专题09因式分解寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题09因式分解寒假预习讲义 预习重难点 一、 预习重点 1.分清因式分解与整式乘法（互逆运算，看结果是否为“整式乘积”）。 2会找公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂），提公因式不漏项。 3.记熟两个公式及适用条件： 平方差：两项、平方形式、符号相反： 完全平方：三项、平方项同号、中间项是2倍乘积。 4遵循“一提、二套、三查”的步骤。 二、预习难点 1.提取带负号的公因式（注意符号变化）。 2.把非标准形式（如4xy2)转化为公式适用的形式。 3分解到不能再分（避免漏分解一步）。 4.切换逆向思维（从整式乘法反过来想因式分解）。 预习内容概览 必备知识 1.因式分解的概念 2因式分解的基本方法 点梳理 3.因式分解的一般步骤 4.常见易错点总结 常考题型 1.判断是否为因式分解 2.已知因式分解的结果求参数 精讲精炼 3.确定多项式的公因式 4.用提公因式法分解因式 5添括号法则的应用 6判定能否用公式法分解因式 7用平方差公式分解因式 8.用完全平方公式分解因式 9.综合运用公式法分解因式 10综合提公因式和公式法分解因式 强化巩固 题型通关 (14题) 3 知识点梳理 【知识点01.因式分解的概念】 试卷第1页，共3页 1定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 2核心关系： 因式分解与整式乘法是互逆运算。 示例：x2-4=(x+2)x-2)是因式分解；(x+2)x-2)=x2-4是整式乘法。 3.三个关键要求 分解对象：必须是多项式，单项式不能进行因式分解。 结果形式：必须是整式乘积的形式，不能含有加减运算。 分解标准：分解要彻底，每个因式在有理数范围内不能再分解。 【知识点02.因式分解的基本方法】 本章节重点学习两种方法，遵循“先提公因式，后用公式”的顺序。 1.提公因式法（最基础、优先使用) 公因式的确定方法 系数：取各项系数的最大公约数： 字母：取各项都含有的相同字母。 指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式6xy-9xy2+3xy的公因式是3xy。 运算法则：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意事项：提完公因式后，括号内的项数与原多项式项数一致，不能漏项（尤 其注意常数项1，如3x-3=3(x-1),而非3x)。 2.公式法 本章节涉及两个核心公式，公式中的字母a、b可以代表数、单项式或多项 式。 ●平方差公式：表达式为a2-b-(a+b)(a-b). 适用条件是多项式为两项式，且这两项都能写成平方的形式，符号相反。 ·完全平方公式：包括和的完全平方与差的完全平方，分别是 a2+2ab+b2=(a+b)2和a2-2ab+b2-(a-b)2。 适用条件是多项式为三项式，其中两项是平方项且符号相同，第三项是这两项 底数乘积的2倍或-2倍。。 试卷第2页，共3页 【知识点03.因式分解的一般步骤】 一提：观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式。 二套：提取公因式后，观察剩余多项式的结构，判断能否套用平方差公式或完 全平方公式。 三查：检查分解是否彻底，结果是否为整式的积的形式，有无漏项。 【知识点04.常见易错点总结】 1.提公因式时漏项，尤其是忽略括号内的常数项1。 2.混淆平方差公式和完全平方公式的结构特征，如错把a2-2ab+b2分解为(a-b) (a+b)。 3.分解不彻底，未对提取公因式后的多项式继续分解，如x3-x=x(x2-1)未继续 分解为x(x+1)x-1): 4.套用公式时，未正确识别公式中的“a”和“b”,尤其是当“a”和 “b”是多项式时 常考题型精讲精练 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列由左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是() A.a(x-y)=ax-ay B. x2+2x+3=xx+2)+3 ，1 2x+1=x2+- D.x2-1=(x-1(x+1 跟踪专练1】有下列变形：0x-川x+2列=+x-2,②-7x+6=-1川x-6:③ x2-2x-10=x(x-2)-10 其中是整式乘法的有，是因式分解的有一 【跟踪专练2】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是() 甲： 4x3x2+y=4x3+4x3y 试卷第3页，共3页 4x2-8x+4=4xx-2)+4 乙： A.甲是整式的乘法，乙是因式分解 B.甲是因式分解，乙是整式的乘法 C.甲、乙均为因式分解 D.甲、乙均不是因式分解 【题型2.己知因式分解的结果求参数】 【典例】若多项式-2x+2k因式分解后的结果是x+2(x+ ,则k的值是() A.3 B.-3 C.-2 D.-4 【跟踪专练1】已知整式术-+可以因式分解为x+m(x-5 ,则m的值为 【跟踪专练2】因式分解r+a+力时，甲看错了“的值，分解的结果是x+6(x-),乙 看错了6的值，分解的结果是x-2(x+ ,那么x+ar+b因式分解的正确结果为（） A.(x+2x-3)B.(x-2+1 C.(x+6)(x-1) D.(r-2(x-1 【题型3.确定多项式的公因式】 【典例】把多项式6a3b2-3ab2-12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（) A.3a% B.3ab2 ℃.3a6 D.3a62 【跟踪专练1】多项式l2ab-8ahc 用提公因式法分解因式时提取的公因式是 【跟踪专练2)-2)+(-2 所得的结果是（) A.-210 B.2100 C.-2 D.-1 【题型4.用提公因式法分解因式】 【典例】因式分解：x2-x=一 【跟踪专练1】分解因式”)+3-川 的正确结果是() A.y-32+ B.y-3xH州 试卷第4页，共3页 c.y-3x2- D.y-3到x- 【限踪专练2】若安数r满足--1：0，则代数式”-2r+ 的值为一 【题型5.添括号法则的应用】 【典例】不改变多项式a+3a-b+c的值，下列添括号错误的是() A. a+(3a-b+c) B. a2+3a-(b+c C.a-(-3a+b-c) D.a+3a+(-b+c) 【跟朦专练1】已知a-b=2,a-c=1,则2a-b-+c-a-_ 【跟紧专练2】当=2时，代数式r+-5的值为13，则当=-2时，代数式 冬+8的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【题型6.判断能否用公式法分解因式】 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是(). A.-r2+1 B.X2+2 C.x2+2x-1 D.x+4x+2 【跟踪转练1】多项式0。-201国-了：国2+y:@牙-0+1：⑤ a2-4ab+4b2中能用公式法分解因式的有一（填序号）. 【跟踪专练2】下列多项式不能进行因式分解的是（) 1 A.a2+4a+4 B.a2+9 C.a2-a+ 4 D.a2-1 【题型7.用平方公式分解因式】 【典例】因式分解：0-46= 【跟踪专练1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() 试卷第5页，共3页 A.a2+(-b2 B.-x2-y2 C.m2-1 D.x2-2x+1 【眼踪专练2】已知-y=5,则-少-10y的值是一 【题型8.用完全平方公式分解因式】 x2-4x+4 【典例】多项式 因式分解的结果是() A.x-2) B.(x+2)2 C.(x-2(x+2) D.(r+4)2 x-mx+36 m 【跟踪专练1】若多项式 能用完全平方公式进行因式分解，则”的值是一· 【跟踪专练2】将a+(a+2+4因式分解，正确的是（） B.(az) 【题型9.综合运用公式法分解因式】 【典例】如图是小华对“整式的乘法与因式分解”这部分知识的梳理： 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b 相反变形 (a±b)2=a2±2ab+b2 幂的运算性质 特殊形式 ama”=am+n 相反变形 因式分解 (a")"=amn 整式的乘法 提公因式法 (ab)m=ambm 互逆运算 a÷a=am-n 整式的除法 图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是一 【跟踪专综1】将多项式-+6 -y分解因式的结果是( 试卷第6页，共3页 c.〔*y- 。（--+ 【跟踪专练2】已知b-d=4(a-bc-a,且a≠0，则代数式4a-2b-2c的值为一 【题型10.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】因式分解：2n3-18n=. 【跟踪专练1】对于实数a,b,定义新运算“※”，规定：a必b=a3-ab.将多项式 a必9因式分解的结果是() A. aa2-9 B.aa+9(a-9)c.aa-3到 D.a(a+3(a-3) 【跟踪专练2】为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存.例如：将一个多 项式a2b-4b分解因式为b(a+2)(a-2),当a=15,b=12时，b=12,a+2=17, a-2=13,将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317.根据上述方 法，当x=15时，多项式16x3-9x分解因式后形成的加密数据是一 5 强化巩固 1.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.ax-y川=ar-ay B.(x+0(x+3)=x2+4x+3 C.=xx+l)(x-1) D.r+2x+1=xx+2到+1 2.多项式8ryz+12gy2-24r以 的公因式是() A.2 B.-8r C.-4xvz D.-2ry'23 3.下列添括号变形中，正确的是() 2a-3b-c=2a-3b-c B.3a+4h-1=3a+2(2b-1 C.a+2b-3c=a+(2b-3c D.m-nta-b=m-(n+a-b) 4。若多项式-r-1可分解为r-2x-b ,则a+b的值为() 试卷第7页，共3页 A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.如图，边长为”，b的长方形的周长为10，面积为6，则06+b 的值为() 0 A.78 B.30 C.24 D.15 6.若a=2025×2024-b=20252-2025×2024+2024 则a b. (请用“>”“<” 或“=”表示) 7.分解因式：25(x+2-9(x-川2= 8.24-1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是一· 9.已知，h为自然数，且gh,若@+)+6a+ab-b)+6三64，则a,b=一 解答题 10.)计算：（x+x-川+(x-川-r-3y: x2-4xy+4y2-4 (2)因式分解： 11.计算或化简： )a+3)2+(a+1(a-l) 2/2a+b-3(2a-b+3) 12.因式分解： (1)-3a'm+6aim-3am 2a2+4}2-16a2 试卷第8页，共3页 (3)ab-12abe+ab 4P1 13.仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+m,得-4红+m=(+3x+m川，则了-4r+m=+(n+3到x+3n [n+3=-4 n=-7 m=3n解得m=-21. 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答下面问题： 2x2+3x-k (1)已知二次三项式 有一个因式是2x-5 ,求另一个因式以及的值. 2已知多项式+4++m中含有一个因武+x-2,试求m,”的值。 14.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增 加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都 a2+6a+8 有着广泛的应用.例1用配方法因式分解： 原式=a+6a+9-1=a+32-1=(a+3-a+3+)=a+2a+4 例2若M=-2ab+262-2b+2 利用配方法求M的最小值； a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1 :(a-b≥0，b-l≥0，当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35; M=a2-4a+2026 (2)若 ,求M的最小值： 试卷第9页，共3页 a么C是△1BC的三边长，且满足++c=6+8动+10c-50,求△18C的周 (3)已知 长。 试卷第10页，共3页 专题09因式分解寒假预习讲义 一、 预习重点 1.分清因式分解与整式乘法（互逆运算，看结果是否为 “整式乘积”）。 2.会找公因式（系数最大公约数 + 相同字母最低次幂），提公因式不漏项。 3.记熟两个公式及适用条件： 平方差：两项、平方形式、符号相反； 完全平方：三项、平方项同号、中间项是 2 倍乘积。 4.遵循 “一提、二套、三查” 的步骤。 二、 预习难点 1.提取带负号的公因式（注意符号变化）。 2.把非标准形式（如4x2y2）转化为公式适用的形式。 3.分解到不能再分（避免漏分解一步）。 4.切换逆向思维（从整式乘法反过来想因式分解）。 必备知识 点梳理 1.因式分解的概念 2.因式分解的基本方法 3.因式分解的一般步骤 4.常见易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为因式分解 2.已知因式分解的结果求参数 3.确定多项式的公因式 4.用提公因式法分解因式 5.添括号法则的应用 6.判定能否用公式法分解因式 7.用平方差公式分解因式 8.用完全平方公式分解因式 9.综合运用公式法分解因式 10.综合提公因式和公式法分解因式 强化巩固 题型通关 (14题) 【知识点01.因式分解的概念】 1.定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 2.核心关系： 因式分解与整式乘法是互逆运算。 示例：x2−4=(x+2)(x−2) 是因式分解；(x+2)(x−2)=x2−4 是整式乘法。 3.三个关键要求 分解对象：必须是多项式，单项式不能进行因式分解。 结果形式：必须是整式乘积的形式，不能含有加减运算。 分解标准：分解要彻底，每个因式在有理数范围内不能再分解。 【知识点02.因式分解的基本方法】 本章节重点学习两种方法，遵循 “先提公因式，后用公式” 的顺序。 1. 提公因式法（最基础、优先使用） 公因式的确定方法 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项都含有的相同字母。 指数：取相同字母的最低次幂。 示例：多项式 6x2y−9xy2+3xy 的公因式是 3xy。 运算法则：ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意事项：提完公因式后，括号内的项数与原多项式项数一致，不能漏项（尤其注意常数项1，如 3x−3=3(x−1)，而非 3x）。 2. 公式法 本章节涉及两个核心公式，公式中的字母 a、b 可以代表数、单项式或多项式。 · 平方差公式：表达式为a2−b2=(a+b)(a−b)。 适用条件是多项式为两项式，且这两项都能写成平方的形式，符号相反。 · 完全平方公式：包括和的完全平方与差的完全平方，分别是a2+2ab+b2=(a+b)2和a2−2ab+b2=(a−b)2。 适用条件是多项式为三项式，其中两项是平方项且符号相同，第三项是这两项底数乘积的 2 倍或 - 2 倍。。 【知识点03.因式分解的一般步骤】 一提：观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式。 二套：提取公因式后，观察剩余多项式的结构，判断能否套用平方差公式或完全平方公式。 三查：检查分解是否彻底，结果是否为整式的积的形式，有无漏项。 【知识点04.常见易错点总结】 1.提公因式时漏项，尤其是忽略括号内的常数项1。 2.混淆平方差公式和完全平方公式的结构特征，如错把 a2−2ab+b2 分解为 (a−b)(a+b)。 3.分解不彻底，未对提取公因式后的多项式继续分解，如 x3−x=x(x2−1) 未继续分解为 x(x+1)(x−1)。 4.套用公式时，未正确识别公式中的 “a ”和 “b”，尤其是当“a ”和 “b”是多项式时 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列由左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，等号右边含有分式，不是整式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号左边是多项式，等号右边是整式的积，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【跟踪专练2】下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 【跟踪专练1】已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 【跟踪专练2】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【题型3.确定多项式的公因式】 【典例】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 【跟踪专练1】多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式．本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定，涉及的知识点是公因式的定义（系数最大公约数+相同字母最低次幂）．解题中用到的方法是分步确定法，分系数、字母两部分确定公因式．解题关键是准确找到系数的最大公约数和相同字母的最低次幂．易错点是遗漏系数的最大公约数，或误取非共同字母（如本题中的）． 【详解】系数的最大公约数：多项式系数是和，它们的最大公约数是； 相同字母的最低次幂：多项式中相同字母是和，的最低次幂是，的最低次幂是； 只取共同含有的字母：多项式中仅在第二项出现，不纳入公因式． 因此，提取的公因式是． 故答案为． 【跟踪专练2】所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【详解】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 【题型4.用提公因式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解题的关键．观察多项式，提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【跟踪专练2】若实数x满足，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 【题型5.添括号法则的应用】 【典例】不改变多项式的值，下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减计算，熟练掌握添括号和去括号是解题的关键． 依次验证每个选项的添括号是否保持原多项式值不变即可． 【详解】解：选项A：，故A选项变形正确，不符合题意； 选项B：，故B选项变形错误，符合题意； 选项C：，故C选项变形正确，不符合题意； 选项D：，故D选项变形正确，不符合题意； 故选B． 【跟踪专练1】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可． 【详解】解：由，，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．将代入得到，整理得到，然后将代入变形得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵当时代数式的值为13， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ． 故选：A． 【题型6.判断能否用公式法分解因式】 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有 （填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 【跟踪专练2】下列多项式不能进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答． 【详解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合题意； 无法因式分解，故B符合题意； 利用完全平方公式，可得，故C不符合题意； 利用平方差公式，可得，故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键． 【题型7.用平方公式分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A．，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C．，符合平方差公式，故本选项符合题意； D．，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式，利用平方差公式分解，推出，则所求式子可变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 【题型8.用完全平方公式分解因式】 【典例】多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：该多项式为二次三项式，符合完全平方公式的结构，可直接应用公式因式分解． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式能用完全平方公式分解，设多项式可分解为，则，那么，解得，然后分两种情况，求出的值即可． 【详解】解：设多项式可分解为， 那么， 则，解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【题型9.综合运用公式法分解因式】 【典例】如图是小华对“整式的乘法与因式分解”这部分知识的梳理：    图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． 【答案】公式法 【分析】本题考查整式的乘法与因式分解的关系，整式乘法与除法的关系，因式分解的方法．解题的关键是掌握因式分解的一般方法（提公因式法、公式法），据此解答即可． 【详解】解：根据本章所学知识，空白处应填的内容是公式法． 故答案为：公式法． 【跟踪专练1】将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 【题型10.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选D． 【跟踪专练2】为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 ． 【答案】155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项B：，是从积到多项式的变形，属于整式乘法； 选项C：，将多项式化为整式的积，符合因式分解定义； 选项D：，右边不是积的形式． 故选：C． 2．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 3．下列添括号变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号，根据添括号规则：括号前是“”号，括号内各项符号不变；括号前是“”号，括号内各项符号改变，逐一验证各选项即可，掌握添括号规则是解题的关键． 【详解】解：、等式右边，与左边不相等，故该选项错误，不符合题意； 、等式右边，与左边为不相等，故该选项错误，不符合题意； 、等式右边，与左边相等，故该选项正确，符合题意； 、等式右边，与左边为不相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 4．若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 5．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 6．若 ，则 （请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 7．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解；根据平方差公式法分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 【答案】65，63 【分析】利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ∴这两个数为65，63． 故答案为：65，63． 9．已知，为自然数，且，若，则 ， ． 【答案】 8 2 【分析】化简原式可得：，设，则，再根据可求，． 【详解】， ， ， ． 设，则， ，为自然数， ，， ，或 ，， 不合题意，舍去或，， ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键． 解答题 10．（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式． （1）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）添括号后运用平方差公式，完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握，的结构特征是正确应用的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式因式分解； （3）提公因式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 13．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 14．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值； ； 当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求M的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)2022 (3)12 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为2022； （3）解：∵， ∴， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $