第12章 复数（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高一必修第二册

第12章 复数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【解析】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【解析】复数对应的点为， 故选：B. 3.复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【解析】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 4.已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（  ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 5.已知是关于的方程 一个根，则（  ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【解析】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 6.在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【解析】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 7.在复平面内,复数,对应的点分别为A,B．已知i为虚数单位,,,,则（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设出，利用列方程组，解方程组求得. 【解析】设,则. 由条件得解得或 或. 故选:D 8.在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【解析】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（  ） A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入 ，验证结果是纯虚数，所以正确. 【解析】取,,则, 但不满足,故A错误； ,恒成立,所以是纯虚数, 故B正确； 取,,则,但不成立,故C错误; 时，复数是纯虚数, 故D正确. 故选:BD. 10. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解析】对于A，，其虚部为1，A正确； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11.设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为3 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BCD 【分析】依题设，利用复数的四则运算可逐一判断A，B；对于C，由设，计算化简后，借助于和角公式与三角函数的值域即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合计算即得. 【解析】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C正确； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为________ 【答案】3 【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解. 【解析】∵，∴复数的虚部为3. 故答案为：3. 13.若复数(,i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限,则k的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据复数z所对应的点在第三象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围， 【解析】∵复数z所对应的点在第三象限,或. 故答案为：或 14.设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为__________ 【答案】 【分析】设，，根据复数的线性运算及几何意义可得，，，，进而得到，可得，，，进而求解即可. 【解析】设，， 则， 所以，，，， 所以， 即， 所以， 又，， 在中，过作，垂足为， 则为中点，即， 所以， 所以. 故答案为：   四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知复数，，其中为非零实数. （1）若是实数，求的值； （2）若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【解析】（1）由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. （2）解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 16.设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【解析】（1）由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； （2）由得，即， 所以，解得或． 17.已知是虚数，． （1）求证：是实数； （2）在复平面内对应的点在射线上，，求实数，的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）设，且，根据复数的除法运算即可证明； （2）由条件得出，代入方程即可求解． 【解析】（1）证明：设，且， ． （2）由题可知，，则，解得或（舍）， 所以，代入方程得，， 整理得，， 所以，解得． 18.设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【解析】（1）复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； （2）； （3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 19.对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)存在“长复数”，且“长复数”为;(3)或 【分析】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【解析】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 复数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点为（  ） A． B． C． D． 3.复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 4.已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（  ） A．4 B． C．6 D．或6 5.已知是关于的方程 一个根，则（  ） A．-2 B．3 C．6 D．7 6.在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（  ） A． B． C． D． 7.在复平面内,复数,对应的点分别为A,B．已知i为虚数单位,,,,则（  ） A． B． C． D．或 8.在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是（  ） A．若x,,则的充要条件是 B．是纯虚数 C．若,则 D．当时,复数是纯虚数 10. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 11.设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为3 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为________ 13.若复数(,i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限,则k的取值范围是 . 14.设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知复数，，其中为非零实数. （1）若是实数，求的值； （2）若，复数为纯虚数，求实数的值. 16.设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 17.已知是虚数，． （1）求证：是实数； （2）在复平面内对应的点在射线上，，求实数，的值． 18.设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. (1)求实数的值； (2)求的坐标； (3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 19.对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $