专题21 全等与相似模型之十字架模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题21 全等与相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.正方形形中的十字架模型（全等模型） 7 模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 模型4.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·河南·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）正方形中的十字架模型 （1）条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 图1 图2 图3 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 （2）条件：如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 （3）条件：如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 2）矩形中的十字架模型 （1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 图1 图2 图3 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. （2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. （3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点且EF⊥MN，结论 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 3）直角三角形中的十字模型 （1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 （2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 4）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 模型1.正方形中的十字架模型（全等模型） 例1（2023辽宁中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ． 例2（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】（1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】（2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】（3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·山西·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 例3（2025·江苏·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：     【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 例2（2025·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，则的长为 ． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 模型4.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 例2（2025·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    1．（2025·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3（2025·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 4.（2025·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值为 ． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边中，点D、E分别是边、上的点，与交于点F，，．(1)求证：；(2)求的值． 7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．(1)求证：≌；(2)求的大小．    8.（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证：(2)当点E为中点时，如图2，连接．（i）求证：（ii）求的值． 9．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．(1)求证：；(2)设的角平分线交于点．①当时，求点到的距离；②若，作直线分别交于两点，求的值． 10．（24-25九年级下·海南·专题练习）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： 【基本模型】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、交于．若，求证：； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，是边上一点，连接，于点，交于点，若，求的长； 【拓展应用】（3）如图3，在矩形中，，点、分别在、上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点落在上的点处，且落在点处，交于点，连接，设的面积为的面积为，若，求的值． 11．（2025·湖北荆州·二模）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 12．（2025·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且，求的值； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，，，点E，F分别在线段，上，且，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，四边形中，，点E为上一点，过点E作垂直交于点F，交的延长线于点G．若，，，求的长． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 14.（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． (1)问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； (2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 15.（2025广东校考三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 16.（2025·江苏盐城·二模）【教材呈现】（1）苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么_____．（填“＝”或“≠”） 【直接应用】（2）如图2，在正方形中，为中点，请只用无刻度的直尺在上找一点，使． 【类比探究】（3）如图3，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，连接，，且，垂足为．试写出线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）如图4，如图，在中，，，，点在边上运动，连结．过点作，交边于点，交线段于点．①当点为的三等分点时，求的值；②运动过程中，当点、的距离最小时，的面积______． 17.（2025吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 18.（2025·四川成都·校考一模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：； （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点； ①若，且，，求与的长； ②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 全等与相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.正方形形中的十字架模型（全等模型） 7 模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 模型4.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·河南·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【答案】(1)详见解析(2)(3)或 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 由折叠性质得，∴，∴，∴； （2）解：由（1）知，， ∵在中，，，∴， ∴，在中，，∴； （3）解：由正方形得，，，由折叠性质得， 当时，如图，过A作交于K，∴， 同（1）证明方法可得，∴， 在中，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴； 当时，如图，过A作交于K， 同理可证，则，∴， 综上，折痕的长为或． （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 1）正方形中的十字架模型 （1）条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 图1 图2 图3 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 （2）条件：如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 （3）条件：如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 2）矩形中的十字架模型 （1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 图1 图2 图3 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. （2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. （3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点且EF⊥MN，结论 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 3）直角三角形中的十字模型 （1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 （2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 4）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 模型1.正方形中的十字架模型（全等模型） 例1（2023辽宁中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，，， ，，， ，，，， 又，，， ，，， ，．故答案为：． 例2（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践 【了解定义】如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形中，点，分别在，边上，连接，，若且，则称与为正方形的等垂线段． 【基础探究】（1）如图2，正方形中，点，，分别在，，上，连接，，若于点，请判断与是否为正方形的等垂线段，说明理由； 【深入探究】（2）如图3，正方形中，点在边上，点在延长线上，连接，，交于点，若，求证：与是正方形的等垂线段； 【拓展应用】（3）如图4，正方形中，，是中点，点，分别在，上，，交于点，连接，，若，为正方形的等垂线段，，求的长． 【答案】（1）与是正方形的等垂线段，理由见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）与是正方形的等垂线段 理由：过点作分别交，于点，， ∵四边形为正方形，∴，，． ∴四边形是平行四边形，∴． 又∵，∴．∴． ∴．∴．∴．∴． ∴与是正方形的等垂线段． （2）证明：过点D作于点N，交于点M，∴由（1）知． ∵，∴．∴．∴．即． ∵四边形为正方形，∴．∴． 又∵，∴．∵，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∴与是正方形的等垂线段； （3）解：过点G作于M，则有， ∵，为正方形的等垂线段，∴． ∵在正方形中，有，，∴，∴，∴． ∵，F是中点，∴．设，则，， 在中，，．即． （负值已舍去）．即的长为． 模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·山西·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 【答案】/3.5 【详解】解：过E作于M，如图，则， ∵四边形是矩形，，∴，， ∵沿翻折到处， ，∴，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，则，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴，，   设，∵∴四边形是矩形，∴，， 在中，，，由勾股定理得， 则，解得，∴．∴故答案为：． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到，，， ∵四边形是正方形，，，， ，． （2）解：如图，连接． ，，由折叠可知，， 四边形是正方形，，， ，，， ，∴，∴，， ，，， 或（舍去），； （3）解：如图，连接，由题意，设，设． ①当点在点的左侧时，∵，∴， 由折叠可知，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 解得：或（舍弃），∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理，∵，∴， ∴，即， ∴或（舍弃），∴．综上所述，或． 例3（2025·江苏·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】(1)(2)(3)见解析．(4) 【详解】（1）解：四边形为正方形，，．． ，．． 在和中，．．．故答案为：． （2）解：四边形为长方形，． ，．． 又，．．故答案为：． （3）解：如图，过点作的垂线，交于点．    由题意知四边形为矩形，   ，．． ，．． 又，．又，． ．．． （4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点为，连接，连接．由轴对称图形的性质可知，. ，，． 又，． 又，．．． ．． ．． 根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，且． ,即，当时，取得最小值． ．故答案为：． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 【答案】 【详解】 CG⊥AD ∠ACB=90° 又 ， 为等腰直角三角形 ， 点D是BC的中点 故答案为： ． 例2（2025·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，，∴设，则， 又∵在矩形中，，∴， ∴，即，解得．∴． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴．又∵，∴， ∴，．∵， ∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T． 设CD=a．∵，∴，． 设DT=x，则．∵，， ∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵， ∴．∵， ∴，即，∴，∴． 模型4.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴； （2）证明：∵，，∴． ∵∴，∴，∴． 例2（2025·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，作于点F，∵在等边中，，∴，    由勾股定理得，，∵，∴，在中，， ∵P是等边内的一点，且，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得，，∴， ∴的周长．故答案为：． 例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3) 【详解】（1）为等边三角形，，， 在和中，，≌，， ，； （2），理由如下：如图，延长BE至M，使，连接，取的中点N，连接，    由得：，是等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ≌，， ，，∴ ∽，，，，， ，即，，即，， 点N是的中点，，， 又，是等边三角形，，， ，，， ，； （3）如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由知：，≌，，，∽， ，，，， ，，，， ，，点G是的中点，， 点K是的中点，是的中位线，，， ，， ，∽，，， ，， ， 1．（2025·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形，，，，， 在和中，，，（故①正确）； ∴∵四边形是正方形，∴ ∴（故④正确）；∴ ∵四边形是正方形，∴，， ∴一定成立（故②正确）；假设， ，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，，，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，（故③错误）；∴正确的有①②④共3个正确，故选：C． 2.（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 3（2025·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 4.（2025·沧州·二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴． 在与中，，∴，∴， 又∵，∴；∵为等腰直角三角形， ∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴， ∴，，∴，∴； ∴．故D项错误．故选：D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作的平行线，交过点A作的平行线于G，交的延长线于H，过点D作于P，∵，∴，∵，∴， ∵∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，连接， ∵，∴ ∴，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴设，则，∴，，∴，解得，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边中，点D、E分别是边、上的点，与交于点F，，．(1)求证：；(2)求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为等边三角形，，， ，， 在和中，，，； （2）为等边三角形，，由（1）知，，， ，，， 又，，，，． 7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．(1)求证：≌；(2)求的大小．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，， ，，即， 在和中，≌； （2）解：由（1）知≌，， ，． 8.（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证：(2)当点E为中点时，如图2，连接．（i）求证：（ii）求的值． 【答案】(1)见解析(2)（i）见解析；（ii） 【详解】（1）证明：四边形为矩形，， ，， ，，； （2）证明：（i）如图，连接， ，四点共圆，如图，， E为中点，,， ，， ，， 解：（ii）如图，设，则，由（1），得， 在中，，，， ，，，． 9．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．(1)求证：；(2)设的角平分线交于点．①当时，求点到的距离；②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)①2；②． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴，∴； （2）解：①在中，∵，∴，∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴，即，∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设，，， 在中，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，即， ∴，，∴，∴． 10．（24-25九年级下·海南·专题练习）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对十字模型做了如下探究： 【基本模型】（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、交于．若，求证：； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，是边上一点，连接，于点，交于点，若，求的长； 【拓展应用】（3）如图3，在矩形中，，点、分别在、上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点落在上的点处，且落在点处，交于点，连接，设的面积为的面积为，若，求的值． 【答案】（1）见解析（2）5（3） 【详解】解：（1）证明：∵正方形，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）作，延长交于点，则四边形为平行四边形， ∵，，，∴，四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵矩形，∴，， ∵翻折，∴，∴，∴， ∵的面积为的面积为，若，∴，∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：，∴，解得：， ∴，∴，作交于点， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，同（2）可得：，∴，∴． 11．（2025·湖北荆州·二模）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， 于点，，，，， ，，，解得； （2）证明：作，延长交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，，． （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，，，， ，，，，， ，，解得，， ，设，，有，解得，， ，，， ，，， E为中点，，， ，解得．故答案为：． 12．（2025·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且，求的值； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，，，点E，F分别在线段，上，且，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，四边形中，，点E为上一点，过点E作垂直交于点F，交的延长线于点G．若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点A作交于点M，作交的延长线于点N， 在矩形   中，，． 在矩形中，，．，， ．．．，，． （2）如图，过点C作于点M．设交于点O，交于点G． ，，． ，，．，． ，，． ，，，即， ，． （3）如图，过点D作，∵，，∴四边形为矩形， ∴，则，∵，∴，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，． 设，，则解得，． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】(1)(2)；见解析(3)(4)或8 【详解】（1）解：∵当四边形是正方形，． ∴．∴． 又∵．∴．∴．故答案为：． （2）解：猜想，证明如下：思路一：如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形．∴． ∵，∴． ∵，∴． 在和中，，∴．∴． 思路二：如图，在的延长线上取一点N使，则． 根据菱形的性质，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴．∴，∴． （3）解：如图，延长，使．∵，∴， ∴是等边三角形．∴． ∵，∴． 在和中，，∴． ∴． （4）解：如图，分别与直线相交于G、I，．∴为等边三角形． 过点F作，垂足为J，则， ． 又∵，∴， ，， ． ∵，∴，又∵，∴． ∴ ．即，∴， ， ∴ ， ． 在和中，，∴． ∴ ，∴， 在和中，，∴． ∴，则，∴．∴的长度为或8． 14.（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，． (1)问题解决：①写出与的数量关系： ；②的值为 ； (2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】(1)①；②1(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴； （2）解：，理由如下：如图，作于， ， ， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴，∴，∵（k为常数），∴； （3）解：如图，作交的延长线于，作于，连接， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，，，∵，，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 解得：（不符合题意，舍去），，∴， 由（2）的结论可得：． 15.（2025广东校考三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．    【答案】(1)(2)证明见解析(3)(4) 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵，∴，∴， ∵在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于，       ∵四边形是矩形，∴，，∴四边形、均为平行四边形， ∴，，同（1）可得， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：由矩形的性质可得，由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得，∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则，∴在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即，解得， ∴点到直线的距离为． 16.（2025·江苏盐城·二模）【教材呈现】（1）苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么_____．（填“＝”或“≠”） 【直接应用】（2）如图2，在正方形中，为中点，请只用无刻度的直尺在上找一点，使． 【类比探究】（3）如图3，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，连接，，且，垂足为．试写出线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）如图4，如图，在中，，，，点在边上运动，连结．过点作，交边于点，交线段于点．①当点为的三等分点时，求的值；②运动过程中，当点、的距离最小时，的面积______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析；（4）①或；② 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）如图，连接交于点，连接交于点，则， 证明：设交于点， ∵是上的点，是正方形的对角线，∴， 又∵，∴，又∵为中点，∴， 在中，，∴， ∴，∴，∴即； （3）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵四边形是矩形，则四边形是矩形， ∴，，， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，即； （4）①如图，过点作交的延长线于点， ∵，∴，∴，∴， 当是靠近点的三等分点时，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； 当是靠近点的三等分点时，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，综上所述，或； ②如图，取的中点，以为直径，为圆心作圆，连接， ∵，∴，∴在半圆上运动， ∴当在上时，取得最小值，过点作于点， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，解得：，∴，故答案为：． 17.（2025吉安·模拟预测）课本再现：(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是 　 　；    迁移应用：(2)如图2，将图1中的延长至点G，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，求证：；拓展提升：(3)在等边中，若点D，E分别在射线上，连接交于点F，且，将绕点C逆时针旋转到，且使得．直线与直线交于点P，若，则的值为 　 　 【答案】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2或3 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）证明：①由（1）知，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴； （3）解：如图3，当点D，点E分别在上时，       ∵，∴，∵， ，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，由②知 AD=2BD，∴； 如图4，当点D，点E分别在的延长线，的延长线上时，∵,∴. ∵,∴, ∵,∴∴是等边三角形， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案为：2或3． 18.（2025·四川成都·校考一模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：； （2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点； ①若，且，，求与的长； ②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，；②的最大值为2， 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， 又，，，； （2）解：①作于，作于， 由折叠性质可得： 由（1）同理可得 ∵∴，，， ∵， ∴，， ，，设，则，， ，，，， ，，，，， 又，，，，； ②设，，则，在中，， ∴，，， 设，，，， ∴，∴，化简得， 由，即，或， （舍或，的最大值为2，此时， ，， 由①得，，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $