专题07 整式乘法、因式分解的应用八大热考题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题07 整式的乘法、因式分解的应用八大热考题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式乘法的实际应用 题型02 整式乘法公式求值问题 题型03 整式乘法与拼图问题 题型04 整式乘法公式与几何图形面积问题 题型05 整式乘法公式与规律探究问题 题型06 利用因式分解求值 题型07 因式分解与拼图问题 题型08 因式分解的应用---新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式乘法的实际应用 用整式表示数量关系，列代数式/方程解决面积、工程、行程等实际问题 期中必考，选择/填空/解答均出现，难度中等 整式乘法公式求值 熟练运用完全平方公式、平方差公式变形求值，掌握整体代入 高频考点，常与方程、代数式结合 整式乘法与拼图问题 用图形面积推导乘法公式，数形结合列式计算 必考几何应用，填空、解答为主 整式乘法公式与几何面积 利用周长/面积列等式，用公式变形求边长、面积 高频几何综合，易与完全平方结合 整式乘法与规律探究 观察归纳展开式系数/项数规律，用规律计算 中档偏难，常作为选择/填空压轴 利用因式分解求值 提公因式、公式法分解后整体代入、降次、简化计算 必考点，计算类核心 因式分解与拼图 用拼图验证因式分解，由多项式分解确定图形长与宽 几何与代数结合，常考画图与分解 因式分解的应用—新定义 理解新定义规则，用乘法/分解完成运算、比较大小、证明 新颖题型，选择/解答均可能出现 知识点01 整式的乘法核心应用依据 1. 核心公式：单项式×多项式、多项式×多项式（重点用于情境建模、几何边长/面积关系推导）； 2. 核心思路：用整式表示复杂数量关系，通过乘法化简转化，适配实际场景或几何推理需求。 知识点02 因式分解核心应用依据 1. 核心方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式），重点用于化简建模、整除判断、最值探究； 2. 关键原则：因式分解要彻底，结合情境灵活选择方法，适配复杂数量关系的转化。 题型一 整式乘法的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.设未知数表示边长/数量，用整式列式 2.按面积和差、周长、总价、总量建立等式 3.展开化简，代入数值或解方程 4.几何题优先用面积法列方程 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简） (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 【变式3】（24-25八年级上·吉林·月考）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 题型二 整式乘法公式求值问题 解｜题｜技｜巧 1.核心变形： 2.已知与，整体代入，不强行求 3.遇到大数/连续式，优先换元简化 【典例1】若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 【变式2】（23-24）七年级下·浙江杭州·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：． (1)根据图2，可得等式：______． (2)利用题（1）所得结论解决问题：已知，，求的值． 【变式3】拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【变式4】【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 题型三 整式乘法与拼图问题 解｜题｜技｜巧 1.用两种方法算面积：整体算、分块算，列恒等式 2.拼图对应：→正方形A；→正方形B；→长方形C 3.由多项式分解反推长方形长和宽 【典例1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，利用图2的两种不同的面积表示法，写出一个关于a，b的等式： ． (2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求一张C型长方形纸板的面积． (3)你能用1张A型纸板，2张B型纸板和3张C型纸板，拼成一个大的长方形吗，如果能，请画出示意图． 【变式1】【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形，请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积，为常数） ①因式的积的形式：　 　；②关于的二次多项式的形式：　 　；由①与②，可以得到一个等式：　 　． （2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 【变式3】23-24七年级下·浙江宁波·期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ； (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ； (4)动手操作，请你依照小刚的方法，画出拼图并利用拼图分解因式 ． 【变式4】（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 题型四 整式乘法公式与几何图形面积问题 解｜题｜技｜巧 1.设边长为，用周长/面积列方程 2.阴影面积常用：总面积 - 空白面积 3.反复用完全平方/平方差变形求 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，长方形的周长为11（其中），如图2 所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形 的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 题型五 整式乘法公式与规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1.杨辉三角：系数对称、首尾为1、中间等于肩上两数之和 展开：项数，系数按三角排列 3.递推规律：直接套用 4.周期/余数问题：把底数写成倍数+余数再展开 【典例1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【变式1】（20-21七年级下·浙江·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面是他在《详解九章 算法》中记载的“杨辉三角”．揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由 此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期_______． …… …… …… …… 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）观察下列各式： ；；； …… 根据这一规律计算： (1) ___，____； (2)； (3)． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）仔细观察下列算式，尝试问题解决： 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数： 杨辉三角形                            各项系数和为2                    各项系数和为4             各项系数和为8     各项系数和为16 ……                                     …… (1)请根据上图中的杨辉三角系数表，仔细观察各式中系数的规律并填空： ①请补全下面展开式的系数：________________； ②请直接写出各项系数之和：________； ③此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期________； (2)设． 小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)你能在（2）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 题型六 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 1.优先提公因式，再用平方差/完全平方 2.已知方程降次：用代入高次式 3.整体换元：把看成整体分解 4.因式分解必须彻底 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【变式1】（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ____；____；____； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数、、一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示、、之间的关系：____； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【变式2】阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式． 解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，原式＝（x+y+1）2． 上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题． (1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9； (2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1． ①因式分解M； ②若M＝0，求a﹣b的值． 【变式3】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求k的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）阅读下列材料：已知，求的值． 解： 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． （4）已知，求代数值的值． 题型七 因式分解与拼图问题 解｜题｜技｜巧 1.分解结果=长×宽，据此画图 2.卡片数量：系数→A卡数；系数→B卡数；系数→C卡数 3.拼图无重叠、无缝隙，面积相等 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸 片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片 一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【变式2】王聪同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片． （1）拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积和等于大纸片（正方形）的面积，有，验证了完全平方公式（分解因式）； （2）拼成如图所示的矩形，由面积可得，多项式分解因式的结果是表示矩形长、宽两个整式与的积． 问题： ①动手操作一番，利用拼图分解因式________． ②猜想面积为的矩形的长、宽可能分别为________． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）几何和代数是密切相关的． (1)如图 1， 这是由四个小长方形拼成的大长方形．我们发现： 12 所以得到等式： 上述等式的变形过程叫____________． (2)利用图 2， 请你仿照上述的过程， 请把用两个多项式的乘积表示， 直接写出结果． (3)如图3， 已有这些小长方形和小正方形．请你利用所有的图形拼出一个大的长方形， 并给出一个与 （1） 中结论类似的等式． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有或． 探索问题： （1）选取图①所示的正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图②的长方形，计算图②的面积，并写出相应的等式； （2）试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式，并把所拼的图形画在方框内． （3）小明同学又用了张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为，的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，那么的值为________． 题型八 因式分解的应用---新定义问题 解｜题｜技｜巧 1.严格按新定义规则写出运算式 2.运算中用乘法展开、因式分解化简 3.比较大小：作差→分解→判断符号 4.证明题：化简到常数/0即与参数无关 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若两个正整数a，b，满足．k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． (1)5是6的“________”级数；正整数n为1的“________”级数（用关于n的代数式表示）； (2)若m为4的“”级数，求m的值； (3)是否存在a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”． (1)蛟蛟说“”是“3倍数”，川川说“，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由； (2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若（是自然数），则称 为一组“兄弟平方数”，为这组“兄弟平方数”的“中介数”． 例如：，则9和1是一组“兄弟平方数”，5是“中介数”． (1)试求“兄弟平方数”49和25的“中介数”． (2)若“中介数”为52，试求符合要求的“兄弟平方数”． (3)若“中介数”，将它分别加上42或减去42，所得的两个数是一组“兄弟平方数”，请直接写出符合要求的所有“兄弟平方数”和相应“中介数”．温馨提示：参考公式 【变式4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小晓在化简整式 时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 4．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点M是的中点，点P在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，，．设，，则阴影部分面积为（用含有的a，b的代数式表示）________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（    ） A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 8．（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 12．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ； （2）配方： ； 【知识运用】： （3）已知，求m，n的值． 14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的乘法、因式分解的应用八大热考题型 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式乘法的实际应用 题型02 整式乘法公式求值问题 题型03 整式乘法与拼图问题 题型04 整式乘法公式与几何图形面积问题 题型05 整式乘法公式与规律探究问题 题型06 利用因式分解求值 题型07 因式分解与拼图问题 题型08 因式分解的应用---新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式乘法的实际应用 用整式表示数量关系，列代数式/方程解决面积、工程、行程等实际问题 期中必考，选择/填空/解答均出现，难度中等 整式乘法公式求值 熟练运用完全平方公式、平方差公式变形求值，掌握整体代入 高频考点，常与方程、代数式结合 整式乘法与拼图问题 用图形面积推导乘法公式，数形结合列式计算 必考几何应用，填空、解答为主 整式乘法公式与几何面积 利用周长/面积列等式，用公式变形求边长、面积 高频几何综合，易与完全平方结合 整式乘法与规律探究 观察归纳展开式系数/项数规律，用规律计算 中档偏难，常作为选择/填空压轴 利用因式分解求值 提公因式、公式法分解后整体代入、降次、简化计算 必考点，计算类核心 因式分解与拼图 用拼图验证因式分解，由多项式分解确定图形长与宽 几何与代数结合，常考画图与分解 因式分解的应用—新定义 理解新定义规则，用乘法/分解完成运算、比较大小、证明 新颖题型，选择/解答均可能出现 知识点01 整式的乘法核心应用依据 1. 核心公式：单项式×多项式、多项式×多项式（重点用于情境建模、几何边长/面积关系推导）； 2. 核心思路：用整式表示复杂数量关系，通过乘法化简转化，适配实际场景或几何推理需求。 知识点02 因式分解核心应用依据 1. 核心方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式），重点用于化简建模、整除判断、最值探究； 2. 关键原则：因式分解要彻底，结合情境灵活选择方法，适配复杂数量关系的转化。 题型一 整式乘法的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.设未知数表示边长/数量，用整式列式 2.按面积和差、周长、总价、总量建立等式 3.展开化简，代入数值或解方程 4.几何题优先用面积法列方程 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，则正方形的边长为，表示出和的长，然后根据列方程求解即可． 【详解】设正方形的边长为x，则正方形的边长为， ∴，， ∵四边形的面积是2.5， ∴， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，单项式与多项式的乘法计算，根据题意列出方程是解答本题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，设小正方形的边长为x，则，求出小正方形的边长为，大正方形的边长为，用代数式表示出，再计算即可解决． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则， 解得，， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简） (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)48300平方米 【分析】此题考查了完全平方公式的实际应用以及代数求值， （1）根据阴影部分面积等于总面积减去室外活动场所面积和田径体育场面积求解即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1） 答：阴影部分面积为平方米； （2）当，时，（平方米） 答：阴影部分面积为48300平方米． 【变式3】（24-25八年级上·吉林·月考）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 【答案】(1)平方米 (2)275平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据图形的面积之差列式即可求解； （2）将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． ∴绿化地带的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）． 【变式4】（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】(1) (2)348 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 题型二 整式乘法公式求值问题 解｜题｜技｜巧 1.核心变形： 2.已知与，整体代入，不强行求 3.遇到大数/连续式，优先换元简化 【典例1】若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． (2)观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． (3)利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用. （1）根据图形作答即可； （2）用两种方法表示出阴影部分面积，即可找出等量关系； （3）根据（2）中结论计算即可. 【详解】（1）解：图2中阴影正方形的边长； 故答案为：； （2）解：方法1：阴影部分面积为， 方法2：阴影部分面积为， ； （3）解：根据（2）中结论可得， ． 【变式2】（23-24）七年级下·浙江杭州·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：． (1)根据图2，可得等式：______． (2)利用题（1）所得结论解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）根据一个图形面积的两种计算方法求解； （2）利用（1）中结论，变式代入求解． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）∵，， ∴ = ． 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式3】拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解： ， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 【变式4】【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 题型三 整式乘法与拼图问题 解｜题｜技｜巧 1.用两种方法算面积：整体算、分块算，列恒等式 2.拼图对应：→正方形A；→正方形B；→长方形C 3.由多项式分解反推长方形长和宽 【典例1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，利用图2的两种不同的面积表示法，写出一个关于a，b的等式： ． (2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求一张C型长方形纸板的面积． (3)你能用1张A型纸板，2张B型纸板和3张C型纸板，拼成一个大的长方形吗，如果能，请画出示意图． 【答案】(1) (2)12 (3)能，见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用． （1）利用图2的两种不同的面积表示法即可作答； （2）整体代入（1）中的等式即可； （3）根据条件画出图形即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； 故答案为：； （2）解：∵已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25， ∴，， ∴， ∴， 故一张C型长方形纸板的面积为12； （3）解：能拼出一个大长方形，如下图． ． 【变式1】【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 【答案】（1）；（2）；（3）19；（4） 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，立方公式的几何意义，学会画图是解题的关键． （1）阴影部分是边长为的正方形，这个正方形的面积等于以为边长的大正方形面积减去非阴影区域面积； （2）阴影部分面积大正方形面积 长方形面积； （3）先画出大长方形，再按照和的比例进行分割即可画出图形，按照图形数出和的值，再进行计算； （4）大正方体体积各小长方体体积之和． 【详解】解：（1）阴影部分面积大正方形面积非阴影区域面积， 即：； （2）阴影部分面积 ， 大正方形面积 ， 长方形面积 ， 大正方形面积 长方形面积阴影部分面积， 即：； （3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，如下图所示： ， 看图即可得：，， ∴； （4）大正方体体积各小长方体体积之和， 即：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形，请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积，为常数） ①因式的积的形式：　 　；②关于的二次多项式的形式：　 　；由①与②，可以得到一个等式：　 　． （2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 【答案】（1）①（x-a）（x-b）；②x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab；（2）m=3，n=-5；（3）x3-x=（x+1）（x-1）x． 【分析】（1）先求得阴影部分矩形的长与宽可直接求得阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积=正方形的面积-1个边长分别为a、x的矩形-1个边长分别为b、x的矩形+一个边长分别为a、b的矩形，从而得到恒等式； （2）依据（1）的结果可知（a-m）（a-2）=a2-（m+2）a+2m，然后根据两个多项式的对应项相同求解即可； （3）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【详解】解：（1）①阴影部分的面积=（x-a）（x-b）， ②阴影部分的面积=x2-ax-bx+ab=x2-（a+b）x+ab， ∵阴影部分的面积不变， ∴（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab． 故答案为：①（x-a）（x-b）；②x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab； （2）由（1）可知：（a-m）（a-2）=a2-（m+2）a+2m， 又∵（a-m）（a-2）=a2+na+6， ∴2m=6，n=-（m+2）． 解得：m=3，n=-5； （3）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x， 新几何体的体积=（x+1）（x-1）x， ∴x3-x=（x+1）（x-1）x． 【点睛】本题主要考查的是多项式乘多项式与图形面积，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． 【变式3】23-24七年级下·浙江宁波·期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ； (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ； (4)动手操作，请你依照小刚的方法，画出拼图并利用拼图分解因式 ． 【答案】(1) (2)2，3 (3) (4)见解析， 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据式子会画出图形是解题的关键． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 【详解】（1）解：这个乘法公式是， 故答案为：． （2）解：由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张； 故答案为：2，3． （3）解：由图③可知矩形面积为，所以， 故答案为：． （4）解：， 如图， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 题型四 整式乘法公式与几何图形面积问题 解｜题｜技｜巧 1.设边长为，用周长/面积列方程 2.阴影面积常用：总面积 - 空白面积 3.反复用完全平方/平方差变形求 【典例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，长方形的周长为11（其中），如图2 所示，以为边向上作正方形，再以为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形 的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用完全平方公式求出的值是解题的关键．本题可以设长方形的长为，宽为，根据题意列出方程，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，长方形的周长为11， 所以有，可得， 又因为图2中空白图形的面积和为， 所以有， 又因为， 所以有， 将代入，可得， 解得，即原长方形的面积为． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解二元一次方程组，通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为，宽为， 由图图得出的值，再根据图，求出 的值， 即求出的值即可，将公式进行适当的变形，是得出答案的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由图得，， 即：； 由图得，， 即：； 则， 解得：， 由图得， 即阴影部分的面积为， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设，根据“，”，可列出关于x，y的方程组，再利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设， 根据题意得：， 得： 即， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． (1)若，，求的值． (2)当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）分别表示出，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）分割法求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，， 所以， 因为 所以； （2）由图可知 因为， 所以． 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，例如，借助图1，可以利用“等积法”直观推导出完全平方公式，“数形结合”一方面指“以数助形”，另一方面指“以形助数”．请你使用数形结合思想解决下列问题： (1)由图2可得到等式：__________________________； (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则=_________． (3)如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，多项式乘多项式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用不同的式子表示大正方形的面积，即可得到等式； （2）把展开成多项式，即可得到，代入求解即可； （3）利用完全平方公式作变形，即可得到阴影部分两直角边的积，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积， 大正方形的面积， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设， ∵，， ∴ ， ∴． 题型五 整式乘法公式与规律探究问题 解｜题｜技｜巧 1.杨辉三角：系数对称、首尾为1、中间等于肩上两数之和 展开：项数，系数按三角排列 3.递推规律：直接套用 4.周期/余数问题：把底数写成倍数+余数再展开 【典例1】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查对“杨辉三角”规律的运用以及多项式乘法法则，解题关键是利用“杨辉三角”得出展开式，再通过分析多项式乘积中项的构成来确定其系数． 由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：B． 【变式1】（20-21七年级下·浙江·期末）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面是他在《详解九章 算法》中记载的“杨辉三角”．揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由 此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期_______． …… …… …… …… 【答案】四 【分析】根据82021=（7+1）2021=72021+2021×72020+…+2021×7+1可知82021除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】解：∵82021=（7+1）2021=72021+2021×72020+…+2021×7+1， ∴82021除以7的余数为1， ∴假如今天是星期三，那么再过82021天是星期四． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 【变式3】（23-24七年级下·浙江温州·期中）观察下列各式： ；；； …… 根据这一规律计算： (1) ___，____； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给代数式总结规律可得答案； （2）根据规律，把x=2，n=2022代入计算即可； （3）根据规律，把x=-3，n=2022代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 将x=2，n=2022代入可得： ， ∴ ； （3）解：， 将x=-3，n=2022代入可得： , ∴ ． 【点睛】本题考查平方差公式的拓展和应用，根据已知算式找出规律是解题的关键． 【变式4】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）仔细观察下列算式，尝试问题解决： 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数： 杨辉三角形                            各项系数和为2                    各项系数和为4             各项系数和为8     各项系数和为16 ……                                     …… (1)请根据上图中的杨辉三角系数表，仔细观察各式中系数的规律并填空： ①请补全下面展开式的系数：________________； ②请直接写出各项系数之和：________； ③此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期________； (2)设． 小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (3)你能在（2）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)①，；②；③二 (2) (3)能， 【分析】（1）①根据规律写出各项，即可求解； ②根据规律可得各项系数之和为为，    ③，进而根据整除即可求解； （2）根据题意可得各项系数之和为，，整体代入，即可求解； （3）根据（2）的方法，分别设，，得出①②，然后两式相加，即可求解． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ②，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ，各项系数和为 ……    各项系数之和为为，      ∴各项系数之和为， 故答案为：． ③∵， ∴被除余数为， 假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期二； 故答案为：二． （2）解：∵各项系数之和为， 即， ∵令，则， ∴； （3）当时，① 当时，② ①+②得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到杨辉三角系数规律是解题的关键． 题型六 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 1.优先提公因式，再用平方差/完全平方 2.已知方程降次：用代入高次式 3.整体换元：把看成整体分解 4.因式分解必须彻底 【典例1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程和利用平方差公式分解因式，学生们熟练掌握二元一次方程的计算和平方差公式的计算即可． 把代入原方程组得，解出与，再进一步即可求出答案． 【详解】解：把代入原方程组 得， ∴两个方程相加得：即， 两个方程相减得：， ∴， 故答案选D． 【变式1】（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ____；____；____； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数、、一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示、、之间的关系：____； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】（1），，；（2）①；②． 【分析】（1）利用完全平方公式分解即可； （2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可； ②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，； （2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为； 故答案为：； ②∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：． 【点睛】此题考查了完全平方式，列代数式，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式2】阅读材料：将（x+y）2+2（x+y）+1分解因式． 解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，原式＝（x+y+1）2． 上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题． (1)因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9； (2)设M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1． ①因式分解M； ②若M＝0，求a﹣b的值． 【答案】(1) (2)①；②1 【分析】（1）仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）①仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；②根据M=0，可得（a-b-1）2=0，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：令m+n＝A， 原式＝A2﹣6A+9＝（A﹣3）2， 再将A还原， 原式＝（m+n﹣3）2； （2）解∶①M＝（a﹣b）（a﹣b﹣2）+1 =（a﹣b）[（a﹣b）﹣2]+1， 令a﹣b＝C， 则M＝C（C﹣2）+1 ＝C2﹣2C+1 ＝（C﹣1）2 ＝（a﹣b﹣1）2； ②∵M＝0， ∴（a﹣b﹣1）2＝0， ∴a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ∴a﹣b的值为1． 【点睛】本题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键． 【变式3】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求k的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【答案】（1）；（2）m，n的值分别为和0；（3）． 【分析】（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得 （2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值； （3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给多项式的因式，从而问题得解． 【详解】解：（1）∵是多项式的一个因式 ∴时， ∴ ∴ ∴ ∴的值为； （2）和是多项式的两个因式， ∴当和时，， ∴， 解得： ∴m，n的值分别为和0； （3）∵，， ∴可化为： ∴ ． 【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）阅读下列材料：已知，求的值． 解： 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． （4）已知，求代数值的值． 【答案】（1）-20；（2）2；（3）3999；（4）-1 【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解； （2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解； （3）根据换元的思想，利用阅读材料的解答过程即可求解； （4）根据因式分解和整式的混合运算，整体代入即可求解． 【详解】解：（1）∵a2-a-10=0，∴a2-a=10， ∴2（a+4）（a-5）=2（a2-a-20）=2（10-20）=-20 ∴2（a+4）（a-5）的值为-20； （2）∵x2-x-1=0，∴x2-x=1，x2=x+1， ∴x3-2x+1=x（x2-2）+1=x（x+1-2）+1=x（x-1）+1=x2-x+1=1+1=2； ∴x3-2x+1的值为2； （3）∵（999-a）（998-a）=1999， ∴设：998-a=x ∴（x+1）x=1999，x2+x=1999， （999-a）2+（998-a）2 =（x+1）2+x2 =x2+2x+1+x2 =2（x2+x）+1 =2×1999+1 =3999 ∴（999-a）2+（998-a）2的值为3999． （4）∵x2+4x-1=0，∴x2+4x=1，x2=1-4x， ∴2x4+8x3-4x2-8x+1=2x2（x2+4x-2）-8x+1 =2（1-4x）（1-2）-8x+1 =-2+8x-8x+1 =-1． ∴代数值2x4+8x3-4x2-8x+1的值为-1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用和整式的混合运算，解决本题的关键是整体代入思想的运用． 题型七 因式分解与拼图问题 解｜题｜技｜巧 1.分解结果=长×宽，据此画图 2.卡片数量：系数→A卡数；系数→B卡数；系数→C卡数 3.拼图无重叠、无缝隙，面积相等 【典例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸 片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片 一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】(1)图见解析； (2)7 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式与几何图形的面积问题： （1）根据，用1个小正方形①，3个长方形和2个大正方形拼成1个大的长方形，根据长方形的面积分解因式即可； （2）根据题意得到，利用完全平方公式变形求出即可． 【详解】（1） 解：（1）如图， 拼成边为和的长方形 ∴； （2）由题意，得：， ∴； 故小正方形①与大正方形③的面积之和为7． 【变式2】王聪同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片． （1）拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积和等于大纸片（正方形）的面积，有，验证了完全平方公式（分解因式）； （2）拼成如图所示的矩形，由面积可得，多项式分解因式的结果是表示矩形长、宽两个整式与的积． 问题： ①动手操作一番，利用拼图分解因式________． ②猜想面积为的矩形的长、宽可能分别为________． 【答案】 ，拼图见解析； ，． 【分析】①观察可知由1个以边长为的正方形，6个以边长为的正方形和5个长方形即可拼成，利用等面积法即可得出图形； ②利用因式分解的结果，从而得到矩形的长和宽． 【详解】解：①， 所拼图如下： ②， ∴矩形的长、宽可能分别为，， 故答案为：①；②，． 【点睛】熟练掌握因式分解的十字相乘法是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）几何和代数是密切相关的． (1)如图 1， 这是由四个小长方形拼成的大长方形．我们发现： 12 所以得到等式： 上述等式的变形过程叫____________． (2)利用图 2， 请你仿照上述的过程， 请把用两个多项式的乘积表示， 直接写出结果． (3)如图3， 已有这些小长方形和小正方形．请你利用所有的图形拼出一个大的长方形， 并给出一个与 （1） 中结论类似的等式． 【答案】(1)因式分解 (2) (3)图见解析， 【分析】（1）根据因式分解的定义即可求解； （2）根据（1）的方法，先算出9个小矩形的面积，再根据大长方形的长和宽得出面积，建立等式即可求解； （3）将小矩形拼成一个大矩形，再根据（1）的方法即可求解． 【详解】（1）根据因式分解的定义可知：等式变形过程叫：因式分解， 故答案为：因式分解； （2）∵， 又∵ ∴， 故答案为：； （3）结合已知的矩形形状，作出的图： ， ∵， 又∵ ∴有等式：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用以及多项式乘以多项式与图形面积的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 【变式4】（23-24七年级下·浙江·期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有或． 探索问题： （1）选取图①所示的正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图②的长方形，计算图②的面积，并写出相应的等式； （2）试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式，并把所拼的图形画在方框内． （3）小明同学又用了张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为，的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，那么的值为________． 【答案】（1）a2+4ab+3b2或（a+3b）（a+b）；a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）；（2）2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；（3）2016 【分析】（1）根据图形，利用两种方法写出图②的面积，从而得出等式； （2）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，画出图形，可得因式分解的结果； （3）将代数式展开，根据结果可得x，y和z值，计算可得结果． 【详解】解：（1）由题意可得： 图②的长方形的面积为a2+4ab+3b2， 也可以写成（a+3b）（a+b）， 相应的等式为：a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）； （2）如图，2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）． （3） = ∴x=450，y=315，z=1251， ∴x+y+z=2016． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，解题的关键是认真观察图形，利用数形结合思想解答． 题型八 因式分解的应用---新定义问题 解｜题｜技｜巧 1.严格按新定义规则写出运算式 2.运算中用乘法展开、因式分解化简 3.比较大小：作差→分解→判断符号 4.证明题：化简到常数/0即与参数无关 【典例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义新运算计算即可； （2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论； （3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ∴，， ∴①，②， ①＋②×2得，， ∴的值与m无关； （3），， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若两个正整数a，b，满足．k为自然数，则称a为b的“k级”数．例如，，，则2为3的“11级”数． (1)5是6的“________”级数；正整数n为1的“________”级数（用关于n的代数式表示）； (2)若m为4的“”级数，求m的值； (3)是否存在a，b的值，使得a为b的“级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)23， (2)6 (3)不存在a，b的值，使得a为b的“级”数 【分析】本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算或分解因式即可； （2）根据已知条件中新定义列出关于m的方程，解方程求出m的值即可； （3）假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数，根据新定义列出算式，进行分解因式，然后再根据a，b为正整数，k为自然数，求出的取值，从而判断假设是否成立即可． 【详解】（1）解：∵， ∴5是6的“23级”数， ∵， ∴正整数n为1的“”级数， 故答案为：23，； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ； （3）解：假设存在a，b的值，使得a为b的“级”数， 则， ， ， ， ， ∵a，b是正整数， ∴，， ∴，， ∴， 这与假设产生矛盾， ∴不存在a，b的值，使得a为b的“级”数． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”． (1)蛟蛟说“”是“3倍数”，川川说“，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由； (2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由． 【答案】(1)川川的说法正确；理由见解析 (2)满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349；理由见解析 【分析】（1）分别求出，的值，即可求解； （2）设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴“”不是“3倍数”， ∴蛟蛟的说法不正确； ∵， ∴是“3倍数”， ∴川川的说法正确； （2）解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c， 由题意得：． ∴， ∴， ∴， ∵的整数，的整数，的整数， ∴b的可能值为3，6，9， ∴或或（不合题意，舍去）． 当时， ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（不合题意，舍去）． ∴， ∵这个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，“3倍数”的各个数位上的数字之和为3的倍数， ∴满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349． 【点睛】本题主要考查了考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若（是自然数），则称 为一组“兄弟平方数”，为这组“兄弟平方数”的“中介数”． 例如：，则9和1是一组“兄弟平方数”，5是“中介数”． (1)试求“兄弟平方数”49和25的“中介数”． (2)若“中介数”为52，试求符合要求的“兄弟平方数”． (3)若“中介数”，将它分别加上42或减去42，所得的两个数是一组“兄弟平方数”，请直接写出符合要求的所有“兄弟平方数”和相应“中介数”．温馨提示：参考公式 【答案】(1)37 (2)100和4 (3)兄弟平方数484和400中介数442；兄弟平方数100和16中介数58 【分析】该题考查了二元一次方程组、因式分解，解题的关键是掌握题中新定义． （1）根据“兄弟平方数”的定义解答即可； （2）根据“兄弟平方数”的定义可得，即可解答； （3）设是“兄弟平方数”和的中介数，，由题意可知，，得出，则，或，即可求解． 【详解】（1）解：， 由且， 所以37是49和25的中介数． （2）解：设52是“兄弟平方数”和的中介数， 则由题意可知， 即， 将104拆成两个自然数的平方和得， 所以符合要求的平方数是100和4． （3）解：设是“兄弟平方数”和的中介数，， 由题意可知，， 两式相减可得， 即， ∵，， 则， 解得， ， 即兄弟平方数484和400中介数442； 或， 解得， ， 即兄弟平方数100和16中介数58． 【变式4】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小晓在化简整式 时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 【答案】；[发现]（答案不唯一）；[探究]见解析；[应用] 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解的应用，代数式求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将整式化简得到，得出，即可求出，即可得到答案； 根据“对称多项式”的定义即可得到答案； 和是两个连续的奇数，设，则，推出，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论； 根据题意得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， “○”表示的数为， 故答案为：； [发现] 根据“对称多项式”的定义得， 故答案为：（答案不唯一）； [探究] 和是两个连续的奇数，设，则， ， 是奇数， 是偶数， 设，则， ， 的值为的倍数； [应用] ， ， ； 的值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式．设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式与多项式乘积与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键． 用两种方法表示出大长方形的面积即可求解． 【详解】大长方形的面积可以表示为： 大长方形的面积还可以表示为： ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 4．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点M是的中点，点P在上，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，，．设，，则阴影部分面积为（用含有的a，b的代数式表示）________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，掌握完全平方公式公式是解题的关键．分别求出两个正方形的边长，利用正方形的性质和三角形面积公式，根据计算即可． 【详解】解：∵，点M是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（    ） A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式及完全平方公式结合面积的变形运算，①由图即可判断；②由图得，即可判断；③由平方差公式得，即可判断；④由得，，化简代入，即可判断；掌握、、、的相互转化是解题的关键． 【详解】解：①由图得 ， 故①正确； ②由图得 ， ， ， 故②正确； ③由图得 ， ， ， ； 故③正确； ④由得， ， ， ， ， ； 故④正确； 故选：D． 8．（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A．4 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】先分别计算a-b，a-c，b-c，再将多项式根据完全平方公式分解因式后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1， ∴ = = = =1+4+1 =6， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，正确掌握完全平方公式分解因式的方法是解题的关键． 9．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 11．（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式及代数式求值是解题的关键． （）结合图形表示出梯形和三角形的面积，再相加即可； （）将化成，代入计算即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积 ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 12．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶ (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积． (2)当，时，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，由，即可求解； （2）将，代入计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得： 长方形的长为： ， 长方形的宽为： ， 大正方形的长为：， ； （2）解： ，， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ； （2）配方： ； 【知识运用】： （3）已知，求m，n的值． 【答案】（1）；（2）10；（3）， 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． （1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解值即可． 【详解】解：（1）多项式是一个完全平方公式， ， ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， ，， ∴，． 14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 【答案】(1)；（2）画图见解析，；（3）266． 【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可； (2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果； (3)根据题意列出方程，求出即可． 【详解】解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．根据1可以得到，，之间的等量关系式：_____________________________；根据图2可以得到，之间的等量关系式：__________________________________． 【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若，则_________，_________． 【知识迁移】如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】【知识生成】， 【知识应用】20，4 【知识迁移】15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 知识生成：根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 知识应用：根据代入计算即可； 知识迁移：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到， 根据代入计算即可． 【详解】【知识生成】解：图1，从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴有， 故答案为：；； 【知识应用】解：∵， 则， ， 故答案为：20，4； 【知识迁移】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∴ ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $