第8章 四边形 矩形的性质与判定 2025-2026学年 苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点2 矩形的性质与判定 线段的长度（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=60°，AD=4，则AB= 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是边AB、CD的中点，点P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，则AP的长为 ． 3.已知矩形ABCD，AB=6cm，AD=8cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为 cm． 4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC⊥EF时， ①四边形AECF是会什么特殊四边形？请说明理由． ②若AE=5，AC=8，求EF的长． 5.如图，在矩形ABCD中，点B是BC上一点DF=DC，DF⊥AE于P．若AB=3，AF=4，求EC的长． 第八章 四边形 线段的长度（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．AE⊥BD于点E，若AC=8，OE：DE=1：3，则AE= ． 2.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ． 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 ． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB=，则AF的长为 ． 5.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，将△BCD沿菱形ABCD的对角线BD由B向D方向平移得△EFG，连接AE、DF． （1）当四边形AEFD是矩形时，求AE的长？ （2）当BE为何值时，△ABE是直角三角形？ 6.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交D的延长线于点F． （1）若AB=2．AD=3．求EF的长； （2）若G是EF的中点，连接BG和DG．求证：△BCG≌△DFG． 7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G． （1） 证明：AF∥BD； （2）若OG=1，OE=2．求BD的长． 第八章 四边形 角度的计算（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF=20°，那么∠BEF= 度． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，延长矩形ABCD的边AD至点E，使DE=AC，连接BE交AC于F，若∠BFC=117°，则∠E= °． 3.如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE= °． 4.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB=65°，则∠BOC= °． 5.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N． （1）求证：AN=BN； （2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数． 6.如图，四边形ABCD是矩形，∠ACP=90°，∠APC=∠PAD+∠PCD． （1）求∠ACD的度数； （2）过点D作DE⊥AP，垂足为点E，延长DE交AC于点F．请补全图形，探究线段AF，CF，PC 的数量关系，并证明． 第八章 四边形 角度的计算（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，已知点E在矩形ABCD的边DC上，且AB=AE=2AD．求∠EBC的度数． 2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG． （1）求证：△DCG≌△BEG； （2）你能求出∠BDG的度数吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由． 3.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图： ①以点B圆心，以任意小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；②再分别以点M、N圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接BP并延长交AD于点Q． 据此回答以下问题： （1）求∠AQB的度数； （2）若BQ=4，DQ=3，求矩形ABCD的周长． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AE=DF． （2）若∠BAE：∠EAD=2：3，求∠EAO的度数． 5.如图，矩形ABCD，△ABC和△AEC关于直线AC对称，连接BE交AC于点F，EC交AD于点G． （1）求证：AG=CG； （2）连接DE，求∠BED的度数． 第八章 四边形 矩形与坐标系（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为（-1，-1），（-1，3），（2，-1），则第四个顶点的坐标为 ． 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线交点O与原点重合，边AD∥x轴，且矩形的边长CD=2，∠ADB=30°．将矩形ABCD绕点O进行旋转，当点A落在x轴上时，点B的对应点的坐标是 . 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC=6，则点A的坐标是 ． 4.平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为 ． 5.如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（4，0），点C坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A的线路移动，当运动到点A时，运动即停止． （1）当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 ； （2）在移动过程中，当△OBP的面积为10时，求点P移动的时间． 6.如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4，以点O为原点OA，OC所在直线为y轴和轴建立直角坐标系． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若点P从C点出发，以2个单位长度/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P，Q两点同时出发，在它们移动的过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 第八章 四边形 矩形与坐标系（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.定义：在平面直角坐标系xOy中，矩形PQRS的一边PQ平行于x轴，点M为RS（不与点R、S重合）上一点，当点M到PQ的距离为1时，称M为PQ的“单位高点”，称此时MP+MQ为PQ的“单位高距离”，已知P（1，1），Q（4，1）． （1）在（2，0），（52，4），（3，2）所表示的点中，表示PQ的“单位高点”的坐标是 （2）要使PQ的“单位高距离”的值最小，“单位高点”M（t，0）应在什么位置，在图上标出它的位置，并求出这个“单位高距离”的最小值． 2.如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内． （1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长； （2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA=8，OC=6，过点D（0，6）作y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上． （1）求矩形OABC的对角线的长； （2）求点B的坐标； （3）求△EOB的面积． 第八章 四边形 周长与面积问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD=60°．如果AB=2，那么矩形ABCD的面积是 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，菱形ABCD的顶点A恰好是矩形BCEF对角线的交点，当菱形ABCD的周长为16时，矩形BCEF的面积等于 ． 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，则四边形CODE的周长是 ． 4.已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． （1）联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； （2）如果AF=EF=2，求矩形ABCD的面积． 5.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BE=5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a-3）2+|2a+b-9|=0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts． （1）a= cm，b= cm； （2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？ （3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2． 第八章 四边形 周长与面积问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边CD上任意一点（不与点C、D重合），过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F、G，若AB=8，BC=6，则EF+EG= ． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若矩形ABCD的周长为8cm，则△ABE的周长为 cm． 3.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE=2，PF=9，则图中阴影面积为 ． 4.如图，平行四边形ABCD，EF分别为BC、AD上的点，满足AF=CE，分别连接AE，CF． （1）试说明四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=8，AE=5，求四边形AECF的面积． 5.如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，AF是BC边上的中线，连接BD，以BD为边作等边△BDE，连接AE． （1）求证：四边形AEBF为矩形； （2）若AC=4，求四边形AEBF的面积． 第八章 四边形 矩形的判定（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长 DE至点F，使EF=DE，连接AF． （1）求证：DE=AB； （2）求证：AF∥BE； （3）当AC=BC时，连接AE，BD，求证：四边形AEDB为矩形． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC， AC和DE相交于点O． （1）求证：OD=OC； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形． 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠DOE=∠EDO，作EF⊥AB于点F，OG∥EF， 与AB相交于点G．求证：四边形OEFG是矩形． 4.如图，将▱ABCD的边DA延长到F，使AF=DA，连接CF，交AB于点E． （1）求证：AE=BE； （2）若∠AEC=2∠D，求证：四边形AFBC为矩形． 第八章 四边形 矩形的判定（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OB，OD的中点，连接AM并延长至点E，使EM=AM，连接CE，CN． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）当AB与AC满足 数量关系时，四边形MECN是矩形． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度（AE=CF）向C、A运动，其速度为0.5cm/s． （1）当E与F不重合时，求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）点E，F在AC上运动过程中，求当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 3.已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线． 求证：四边形EFGH是矩形． 4.如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）若∠BAE=70°，∠DCE=20°，求∠DEC的度数； （2）求证：当∠FAD=90°时，四边形AFHD为矩形． 线段的长度（一）参考答案 1 1.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DO=OA，DA⊥AB， ∵∠AOD=60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=DO=OA=4， ∴BD=2DO=8， 在Rt△DAB中，AB=， 故答案为：4． 2.解：如图，连接AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，AD∥BC，AB∥CD， ∵E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE=EB，DF=FC， ∴AE=DF，BE=CF， ∴四边形AEFD、四边形BCFE是平行四边形， ∵∠D=∠C=90°， ∴四边形AEFD、四边形BCFE都是矩形， ∴EF∥AD∥BC，∠AEF=90°， ∴EF⊥AB， ∵AE=EB， ∴FA=FB，∠AFE=∠EFB， ∵EF∥BC∥AD， ∴∠EFB=∠FBC，∠DAF=∠AFE， ∵∠PFB=3∠FBC， ∴∠PFA=∠PAF， ∴PA=PF， 设PA=PF=x， 在Rt△PDF中，由勾股定理得：PF2=PD2+DF2， 即x2=（3-x）2+12， 解得：x=， 即AP的长为， 故答案为：． 3.解：连接EB， ∵EF垂直平分BD， ∴ED=EB， 设AE=xcm，则DE=EB=（8-x）cm， 在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2， 即：x2+62=（8-x）2， 解得：x=， 故答案为：． 4.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，AB=DC，AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∵DF=DC， ∴AB=DF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=90°=∠B， 在△ABE和△DFA中， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴BE=AF=4，AE=AD， ∴AE=BC， ∵∠B=90°， ∴BC=5， ∴EC=BC-BE=5-4=1． 5.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）； （2）解：①当AC⊥EF时，四边形AECF会是菱形，理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴BE=DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，CE∥AF， ∴CE=AF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； ②∵四边形AECF是菱形， ∴EO=FO，AO=CO=AC=×8=4， 在Rt△AOE中，AE=5，A=4，AE2=AO2+EO2， ∴EO=3， ∴EF=2EO=2×3=6． 线段的长度（二）参考答案 1.解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=8，AO=CO=4，OD=BO=4， ∵OE：DE=1：3， ∴DE=3OE， ∴DO=DE-OE=2OE=4， ∴OE=2， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， ∴AE=， 故答案为：2． 2.解：∵点A关于DE的对称点P， ∴DA=DP=6 ∴P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′， ∴BP′为最小值， ∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°， ∴BD=， ∵半径为6，即OP′=6， ∴BP′=． 故答案为：． 3.解：∵AB=6，BC=8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC=10， ∴AO=DO=AC=5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=AO×EO+DO×EF， ∴12=×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）=24， ∴EO+EF=， 故答案为：． 4.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=，AO=CO=BO=DO， ∵DF垂直平分OC， ∴OD=DC， ∴OD=DC=OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD=OC=CD=， ∴AC=2， ∴BC=3， ∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC， ∴∠CDE=∠ODE=30°， ∴DC=CF=， ∴CF=1， ∴BF=2， ∴AF=， 故答案为：． 5.解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB=6，∠ADE=∠ADC=∠ABC=30°， 在矩形AEFD中，∠EAD=30°， 在Rt△DAE中，∠ADE=30°， ∴AD=AE， ∴AE=AD＝×6＝2； （2）在Rt△ABE中，∠ABE=30°， ①当∠AEB=90°时，AE=AB=×6＝3， ∴BE=AE＝3， ②当∠BAE=90°时，AB=AE， ∴AE=2， ∴BE=2AE=4． 6.（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，BC=AD=3， ∴∠DAE=∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE=45°， ∴∠BEA=∠BAE=45°， ∴BE=AB=2． ∴CE=BC-BE=1， ∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°， ∴∠F=∠CEF=45°， ∴CE=CF=1， ∴EF=CE=； （2）证明：连接CG，如图： ∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点， ∴CG=FG，∠ECG=45°， ∴∠BCG=∠DFG=45°， 又∵DF=CD+CF=3， ∴DF=BC， 在△BCG和△DFG中， ∴△BCG≌△DFG（SAS）． 7.解：（1）∵点F是点E关于AD的对称点， ∴∠EAD=∠FAD，AE=AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠FAD=∠ODA， ∴AF∥BD； （2）∵O是矩形ABCD的对角线的交点， ∴O是AC的中点， ∵AF∥BD， ∴G为CF的中点， ∴OG是△CAF的中位线， ∴AF=2OG=2×1=2， ∴AE=2， ∵OE=2， ∴OA=4， ∴AC=2OA=8， ∴BD=AC=8． 角度的计算（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， 又∵∠CBF=20°， ∴∠ABF=90°-20°=70°， ∵△FBE是△ABE沿直线BE翻折得到的， ∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB， ∴∠FBE=∠ABF=×70°=35°， ∴∠CBE=∠CBF+∠FBC=20°+35°=55°， ∴∠FEB=∠AEB=∠CBE=55°， 故答案为：55． 2.解：连接BD， 在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OB， ∵DE=AC， ∴DE=BD， ∴∠E=∠DBE， ∴∠DAC=∠BDA=∠E+∠DBE=2∠E， ∴∠AFE+∠DAC+∠E=∠BFC+2∠E+∠E=180°， 即117°+3∠E=180°， ∴∠E=21°， 故答案为：21． 3.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠BAD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴OA=OD， ∵DE平分∠ADC ∴∠CDE=∠ADE=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AD=AE， 又∵∠EDO=15°， ∴∠ADO=60°； ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=∠OAD=60°， ∴AD=AO=DO， ∴AO=AE， ∴∠AOE=∠AEO， ∵∠OAE=90°-∠OAD=30°， ∴∠AOE=∠AEO=（180°-30°）=75°， ∴∠DOE=60°+75°=135°， 故答案为：135． 4.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD， ∴OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=65°， ∴∠BOC=∠OAB+∠OBA=65°+65°=130°， 故答案为：130． 5.解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴OA=OB， ∵AN∥BD，BN∥AC， ∴四边形OANB是平行四边形， ∵OA=OB， ∴▱OANB是菱形， ∴AN=BN， （2）由（1）可知：BN=OB=OD， ∴BD=2BN， ∵DN⊥NB， ∴∠DNB=90°， ∴∠BDN=30°， ∵BN∥AC， ∴∠DFO=∠DNB=90°， ∴∠DOF=90°-30°=60°， ∴∠DOC=180°-60°=120°． 答：∠DOC的度数为120°． 6.解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°，即∠DAP+∠PAC+∠DCA=90°， ∵∠ACP=90°， ∴∠APC+∠CAP=90°， ∵∠APC=∠PAD+∠PCD． ∴∠CAP+∠PAD+∠PCD=90°， ∴∠PCD=∠ACD， ∵∠ACP=90°， ∴∠PCD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=45°； （2）AF=CF+PC． 连接BD，交AC于点O，过点C作CN∥AP交BD于点N，如图． 证明：由（1）知，∠ACD=45°， ∴∠CAD=∠ACD=45°， ∴AD=CD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠DAO=∠CDO=45°，∠AOD=90°， ∵∠ACP=∠AOD=90°， ∴MN∥PC， ∵AP∥CN， ∴∠1=∠2，四边形PCNM为平行四边形， ∴PC=MN， ∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4， 在△ADF和△DCN中， ∴△ADF≌△DCN（AAS）， ∴AF=DN， ∵∠7+∠ADE=90°，∠8+∠ADE=90°， ∴∠7=∠8， 在△ADM和△DCF中， ∴△ADM≌△DCF（ASA）， ∴DM=CF， ∵AF=DN，PC=MN， ∴AF=DN=DM+MN=CF+PC． 角度的计算（二）参考答案 1.解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，∠ABC=∠ADC=90°， ∵AE=2AD， ∴∠AED=30°， ∵DC∥AB， ∴∠EAB=∠AED=30°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠EAB）=75°， ∵∠ABC=90°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-75°=15°． 2.（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=BE，∠AEB=45°， ∵AB=CD， ∴BE=CD， ∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∵点G为EF的中点， ∴CG=EG，∠FCG=45°， ∴∠BEG=∠DCG=135°， 在△DCG和△BEG中， ∴△DCG≌△BEG（SAS）． （2）解：∵△DCG≌△BEG， ∴∠DGC=∠BGE， ∴∠BGD=∠EGC=90°， ∵DG=BG， ∴∠BDG=45°． 3.解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°， 由作图知，BQ平分∠ABC， ∴∠ABQ=45°， ∴△ABQ是等腰直角三角形， ∴∠AQB=45°； （2）由（1）得：△ABQ是等腰直角三角形， ∴AQ=AB=BQ×sin45°=4×=4， ∴AD=AQ+DQ=7， ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（4+7）=22． 4.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OB=OD， ∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEO=∠DFO=90°， 在△AEO和△DFO中， ∴△AEO≌△DFO（AAS）， ∴AE=DF； （2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠BAE：∠EAD=2：3， ∴∠BAE=36°， ∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°， ∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°． 5.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GAC=∠BCA， ∵△ABC和△AEC关于直线AC对称， ∴∠GCA=∠BCA， ∴∠GAC=∠GCA， ∴AG=CG； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=CB， ∵△ABC和△AEC关于直线AC对称， ∴CE=CB，AC⊥BE， ∴AD=CE， ∵AG=CG， ∴AD-AG=CE-CG，即DG=EG， ∴∠GED=∠GDE， ∴∠AGE=∠GED+∠GDE=2∠GDE， ∵AG=CG， ∴∠GAC=∠GCA， ∴∠AGE=∠GAC+∠GCA=2∠GAC， ∴2∠GDE=2∠GAC， ∴∠GDE=∠GAC， ∴DE∥AC， ∴DE⊥BE， ∴∠BED=90°． 矩形与坐标系（一） 1.解：如图， 过（-1，3）、（2，-1）两点分别作x轴、y轴的平行线， 交点为（2，3），即为第四个顶点坐标． 故答案为（2，3）． 2.解：当点A落在x轴负半轴时， （1）逆时针旋转时，点B的对应点落在第四象限B'处，连接OB'，过B'作B'P⊥x轴于P，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=2，∠BAD=90°，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB=OD， ∴∠OAD=∠ADB=30°， ∴∠AOB=∠OAD+∠ADB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=2，由旋转的性质得：∠A'OB'=60°， ∵B'P⊥x轴， ∴∠OB'P=30°， ∴OP=OB'=1，BP'=OP=， ∴B'（-1，-）； （2）顺时针旋转时，点B的对应点落在第二象限，与B'关于x轴对称，坐标为（-1，）； 当点A落在x轴正半轴时， ①逆时针旋转时，点B的对应点落在第三象限B'处，连接OB'，过B'作B'P⊥x轴于P，如图2所示： 同上得：OP=OB'=1，BP'=OP=， ∴B'（1，-）； ②顺时针旋转时，点B的对应点落在第一象限，与B'关于x轴对称，坐标为（1，）； 综上所述，点B的对应点的坐标是（-1，-）或（-1，）或（1，-）或（1，）， 故答案为：（-1，-）或（-1，）或（1，-）或（1，）． 3.解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC=90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC=30°，∠ODA=90°， ∵AC=6， ∴OC=AC=3， ∴OA=OC=3， ∴OD=OA=， ∴AD=OD=， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 4.解：∵点A（10，0），点C（0，4）， ∴OA=10，OC=4， ∵点D是OA的中点， ∴OD=5， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCP=90°，BC∥OA， 在Rt△OPC中，OP=OD=5，OC=4， ∴PC=3， ∴点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 5.解：（1）∵四边形OABC是长方形，点A坐标为（4，0），点C的坐标为（0，6）， ∴点B的坐标是（4，6）， ∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动， ∴2×6=12， ∵OA=4，OC=6， ∴当点P移动3.5秒时，在线段CB上，离点B的距离是：7-6=1， 即当点P移动3.5秒时，此时点P在线段CB上，离点B的距离是1个单位长度，点P的坐标是（1，6）； 故答案为（1，6）； （2）设移动时间为t秒， ①当P在OC上时，如图1所示： △OBP的面积=×2t×4=10， 解得：t=； ②当P在CB上时，如图2所示； △OBP的面积=×（10-2t）×6=10， 解得：t=； ③当P在BA上时，如图3所示： △OBP的面积=×（2t-10）×4=10， 解得：t=； 综上所述，当△OBP的面积等于10时，点P移动的时间为s或s或s． 6.解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴AB∥OC，AB=OC=8，AO=BC=4，BC∥AO， ∴点A（0，4），点B（8，4），点C（8，0）； （2）四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化，理由如下： 设运动时间为t秒，则OQ=t，CP=2t， ∴AQ=4-t， ∴S△ABQ=1×AB×AQ=×8×（4-t）=16-4t，S△BCP=×PC×BC=×2t×4=4t， ∴S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△ABQ-S△BCP=32-（16-4t）-4t=16， ∴四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化． 矩形与坐标系（二）参考答案 1.解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ∴AB∥OC，AB=OC=8，AO=BC=4，BC∥AO， ∴点A（0，4），点B（8，4），点C（8，0）； （2）四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化，理由如下： 设运动时间为t秒，则OQ=t，CP=2t， ∴AQ=4-t， ∴S△ABQ=1×AB×AQ=×8×（4-t）=16-4t，S△BCP=×PC×BC=×2t×4=4t， ∴S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△ABQ-S△BCP=32-（16-4t）-4t=16， ∴四边形OPBQ的面积不随t的增大而变化． 2.解：（1）如图， ∵P（1，1），Q（4，1）， ∴P，Q在y=1上， ∵M到PQ的距离为1时，M是PQ的“单位高点”， ∴M在y=2或y=0上， ∴纵坐标为2或0， ∵四边形PQRS是矩形，M在RS上， ∴PS=RQ=1，SR=PQ=3， ∴S（1，2），R（4，2）或S'（1，0），R'（4，0）， ∵M在SR上，令M（a，b）， ∴1＜a＜4，b=2或0， ∴表示PQ的“单位高点”的坐标是（2，0），（3，2）， 故答案为（2，0），（3，2）； （2）如图，作点P关于x轴的对称点P'，连接P'Q与x轴的交点即为“单位高点”M（t，0），此时P'Q的长是“单位高距离”的最小值， ∵P（1，1）， ∴P'（1，-1）， ∵PP'=2，PQ=3，PQ⊥PP'， ∴P'Q=， ∴“单位高距离”的最小值为． 3.解：（1）∵A（6，0），C（0，10）， ∴OA=6，OC=10． ∵四边形OABC是长方形， ∴BC=OA=6，AB=OC=10， ∴点B的坐标为（6，10）． ∵OC=10，OA=6， ∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）=32． （2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分， ∴被分成的两部分的长分别为12和20． ①当点D在AB上时，AD=20-10-6=4，所以点D的坐标为（6，4）． ②当点D在OA上时，OD=12-10=2，所以点D的坐标为（2，0）． 9.解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴AB=OC=6，∠A=90°， ∴OB=10， 即矩形OABC的对角线的长为10； （2）∵BD⊥OD， ∴∠ODB=90°， ∴BD=8， ∴点B的坐标为（8，6） （3）∵OD=6，AB=6， ∴OD=AB， 在Rt△OBD和Rt△BOA中， ∴Rt△OBD≌Rt△BOA（HL）， ∴∠OBD=∠BOA， ∴OE=BE， 设OE=BE=x，则DE=8-x， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2， 解得：x=， 即BE=， ∴△EOB的面积=12BE•OD=××6=． 周长与面积问题（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC，AB⊥BC， ∵∠COD=60°， ∴△DOC是等边三角形， ∴OD=DC=OC=AB=2， ∴AC=2OC=4， 在Rt△ABC中，BC=2， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=2×2＝4， 故答案为：4． 2.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=4， ∵四边形BCEF是矩形， ∴BA=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA=AC=BC=4，∠ABC=60°， ∴BE=2BA=8，EC=4， ∴矩形BCEF的面积=BC•CE=16， 故答案为：16． 3.解：∵四边形ABCD是矩形，AC=3， ∴AO=BO=CO=DO=AC=， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OD=DE=CE=OC=， ∴四边形CODE的周长=4OC=6， 故答案为：6． 4.证明：（1）如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠EAB=∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAC=∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF=∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF=CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF=FE=2， ∴AC=BD=6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=DO=3， 在△ODF中，OD=3，OF=1，∠OFD=90°， ∴DF=2， ∴矩形ABCD的面积=AC×DF=6×2=12． 5.解：（1）∵（a-3）2+|2a+b-9|=0， ∴a-3=0，2a+b-9=0， ∴a=3，b=3； 故答案为：3，3； （2）∵AE=3cm，DE=3cm， ∴AD=6cm=BC， ∴C四边形BCDE=BC+CD+DE+EB=18cm， ∵EP把四边形BCDE的周长平分， ∴BE+BP=9cm， ∴点P在BC上，BP=4cm， ∴t=4÷2=2s； （3）解：①点P在BC上（0＜t≤3）， ∵S△BPQ=×2t×4=6， ∴t=； ②相遇前，点P在CD上（3＜t≤）， ∵S△BPQ=×[（4-（t-3）-（2t-6）]×6=6， ∴t=； ③相遇后，点P在CD上（133＜t≤5）， ∵S△BPQ=×[（t-3）+（2t-6）-4]×6=6， ∴t=5； ∴综上所述，当t=s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2． 周长与面积问题（二）参考答案 1.解：连接OE，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OD=OC，AC=10， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△DOC=S矩形ABCD=12，OD=OC=5， ∴S△DOC=S△DOE+S△COE=OD•EF+OC•EG=OD（FE+EG）=×5×（EF+EG）=12， ∴EF+EG=； 故答案为． 2.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，AB=CD，AD=BC， ∵矩形ABCD的周长为8cm， ∴AB+AD=4cm， ∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线， ∴BE=DE， ∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=4cm， 故答案为4． 3.解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H， 由矩形性质可知，S△ADC=S△ABC，S△PFC=S△PHC，S△AGP=S△AEP， ∴S△ADC-S△PFC-S△AGP=S△ABC-S△PHC-S△AEP， 即S四边形GPFD=S四边形EPHB， ∴S四边形GPFD=S四边形EPHB， 即S△DPF=S△PEB． ∵GP=AE=2，PF=9， ∴S△DPF=×2×9=9=S△PEB． 即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB=9+9=18． 故答案为：18． 4.（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵点D是AC的中点，AF是BC边的中线， ∴AF=BD，∠CBD=30°，AF⊥BC， ∴∠AFB=∠AFC=90°， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴AF=BD=BE，∠EBF=60°+30°=90°， ∴∠EBF=∠AFC=90°， ∴AF∥BE， ∴四边形AEBF是平行四边形， 又∵∠AFB=90°， ∴平行四边形AEBF是矩形； （2）解：∵AC=4，△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=AB=4， ∵AF是BC边的中线， ∴∠AFB=90°，， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=， 又∵四边形AEBF是矩形， ∴． 矩形的判定（一）参考答案 1.证明：（1）∵DE∥AB， ∴∠ABC=∠DEC， 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴DE=AB； （2）∵DC=AC，DE=EF， ∴CE是△DAF的中位线， ∴AF∥BE； （3）由（1）得：DE=AB，△ABC≌△DEC， ∴BC=CE，∠BAC=∠EDC， ∴AB∥DE， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∵AC=BC， ∴AC=BC=CE=CD， ∴AD=BE， ∴四边形AEDB是矩形． 2.证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE，AB=DE； ∴∠B=∠EDC； 又∵AB=AC， ∴AC=DE，∠B=∠ACB， ∴∠EDC=∠ACD； ∵在△ADC和△ECD中， ∴△ADC≌△ECD（SAS）， ∴∠ACD=∠EDC， ∴OA=OC； （2）∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE，BD=AE， ∴AE∥CD； 又∵BD=CD， ∴AE=CD， ∴四边形ADCE是平行四边形； 在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴▱ADCE是矩形． 3.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， ∴∠AOE+∠DOE=90°，∠OAD+∠EDO=90°， ∵∠DOE=∠EDO， ∴OE=DE，∠AOE=∠OAD， ∴AE=OE，∴AE=DE， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥AB， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， 又∵EF⊥AB， ∴∠EFG=90°， ∴平行四边形OEFG是矩形． 4.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DA=AF， ∴AF=BC， ∴四边形AFBC是平行四边形， ∴BE=AE； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠ABC， ∵2∠D=∠AEC=∠BEF，∠BEF=∠ABC+∠ECB， ∴2∠ABC=∠ABC+∠ECB， ∴∠ECB=∠ABC， ∴CE=BE， ∵四边形AFBC是平行四边形， ∴AE=BE，CE=EF， ∴AB=CF， ∴平行四边形AFBC是矩形． 矩形的判定（二）参考答案 1.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD， ∴∠BAM=∠DCN， ∵点M，N分别为OB，OD的中点， ∴BM=DN， 在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN（SAS）； （2）解：当AC=2AB时，四边形MECN是矩形， 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AC=2AB， ∴AB=AO， ∵点M为OB的中点， ∴AM⊥BD， 同理：CN⊥BD， ∴AM∥CN，∠CNM=90°， ∴EM∥CN， 由（1）得：△ABM≌△CDN， ∴AM=CN， ∵EM=AM， ∴EM=CN， ∴四边形MECN是平行四边形， 又∵∠CNM=90°， ∴平行四边形MECN是矩形， 故答案为：AC=2AB． 2.（1）证明：∵E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD=OB，OA=OC， ∴OA-AE=OC-CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形能为矩形， 理由如下：分为两种情况： ①∵四边形DEBF是矩形， ∴BD=EF=12cm， 即AE=CF=0.5tcm， 则16-0.5t-0.5t=12， 解得：t=4； ②当E到F位置上，F到E位置上时， AE=AF=0.5tcm， 则0.5t-12+0.5t=16， 解得：t=28， 即当运动时间t为4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°． ∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°． ∴∠AEB=90°， 同理可得：∠AFD=90°，∠BHC=90°，∠DGC=90°， ∵∠HGF=∠DGC=90°，∠HEF=∠AEB=90°， ∴∠AFD=∠BHC=∠HGF=∠HEF=90°， ∴四边形EGFH是矩形． 4.（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAE=∠BCD=70°，AD∥BC， ∵∠DCE=20°，AB∥CD， ∴∠CDE=180°-∠BAE=110°， ∴∠DEC=180°-∠DCE-∠CDE=50°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，∠BAE=∠BCD， ∵BF=BE，CG=CE， ∴BC是△EFG的中位线， ∴BC∥FG，BC=FG， ∵H为FG的中点， ∴FH=FG， ∴BC∥FH，BC=FH， ∴AD∥FH，AD=FH， ∴四边形AFHD是平行四边形， ∵∠FAD=90°， ∴四边形AFHD为矩形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $