专题07 函数与导数（4大考点）（安徽专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题07 导数 4大考点概览 考点01导数的概念和几何意义 考点02利用导数求极值和最值 考点03零点问题 考点04不等式恒成立问题 ( 导数 的 概念 和 几何意义 考点1 ) 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令，解得：, 令，解得：或, 令，解得：, 所以函数在和递增，在递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误： 对于D选项，由于，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明，令，利用导数证明恒成立，即可. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以切线方程为，即； （2）结合（1），令，则， 令，则， 令，得，所以时，时， 所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增， 注意到，所以有唯一根， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数，则，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线的下方（切点除外），得证. ( 利用 导数 求 极值 和 最值 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 2．（2026·安徽宿州·一模）已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得或，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为正实数m，n，满足，且，可得或， 对于A选项，取，显然，A错误； 对于B选项，取，显然，B错误； 对于C选项，设函数，令，则， 当在上单调递增，当，在单调递减， 又因为，所以恒成立，即恒成立，即在上均单调递减， 所以当或时，，即， 由于，所以即，C正确； 选项D，取，显然，而，故，D错误. 故选：C. 3．（2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ， ， ，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数； 则选项A符合. 故选：A. 二、多选题 4．（2026·安徽滁州·一模）若x，y，，且，则（   ） A．当时， B． C．当取得最大值时， D．当取得最小值时， 【答案】BCD 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对C，根据条件，利用基本不等式得到，构造函数，利用导数求出的单调区间，即可求解；对于D，根据条件，利用基本不等式得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，当时，由，得到，即 又x，y，，所以， 所以，得到，当且仅当时取等号，所以A错误， 对于B，因为，即， 当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，由，得到，则 ， 所以，当且仅当时取等号， 则，令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上递减， 即当，有最大值，所以C正确， 对于D，由选项C知，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 此时，所以D正确. 三、填空题 5．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 6．（2026·安徽安庆·一模）已知定义在区间上的函数，，若对，，存在一个正实数，满足，则称是的“-陪伴函数”. (1)已知，判断函数是否为函数的“-陪伴函数”，并说明理由，若为“-陪伴函数”，求的最小值； (2)证明：任何一给定闭区间上的函数是函数的“-陪伴函数”； (3)已知，若函数是函数的“3-陪伴函数”，求实数p的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值； （2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题； （3）根据陪伴函数的定义得，即可推出，则通过合理变形并整体求导并分离参数得．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到p的范围. 【详解】（1）假设是的“—陪伴函数”， 则， 即， 则． 因为且，所以，则， 因此，因此是的“－陪伴函数”，且的最小值是． （2）已知， ， . 记，则． 记，则， 即成立， 因此是的“M—陪伴函数”， 即在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”． （3）由题知， 即，不妨假设， 则， 则，且， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以， 则．又，， 所以， 故，且， 即，且， 由于在上单调递增，故，则 可得，且， 即， 令，则， 令，，结合，显然， 即，则在上单调递减， 故，故； 令，则， 令，，则， 令，，则， 该函数在上单调递减，，， 故存在，使得，即， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 而，， 故，则在上单调递增， 即得，故， 则在上单调递增，故， 则，综合可得， 即p的取值范围为. 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分和两种情况分别判断是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【详解】（1）当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； (3)设为在内的极小值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【详解】（1）当时，，， 时，，故，单调递增， 故. （2）由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. （3）由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有， 则有， 因此. 9．（2026·安徽淮南·一模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，根据切线的斜率为，及点在切线上列方程，求出的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明. 【详解】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以. （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． ( 零点 问题 考点 3 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·一模）已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得为奇函数且为减函数，从而将问题转化成函数与函数的图象有个交点，再利用导数求出的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又恒成立，所以为减函数， 令，得到，所以，整理得到，令， 因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，，时，，时，， 时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则， 解得，所以实数的取值范围是. 2．（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 3．（2026·安徽淮北·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 【答案】D 【分析】根据题设，结合偶函数的性质及函数的对称性可得的周期为12，进而得到，进而求解判断D；举例，即可判断ABC. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，两边求导得，则， 由为偶函数，得，则， 由，， 得，则， 所以，则的周期为12， 由，令，得，即， 由，令，得， 由，令，得，即， 则， 所以，故D正确； 对于ABC，设，则， 而，则， 所以函数和均为偶函数，满足题意， 而，则的图象不关于直线对称，故A错误， 而，则的图象不关于直线对称，故B错误， 而的最小正周期为，故C错误. 故选：D 4．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、解答题 5．（2026·安徽宿州·一模）已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明； （2）根据得到满足的关系式，再将转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为） 故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. （2）注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 6．（2026·安徽淮北·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）在（i）的条件下，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（i）将整理为，当时可得，从而得到在的单调性；再讨论时的情形，构造函数，通过构造函数得到的单调性，从而得到的单调性，从而得证； （ii）由（i）知，且，及在上是单调递增函数，，要证只需证，即证明即可，再补证：当时，，从而得到证明． 【详解】（1）， ， ， （2）（i） ， 当时，，， ，，，， 在区间上是单调递增函数； 下面讨论时的情形， 令，， 再令，， 则在区间上是单调递增函数， 即在区间上是单调递增函数， 而，， 故，使得， 且当时，，是单调递减函数， 当时，，是单调递增函数， 注意到，而， 从而必然使得． 且当时，，即， 当时，， 从而在递减，在递增． 又， 因此必然唯一的使得， 于是在上存在唯一的极值点和唯一的零点． （ii）由（i）知，且，及在上是单调递增函数，， 要证只需证，即即可． ， 由时，，得到， 则． 下面补证：当时，； 构造函数 ， 因此在区间上是单调递增函数，，故得证． 7．（2026·安徽黄山·一模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）（Ⅱ）， 【分析】（1）求导得到导数表达式，再结合参数的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上的正负，从而确定函数的单调性. （2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立不等式，得到参数的取值范围； （Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于公差的方程并求解. 【详解】（1）由， ①当时，，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，若，则，即在上单调递增； 若，则， 令， 若，即时， 当时，；当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，当时，； 当时，， 由的连续性知在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增． （2）（Ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符； ②当时，由得，则在上只有一个零点，与题不符； ③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且, 则函数无零点，与题不符； ④当，在上单调递增且， 所以在上恰有一个零点， 又时，，若使有个零点，则， 即，即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （Ⅱ）令，即， 因为为函数的三个零点，且由（2）知， 所以有：，由于同号，两式相除得， 令等差数列的公差为，所以，得， 同理，由异号，所以，所以，得， 所以，得，解得． 代入，得， 所以． ( 不等式 恒成立 问题 考点 4 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、单选题 1．（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、解答题 2．（2026·安徽滁州·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求m的取值范围； (3)证明：函数的最小值小于函数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入得到函数解析式后求导得到处的切线斜率，结合切点坐标用点斜式化简得到切线方程； （2）将恒成立问题转化为对恒成立，通过求导得到的最小值，进而确定的取值范围； （3）先求出原函数的单调性与最小值点，分别得到内层函数和的值域，结合的单调性得到两个复合函数的最小值，通过比较大小完成证明. 【详解】（1）当，，定义域， 计算得，求导得​，切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得 . （2）恒成立等价于对任意恒成立， 设，则， 求导得​，令得， 当 时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 因此的取值范围是 . （3）对，， 由（2）可知在单调递减，在单调递增。 因为，所以由解析式可知​， 由于，可以取到， 因此函数的最小值为 ， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即​. 由于在递增，因此函数的最小值为 ， 因为，所以， 因此的最小值小于的最小值，得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数 4大考点概览 考点01导数的概念和几何意义 考点02利用导数求极值和最值 考点03零点问题 考点04不等式恒成立问题 ( 导数 的 概念 和 几何意义 考点1 ) 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令，解得：, 令，解得：或, 令，解得：, 所以函数在和递增，在递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误： 对于D选项，由于，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线在处的切线为. (1)求切线的方程； (2)求证：切线在曲线的下方（切点除外）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明，令，利用导数证明恒成立，即可. 【详解】（1）由，得，所以， 又，所以切线方程为，即； （2）结合（1），令，则， 令，则， 令，得，所以时，时， 所以在上单调递减且恒小于0，在上单调递增， 注意到，所以有唯一根， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 所以函数，则，当且仅当时取等号， 所以切线在曲线的下方（切点除外），得证. ( 利用 导数 求 极值 和 最值 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 2．（2026·安徽宿州·一模）已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得或，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为正实数m，n，满足，且，可得或， 对于A选项，取，显然，A错误； 对于B选项，取，显然，B错误； 对于C选项，设函数，令，则， 当在上单调递增，当，在单调递减， 又因为，所以恒成立，即恒成立，即在上均单调递减， 所以当或时，，即， 由于，所以即，C正确； 选项D，取，显然，而，故，D错误. 故选：C. 3．（2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ， ， ，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数； 则选项A符合. 故选：A. 二、多选题 4．（2026·安徽滁州·一模）若x，y，，且，则（   ） A．当时， B． C．当取得最大值时， D．当取得最小值时， 【答案】BCD 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对C，根据条件，利用基本不等式得到，构造函数，利用导数求出的单调区间，即可求解；对于D，根据条件，利用基本不等式得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，当时，由，得到，即 又x，y，，所以， 所以，得到，当且仅当时取等号，所以A错误， 对于B，因为，即， 当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，由，得到，则 ， 所以，当且仅当时取等号， 则，令，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上递减， 即当，有最大值，所以C正确， 对于D，由选项C知，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 此时，所以D正确. 三、填空题 5．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 6．（2026·安徽安庆·一模）已知定义在区间上的函数，，若对，，存在一个正实数，满足，则称是的“-陪伴函数”. (1)已知，判断函数是否为函数的“-陪伴函数”，并说明理由，若为“-陪伴函数”，求的最小值； (2)证明：任何一给定闭区间上的函数是函数的“-陪伴函数”； (3)已知，若函数是函数的“3-陪伴函数”，求实数p的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值； （2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题； （3）根据陪伴函数的定义得，即可推出，则通过合理变形并整体求导并分离参数得．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到p的范围. 【详解】（1）假设是的“—陪伴函数”， 则， 即， 则． 因为且，所以，则， 因此，因此是的“－陪伴函数”，且的最小值是． （2）已知， ， . 记，则． 记，则， 即成立， 因此是的“M—陪伴函数”， 即在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”． （3）由题知， 即，不妨假设， 则， 则，且， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以， 则．又，， 所以， 故，且， 即，且， 由于在上单调递增，故，则 可得，且， 即， 令，则， 令，，结合，显然， 即，则在上单调递减， 故，故； 令，则， 令，，则， 令，，则， 该函数在上单调递减，，， 故存在，使得，即， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 而，， 故，则在上单调递增， 即得，故， 则在上单调递增，故， 则，综合可得， 即p的取值范围为. 7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分和两种情况分别判断是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【详解】（1）当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； (3)设为在内的极小值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【详解】（1）当时，，， 时，，故，单调递增， 故. （2）由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时，恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. （3）由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有， 则有， 因此. 9．（2026·安徽淮南·一模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)设． （i）证明：存在唯一极小值； （ii）设的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，根据切线的斜率为，及点在切线上列方程，求出的值； （2）（i）由（1）得，利用导数分析函数的单调性，即可证明存在唯一极小值；（ii）由（i）可得的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，从而证明. 【详解】（1）因为在点处的切线方程为，即. 所以切线的斜率为，且当时，. 因为，所以， 所以，所以. （2）（i）因为，其定义域为. 所以. 令，得或， 设，所以在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以存在唯一，使． 故时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以是函数的唯一极小值点，所以存在唯一极小值． （ii）因为的极小值点为，所以． 又，且在上单调递增，所以； 又，两边取自然对数得，即，即. 所以， 设， 则在上恒成立，故在上单调递减， 故，即．综上所述：． ( 零点 问题 考点 3 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·一模）已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得为奇函数且为减函数，从而将问题转化成函数与函数的图象有个交点，再利用导数求出的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又恒成立，所以为减函数， 令，得到，所以，整理得到，令， 因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，，时，，时，， 时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则， 解得，所以实数的取值范围是. 2．（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 3．（2026·安徽淮北·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 【答案】D 【分析】根据题设，结合偶函数的性质及函数的对称性可得的周期为12，进而得到，进而求解判断D；举例，即可判断ABC. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，两边求导得，则， 由为偶函数，得，则， 由，， 得，则， 所以，则的周期为12， 由，令，得，即， 由，令，得， 由，令，得，即， 则， 所以，故D正确； 对于ABC，设，则， 而，则， 所以函数和均为偶函数，满足题意， 而，则的图象不关于直线对称，故A错误， 而，则的图象不关于直线对称，故B错误， 而的最小正周期为，故C错误. 故选：D 4．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、解答题 5．（2026·安徽宿州·一模）已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明； （2）根据得到满足的关系式，再将转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为） 故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. （2）注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 6．（2026·安徽淮北·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时， （i）证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点； （ii）在（i）的条件下，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（i）将整理为，当时可得，从而得到在的单调性；再讨论时的情形，构造函数，通过构造函数得到的单调性，从而得到的单调性，从而得证； （ii）由（i）知，且，及在上是单调递增函数，，要证只需证，即证明即可，再补证：当时，，从而得到证明． 【详解】（1）， ， ， （2）（i） ， 当时，，， ，，，， 在区间上是单调递增函数； 下面讨论时的情形， 令，， 再令，， 则在区间上是单调递增函数， 即在区间上是单调递增函数， 而，， 故，使得， 且当时，，是单调递减函数， 当时，，是单调递增函数， 注意到，而， 从而必然使得． 且当时，，即， 当时，， 从而在递减，在递增． 又， 因此必然唯一的使得， 于是在上存在唯一的极值点和唯一的零点． （ii）由（i）知，且，及在上是单调递增函数，， 要证只需证，即即可． ， 由时，，得到， 则． 下面补证：当时，； 构造函数 ， 因此在区间上是单调递增函数，，故得证． 7．（2026·安徽黄山·一模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）（Ⅱ）， 【分析】（1）求导得到导数表达式，再结合参数的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上的正负，从而确定函数的单调性. （2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立不等式，得到参数的取值范围； （Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于公差的方程并求解. 【详解】（1）由， ①当时，，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，若，则，即在上单调递增； 若，则， 令， 若，即时， 当时，；当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，当时，； 当时，， 由的连续性知在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增． （2）（Ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符； ②当时，由得，则在上只有一个零点，与题不符； ③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且, 则函数无零点，与题不符； ④当，在上单调递增且， 所以在上恰有一个零点， 又时，，若使有个零点，则， 即，即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （Ⅱ）令，即， 因为为函数的三个零点，且由（2）知， 所以有：，由于同号，两式相除得， 令等差数列的公差为，所以，得， 同理，由异号，所以，所以，得， 所以，得，解得． 代入，得， 所以． ( 不等式 恒成立 问题 考点 4 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、单选题 1．（2026·安徽黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、解答题 2．（2026·安徽滁州·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求m的取值范围； (3)证明：函数的最小值小于函数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入得到函数解析式后求导得到处的切线斜率，结合切点坐标用点斜式化简得到切线方程； （2）将恒成立问题转化为对恒成立，通过求导得到的最小值，进而确定的取值范围； （3）先求出原函数的单调性与最小值点，分别得到内层函数和的值域，结合的单调性得到两个复合函数的最小值，通过比较大小完成证明. 【详解】（1）当，，定义域， 计算得，求导得​，切线斜率， 由点斜式得切线方程，整理得 . （2）恒成立等价于对任意恒成立， 设，则， 求导得​，令得， 当 时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 因此的取值范围是 . （3）对，， 由（2）可知在单调递减，在单调递增。 因为，所以由解析式可知​， 由于，可以取到， 因此函数的最小值为 ， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即​. 由于在递增，因此函数的最小值为 ， 因为，所以， 因此的最小值小于的最小值，得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $