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，，， ∵是等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴A，N，D，G四点共圆，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故结论（4）正确；故选：D． 2．（2025·江苏·校考一模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，    ，，，， ，，， 在和中，，， ，，， ，，∴四边形是矩形， ，，，， ，，∴，∴，，故选：C． 3.（24-25·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于，作于． 中，，．∴． 在中，．，．． ．．． ．．．． ，即．．由勾股定理得：． ．．故答案为： 4.（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝3，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 【答案】3 【详解】如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH， ∵在正方形ABNM中，∴∠AMG＝∠ABH，AM＝AB， 在△AMG和△ABH中，∵，∴△AMG≌△ABH（SAS）， ∴∠BAH＝∠GAM，AG＝AH，∴∠GAH＝90°，∴∠EAG＝∠EAH＝45°， 在△GAE和△HAE中，∵，∴△GAE≌△HAE（SAS）， ∴EG＝HE＝BE+HB，∴EG＝BE+MG，设MG＝x，则NG＝6﹣x，EG＝x+3， 在Rt△GEN中，EG2＝NG2+NE2，即（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得，x＝2，即MG＝2， ∵MN∥CD，∴△AGM∽△AFD，∴，即，解得，DF＝3，故答案为3 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，，∴点P、B、M、C共线， ∵，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， 设，，则，，∴， ∵，∴，即，整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 6.（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 【答案】 【详解】解：∵和为等腰直角三角形，∴． ∵，∴，∴， ∵，5，∴，∴．故答案为：． 7．（2025·四川达州·校考二模）如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④，其中正确的是 ．    【答案】①②④ 【详解】解：∵四边形为正方形，∴， ∵将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，∴， ∴，，，∴点B、G、C三点共线， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，故①正确； ∵，，∴，设，则，， 在中，解得：，即，故②正确； ∵，∴， ∵，∴，∴，故③错误； ∵，∴ ，∵， ∴，故④正确；综上分析可知，正确的是①②④．故答案为：①②④． 8．（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，， ① ，，． 又 ② ， 在中，．，， ③ ． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：见解析；知识迁移：，证明见解析；拓展应用：，证明见解析 【详解】问题解决：解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中，，，． 又，在中，． ，，； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴，∴，∴， ∵为正方形的对角线，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， 在和中，，∴，∴， 在中，，∴； 拓展应用：，证明如下：如图，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ∴，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴， 由知识迁移可得：，∴，， 由勾股定理可得：，∴， ∵，，，∴， ∴，∴． 9．（24-25九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）． 【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD ∵绕点A逆时针旋转，得到∴ ∴，∴ ∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD ∵∴，即CE⊥BD 故答案为：CE⊥BD；CE=BD； （2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG， 则∴AG=AE，BG=CE， ∵，∴ 在和中，∴∴ED=GD ∵∴即 （3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到， ∴∴AF=AE，，EC=BF， ∵，AB=AC∴∴ ∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE ∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形 ∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形 ∴是直角三角形 若，且∴BF=2BD=EC， ∵∴ ∴∴ 若，且∴BD=2BF=2EC， ∵ ∴∴BD=2，∴ 10.（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．       由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．       【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．          由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴①．∴． 又∵，∴在中，②． ∵，，∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接． 由旋转的特征得． 由题意得，∴． 在和中，，∴．∴． 又∵为正方形的对角线，∴． ∵，∴． 在和中，， ∴，∴． 在和中，，∴．∴． 在中，，∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则． 则，， ，， 在和中，，∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴，，， 是等腰直角三角形，， ，，，， 在中，，，∴， 即，又∴， 11．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为______． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；  （2）；理由见解析 （3） 【详解】解：（1），， ，， ，，， 故答案为：；； （2）．理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，，，， ，，，， 在和中，，，． 在中，，； （3）正方形的边长为，，． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得．设，，，， 根据勾股定理可得，解得，． 12.（2025·湖北·一模）如图1，在菱形ABCD中，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A逆时针方向旋转，交直线CD于点F，射线AF、AE分别交BC、DC的延长线于点H、G，连接AC，． (1)求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图3，连接GH，若，当为等腰三角形时，直接写出的值（可用含n的式子表式）． 【答案】(1)见解析，(2)(3)或1或 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD，∴ADBC，ABDC，∠BAC=∠DAC， ∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠DAC=∠BAC， ∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠HAD=∠BAE+∠EAC，∴∠EAC=∠HAE，∠CAF=∠BAE， ∵ADBC，即ADCH，∴∠H=∠HAD，∴∠GAC=∠H， ∵ABDC，即ABCG，∴∠G=∠CAH，∴△ACG∽△HCA． （2）解：∵ABDC，即ABCG，∴△ABE∽△GCE, ∴==2，∴CG=AB， ∵△ACG∽△HCA，∴，∵，∴AC=AB，∴，∴， ∵ADBC，即ADCH，∴△ADF∽△HCF,∴， ∵菱形ABCD，∴AD=AB，∴，∴； （3）解：由（1）知：，∴， 分两种情况：①当AH=GH时，∴∠HGA=∠HAG，∵AB=CB，∴∠BAC=∠BCA， ∵∠HAG=∠BAC，∴∠HAG=∠BCA，∠HAG=∠BAC，∴△HAG∽△BAC， ∴，∴，∴，∴CG=nAC， ∵CGAB，∴△ABE∽△GCE，∴=； ②当AG=HG时，∴∠GAH=∠GHA，∵∠GAH=∠EAF=∠BAC ∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠GHA=∠BCA，∠GAH=∠BAC，∴△GAH∽△BAC， ∴，∴，∴，∴CG=AC=AB， ∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴=1，即=1； ③当AG=AH时，∵△ACG∽△HCA，∴=1，∴AC=CG， ∵=n，,∴=n，∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴综上，=或1或． 13.（2025·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．    【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4 【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形， ∴，.由旋转得， ∴，，，， ∴，∴E，B，N在同一条直线上. ∵，，∴， ∴，∴，∴. 在与中，∴，∴. ∵，∴ ∴. 在中，由勾股定理得∴.∴； （2）三条线段，，之间满足的数量关系为，理由如下：         图（1）    如图（1），过点D作，且，连接，， 则，∴.∵四边形是正方形，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴. 在与中，∴，∴，. ∵，，∴ 在和中，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴； （3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则. ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∴，∴， 设，则. ∵四边形是正方形，，∴由（1）中证明知，. 在中，由勾股定理得， 即，解得，∴的长为4． 14．（24-25九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)3． 【详解】（1）证明：延长到G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：∵，，∴，由（1）知：， 在中，根据勾股定理得：，∴，∴． 15.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究] 【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴，∴，即，故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形； （2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵是对角线，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴, ∵，∴设，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 16.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 17.（2025·福建·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 【答案】(1)(2)①平行，② 【详解】（1）解：如图：∵四边形是正方形，∴，平分，∴， ∵，∴，又∵∴， ∴，∴∵，∴，∴； （2）解①：延长至点H，使得，连接，由（1）知，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，， ∵点G为的中点，∴，∵四边形是正方形， ∴，，而，∴， ∴，，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②解：过点作于点．过点作于点，， 又，四边形为平行四边形，，同上可得，， ∴，， ，，，， 又∴四边形为平行四边形，， 设，则，同上可求， ，，解得：， 则，由（2）得：，， ，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $