专题05 计数原理与概率统计（5大考点）（安徽专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题05 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01二项式定理 考点02排列组合 考点03统计 考点04概率 考点05随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数. 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 二、填空题 2．（2026·安徽宿州·一模）在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是. 故答案为： 3．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】第一步，中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项；第二步，中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项，这两步相加为的展开式中的项，从而得到所求. 【详解】第一步， 中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项， 即； 第二步， 中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项， 即； 则的展开式中的项为，系数为. 故答案为：. ( 排列组合 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·一模）将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（   ） A．12 B．30 C．60 D．90 【答案】B 【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列，及“两个1相邻”和“两个2相邻”和“两个3相邻”的排列数，和“两个1，两个2，两个3都相邻”的排列数，再利用容斥原理从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数. 【详解】总排列数：， 两个1相邻的排列数：， 两个2相邻的排列数：， 两个3相邻的排列数：， 两个1相邻且两个2相邻的排列数：， 两个1相邻且两个3相邻的排列数：， 两个2相邻且两个3相邻的排列数：， 两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：， 由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：. 所以相同的数字牌不相邻的排法总数为. 2．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 3．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总样本点个数为：； 若3个数的中位数为4，则必须满足： 一定选中数字4，剩余2个数中，恰好1个比4小、1个比4大， 比4小的数有1，2，3共3个，比4大的数有5，6共2个， 因此符合条件的样本点个数为： ； 根据古典概型公式，得：所求概率为：. 4．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，利用不平均分组问题计算方法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率. 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. ( 统计 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 【详解】这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 二、多选题 2．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 3．（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】由题意有，解得，故A正确； 设中位数为，所以，解得，故B错误； 由题意得得分在内的频率为，故C正确； 由题意得得分在内的频率为， 则得分在内的共有人，故D正确. 故选：ACD. 4．（2026·安徽淮南·一模）某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（   ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C．10月份的利润约为26.4万元 D．5月份利润的残差为0.2万元 【答案】AD 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解 判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD． 【详解】依题意 ， 将 代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C错误； 将代入中，得到，则所求残差为，故 D 正确． 故选：AD． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·一模）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 6．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 7．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【答案】(1)，与成正相关，有较强的相关性； (2)，1.1. 【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【详解】（1）由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. （2）由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 8．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 有； (2) 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得，参照对应的临界值即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）依题意，得到列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 于是， 所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）依题意，人进球总次数的所有可能取值为， 则，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 9．（2026·安徽黄山·一模）2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ (2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)与年龄群体有关 (2)， 【分析】（1）结合题中数据计算，然后与临界值比较即可判断. （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，根据全概率公式和对立事件概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设：参与绿色出行与年龄群体无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以参与绿色出行与年龄群体有关． （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，． 由题意知：， ∴， ∴， ∴． ∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为． ( 概率 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 2．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，利用不平均分组问题计算方法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率. 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 二、填空题 3．（2026·安徽合肥·一模）互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 【答案】 【分析】根据找出满足的排列即可． 【详解】根据题意，的全排列有种， 因为随机变量满足：， 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 因为满足或， 即满足的排列有：，共种， 所以的概率． 三、解答题 4．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)规则不合理、不公平 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断； （3）（i）找出数列的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. （2）分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. （3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 5．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为，共有个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率. (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令 为这个数中数字 的个数， 为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算和数字0的个数即可求所求概率. （2）分、、、四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）由题可知当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）由题当时，这个数由位数组成，； 当时，这个数由个一位数和个两位数组成， 则； 当时，这个数由个一位数、个两位数和个三位数组成， 则； 当时，这个数由个一位数、个两位数、个三位数和个四位数组成， 则； 综上所述； （3）当时，， 当时，； 当时，， 即， 同理有， 由可知， 所以当时，， 当时，；当时，； 当时，， 由函数是关于单调递增的， 得当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可得解； （2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2次取到白球或第2次取到黄球两种情况分析即可计算求解. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． （2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 7．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式计算即可. （2）根据全概率公式列出的表达式，确定是首项为，公比为的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. （3）根据（2）中的结果得到，然后根据错位相减法求出，进而求得结果. 【详解】（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…， 当时，， 当时，． （2）由 ，即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． （3）由（2）知，令． 所以， 从而， 将以上两式相减可得 ， 所以． 所以． 8．（2026·安徽芜湖·一模）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； (3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据已知有，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望； （3）根据已知有，当时，从而得到为等比数列，即可得. 【详解】（1）在一次摸球后有种等可能的结果， 其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果， 故“两球编号之和是3的倍数”的概率为. （2）由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 0 1 2 3 ； （3）由，当时，， 整理可得，又， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. ( 随机变量及其分布 考点 5 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 二、填空题 2．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【详解】由，得， 根据，得， 所以. 3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件满足，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】由，得，， 由全概率公式，得，则， 即，解得，， 因此，所以. 故答案为： 4．（2026·安徽黄山·一模）已知随机变量，若，则______． 【答案】0.2/ 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意，. 故答案为：. 三、解答题 5．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可得解； （2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2次取到白球或第2次取到黄球两种情况分析即可计算求解. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． （2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 7．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 计数原理与概率统计 5大考点概览 考点01二项式定理 考点02排列组合 考点03统计 考点04概率 考点05随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（    ） A．-56 B．-28 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数. 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 二、填空题 2．（2026·安徽宿州·一模）在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是. 故答案为： 3．（2026·安徽淮北·一模）代数式的展开式中的系数为__________． 【答案】 【分析】第一步，中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项；第二步，中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项，这两步相加为的展开式中的项，从而得到所求. 【详解】第一步， 中的和的展开式的常数项相乘为的展开式中的项， 即； 第二步， 中的和的展开式的的项相乘为的展开式中的项， 即； 则的展开式中的项为，系数为. 故答案为：. ( 排列组合 考点 2 ) 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·一模）将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（   ） A．12 B．30 C．60 D．90 【答案】B 【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列，及“两个1相邻”和“两个2相邻”和“两个3相邻”的排列数，和“两个1，两个2，两个3都相邻”的排列数，再利用容斥原理从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数. 【详解】总排列数：， 两个1相邻的排列数：， 两个2相邻的排列数：， 两个3相邻的排列数：， 两个1相邻且两个2相邻的排列数：， 两个1相邻且两个3相邻的排列数：， 两个2相邻且两个3相邻的排列数：， 两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：， 由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：. 所以相同的数字牌不相邻的排法总数为. 2．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 3．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总样本点个数为：； 若3个数的中位数为4，则必须满足： 一定选中数字4，剩余2个数中，恰好1个比4小、1个比4大， 比4小的数有1，2，3共3个，比4大的数有5，6共2个， 因此符合条件的样本点个数为： ； 根据古典概型公式，得：所求概率为：. 4．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，利用不平均分组问题计算方法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率. 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. ( 统计 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 【详解】这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 二、多选题 2．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 3．（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】由题意有，解得，故A正确； 设中位数为，所以，解得，故B错误； 由题意得得分在内的频率为，故C正确； 由题意得得分在内的频率为， 则得分在内的共有人，故D正确. 故选：ACD. 4．（2026·安徽淮南·一模）某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（   ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C．10月份的利润约为26.4万元 D．5月份利润的残差为0.2万元 【答案】AD 【分析】由回归方程过样本中心点即可求解 判断A；由回归方程和残差定义即可逐项分析求解判断BCD． 【详解】依题意 ， 将 代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C错误； 将代入中，得到，则所求残差为，故 D 正确． 故选：AD． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·一模）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 6．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 7．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【答案】(1)，与成正相关，有较强的相关性； (2)，1.1. 【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【详解】（1）由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. （2）由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 8．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 有； (2) 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得，参照对应的临界值即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）依题意，得到列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 于是， 所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）依题意，人进球总次数的所有可能取值为， 则，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 9．（2026·安徽黄山·一模）2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ (2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)与年龄群体有关 (2)， 【分析】（1）结合题中数据计算，然后与临界值比较即可判断. （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，根据全概率公式和对立事件概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设：参与绿色出行与年龄群体无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以参与绿色出行与年龄群体有关． （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，． 由题意知：， ∴， ∴， ∴． ∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为． ( 概率 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 2．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，利用不平均分组问题计算方法数，以及计算出符合题意的情况数，即可求得概率. 【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 二、填空题 3．（2026·安徽合肥·一模）互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 【答案】 【分析】根据找出满足的排列即可． 【详解】根据题意，的全排列有种， 因为随机变量满足：， 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 因为满足或， 即满足的排列有：，共种， 所以的概率． 三、解答题 4．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)规则不合理、不公平 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断； （3）（i）找出数列的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. （2）分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. （3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 5．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为，共有个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率. (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令 为这个数中数字 的个数， 为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算和数字0的个数即可求所求概率. （2）分、、、四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）由题可知当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）由题当时，这个数由位数组成，； 当时，这个数由个一位数和个两位数组成， 则； 当时，这个数由个一位数、个两位数和个三位数组成， 则； 当时，这个数由个一位数、个两位数、个三位数和个四位数组成， 则； 综上所述； （3）当时，， 当时，； 当时，， 即， 同理有， 由可知， 所以当时，， 当时，；当时，； 当时，， 由函数是关于单调递增的， 得当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可得解； （2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2次取到白球或第2次取到黄球两种情况分析即可计算求解. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． （2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 7．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式计算即可. （2）根据全概率公式列出的表达式，确定是首项为，公比为的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. （3）根据（2）中的结果得到，然后根据错位相减法求出，进而求得结果. 【详解】（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…， 当时，， 当时，． （2）由 ，即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． （3）由（2）知，令． 所以， 从而， 将以上两式相减可得 ， 所以． 所以． 8．（2026·安徽芜湖·一模）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望； (3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据已知有，应用独立事件的概率求法求出分布列，进而求期望； （3）根据已知有，当时，从而得到为等比数列，即可得. 【详解】（1）在一次摸球后有种等可能的结果， 其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果， 故“两球编号之和是3的倍数”的概率为. （2）由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 事件为的概率， 0 1 2 3 ； （3）由，当时，， 整理可得，又， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. ( 随机变量及其分布 考点 5 ) 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 二、填空题 2．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【详解】由，得， 根据，得， 所以. 3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件满足，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】由，得，， 由全概率公式，得，则， 即，解得，， 因此，所以. 故答案为： 4．（2026·安徽黄山·一模）已知随机变量，若，则______． 【答案】0.2/ 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意，. 故答案为：. 三、解答题 5．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 6．（2026·安徽合肥·一模）一个盒子中有5个大小相同的球，其中有2个黄球，3个白球． (1)随机一次取出3个球，用表示取出的球为黄球的个数，求的分布列和均值； (2)逐个不放回地随机取出5个球，在整个取球过程中，记“已取出白球的个数始终不小于黄球的个数”为事件，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出的可能取值以及每个取值相应的概率即可求分布列，再由均值公式计算即可得解； （2）由题意知第一次取到的球为白球，接下来分第2次取到白球或第2次取到黄球两种情况分析即可计算求解. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2．根据概率知识，可得的分布列为 用表格表示的分布列，如下表所示． 0 1 2 所以的均值为． （2）由题意可知第一次取到的球为白球，设“第次取到白球”（）． 若事件发生，则后面出现情况均满足题意，所以； 若事件发生，则事件一定发生，后面出现的情况均满足题意， 则． 故． 7．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $