专题02 函数（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题02 函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量辨析 题型02 函数的概念辨析 题型03 函数表示方法 题型04 自变量取值范围 题型05 求函数的值 题型06 函数图像的画法和解读 题型07 函数的实际应用 题型08 函数多解与分类讨论 题型09 函数图像与实际场景 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 核心考点 复习目标 考情规律 1. 变量与常量的识别 能结合具体实例，准确区分问题中的变量与常量，明确自变量与因变量的对应关系 基础概念考点，常以选择题、填空题形式出现，命题常结合实际情境（如行程、几何变化问题）考查，易错点为忽略 “常量是固定不变的量，变量是可变化的量” 的本质区别 2. 函数的概念辨析 能根据函数的定义，判断两个变量之间的关系是否为函数关系，明确函数的三要素（自变量、因变量、对应关系） 高频易错考点，多以选择题形式考查，命题常通过 “多对一”“一对多” 的关系辨析考查概念，易错点为混淆 “函数关系” 与 “非函数关系”，忽略自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值 3. 自变量的取值范围确定 能根据函数表达式的类型（整式、分式、二次根式、实际情境），准确求出自变量的取值范围 期中必考基础题型，以填空题为主，命题常结合分式分母不为 0、二次根式被开方数非负、实际情境中量的实际意义（如长度非负）综合考查，易错点为遗漏实际情境的限制条件 4. 函数值的求解 能根据自变量的取值，代入函数表达式准确求出对应的函数值；能根据函数值反求自变量的值 基础计算考点，常以填空题、简单解答题形式出现，命题多为直接代入求值，或结合方程求解自变量，易错点为代入计算时符号错误、运算失误 5. 函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法） 能根据具体情境，选择合适的方法表示函数关系；能读懂函数的图象、表格，从中提取自变量与因变量的对应信息 期中核心考点，多以选择题、解答题形式考查，命题常结合实际情境（如行程、温度变化、水量变化）考查图象的解读与绘制，易错点为混淆图象的横纵轴含义、误读图象的变化趋势 6. 函数图象的识别与解读 能结合实际问题，判断对应的函数图象；能从函数图象中读取关键点（起点、终点、转折点）的实际意义 期中高频考点，常以选择题、解答题形式出现，命题多为 “情境 - 图象” 的匹配题，易错点为忽略图象的分段变化、转折点的实际含义（如行程问题中的停留、变速） 知识点01 变量与常量 核心内容 1. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如圆周率π、固定的速度、固定的单价等）。 2. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，分为自变量和因变量。 3. 自变量与因变量：在变化过程中，主动变化的量叫做自变量；随着自变量的变化而被动变化的量叫做因变量（如路程随时间变化，时间是自变量，路程是因变量）。 4. 核心关系：因变量的取值由自变量的取值确定，一个自变量（在取值范围内）对应唯一的因变量值。 示例 判断下列变化过程中的常量与变量、自变量与因变量：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系。 解：常量：60（速度）；变量：s（路程）、t（时间）；自变量：t（行驶时间，主动变化）；因变量：s（路程，随时间变化而变化）。 易错点 1.混淆常量与变量，误将“数值不变的量”当作变量（如把π当作变量），或把“变化的量”当作常量。 2.分不清自变量与因变量，误将因变量当作自变量（如认为“路程变化导致时间变化”，颠倒两者关系）。 3.忽略“自变量有取值范围”，认为自变量可以取任意数值（如时间t不能为负数）。 知识点02 函数的概念 核心内容 1. 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 2. 函数的本质：“唯一对应”，即一个自变量值对应唯一一个因变量值，多个自变量值可以对应同一个因变量值，但一个因变量值不能对应多个自变量值。 3. 函数的表示：常用三种表示方法——解析法（关系式）、列表法、图像法。 4. 函数的判断：判断两个变量是否为函数关系，关键看“一个x是否对应唯一的y”。 示例 1. 判断：中，y是x的函数吗？解：是，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应。 2. 判断：中，y是x的函数吗？解：不是，当时，或，一个x对应两个y，不满足“唯一对应”。 易错点 忽略函数的“唯一对应”特征，误将“一个x对应多个y”的关系当作函数（如、）。 混淆“自变量”与“函数”的名称，误说“x是y的函数”（正确表述为“y是x的函数”）。 认为“多个x不能对应同一个y”，忽略函数允许“多对一”，只禁止“一对多”。 知识点03 函数的三种表示方法 表示方法 核心定义 优点与注意事项 解析法 用数学关系式表示两个变量之间的函数关系（如、） 优点：简洁明了，可计算任意自变量对应的函数值； 注意：标注自变量取值范围。 列表法 将自变量x的取值和对应的函数值y列成表格，直观呈现两者对应关系。 优点：直观易懂，可快速查找对应值； 注意：只能呈现有限个自变量的对应值。 图像法 在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数值y为纵坐标，描点、连线，得到函数的图像。 优点：直观反映函数变化趋势； 注意：描点要准确，连线要平滑（符合函数变化规律）。 示例 用三种方法表示函数（x为）： 1. 解析法：（）； 2. 列表法： x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出点，再用直线连接这四个点。 易错点 用解析法表示函数时，遗漏自变量取值范围，导致函数关系不完整（如，未标注）。 列表法中，自变量与函数值对应错误，或遗漏部分取值，导致对应关系混乱。 图像法中，描点坐标错误，或连线时不符合函数变化规律（如线性关系画成折线）。 混淆三种表示方法的适用场景，如用列表法表示无限个自变量的函数关系。 知识点04 自变量的取值范围 核心内容 自变量的取值范围：使函数关系式有意义，且符合实际意义的自变量的所有取值，分为两种情况： 1.代数式有意义（纯数学角度）： ① 整式函数（如、）：自变量可取全体实数； ② 分式函数（如，k为常数）：自变量不能使分母为0，即； ③ 二次根式函数（如）：自变量不能使被开方数为负数，即。 2.符合实际意义（结合实际场景）：自变量的取值需符合生活、生产实际（如时间、人数为正整数、路程）。 示例 1. 求函数的自变量取值范围：整式函数，自变量x可取全体实数。 2. 求函数的自变量取值范围：分式函数，分母，解得。 3. 求函数的自变量取值范围：二次根式函数，被开方数，解得。 4. 若函数（t表示行驶时间，y表示路程），则自变量t的取值范围是。 易错点 1.忽略分式分母不能为0、二次根式被开方数非负的要求，误求自变量取值范围。 2.只考虑代数式有意义，忽略实际意义。 3.解不等式时计算错误，导致自变量取值范围出错。 知识点05 函数值 核心内容 1. 函数值定义：对于函数y是x的函数，当x取某一个确定的值时，对应的y的值叫做当时的函数值（如，时，函数值为）。 2. 计算方法：将自变量的具体值代入函数关系式，按照代数式运算规则计算，即可得到对应函数值。 3. 逆向计算：已知函数值，求对应的自变量值，需解关于自变量的方程（注意结合自变量取值范围取舍）。 示例 1. 已知函数，求时的函数值：代入，得。 2. 已知函数，当时，求x的值：由，解得（结合自变量取值范围，符合要求，即为所求）。 易错点 代入自变量值时，符号错误（如代入，误算为，正确为）。 计算代数式时，运算顺序错误（如先算乘法再算加减，误为先算加减再算乘法）。 已知函数值求自变量时，忽略自变量取值范围，保留不合理解。 混淆“自变量值”与“函数值”，将函数值当作自变量代入计算。 知识点06 函数图像的画法与解读 核心内容 1. 函数图像的画法（三步法）： ① 列表：在自变量取值范围内，选取若干个有代表性的自变量值，计算出对应的函数值，列成表格； ② 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，对应函数值y为纵坐标，准确描出每个点； ③ 连线：根据函数变化规律，将描出的点用平滑的线连接起来（线性关系连直线，其他关系按趋势连线）。 2. 函数图像的解读： ① 读点：图像上任意一点的坐标，表示“当自变量为x时，对应的函数值为”； ② 读变化趋势：观察图像的上升、下降，判断y随x的变化情况（如x增大，y增大；x增大，y减小）； ③ 读特殊点：与x轴交点（时的自变量值）、与y轴交点（时的函数值）。 示例 画出函数的图像，并解读： 1. 列表：对应； 2. 描点：； 3. 连线：用直线连接上述点，起点为，向右上方延伸。 解读：① 点表示时，； ② 图像从左到右上升，说明y随x的增大而增大； ③ 与x轴交点为，与y轴交点为。 易错点 描点时坐标错误，导致图像偏离正确位置。 连线时不平滑，或超出自变量取值范围连线（如，误将线连到处）。 解读图像时，混淆“横坐标”与“纵坐标”，误将y值当作x值解读。 无法根据图像判断y随x的变化趋势，或误判变化方向（如上升误判为下降）。 知识点07 函数的实际应用 核心内容 1. 应用步骤： ① 审题：找出题目中的变量，确定自变量与因变量； ② 设函数：根据变量关系设出函数关系式（可采用解析法、列表法），明确自变量与因变量的意义； ③ 确定关系：根据题目给出的两组对应值，确定函数关系式的具体形式； ④ 应用：根据函数关系式，解决求函数值、求自变量值、判断变化趋势等问题，结合实际意义取舍答案。 2. 常见应用场景：行程问题、计费问题、利润问题、产量问题等（均需结合实际意义确定自变量取值范围）。 示例 某商店出售笔记本，每个笔记本进价2元，售价x元，卖出y个，且y与x的关系为线性关系，当时，；当时，。求y与x的函数关系式，并求当售价为5元时，卖出的笔记本数量。 解：① 设y与x的函数关系式为；② 代入(3,100)、(4,80)，得方程组：，；③ 解得，，函数关系式为（）；④ 当时，，即卖出60个。 易错点 设函数关系式时，混淆自变量与因变量（如行程问题中，误将路程设为自变量，时间设为因变量）。 列方程组求解参数时，计算错误，导致函数关系式错误。 解决实际问题时，忽略自变量取值范围，得出不符合实际的答案（如售价为负数、卖出数量为小数）。 无法根据实际场景提炼函数关系，找不到对应的自变量与因变量。 题型一 变量与常量辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：明确常量“数值不变”、变量“数值变化”的核心特征； 第二步：区分自变量（主动变化）与因变量（被动变化）； 第三步：对照题干描述，排除错误判断，锁定正确答案 易｜错｜点｜拨 1.不将固定不变的量（如π、固定单价）当作变量； 2. 不颠倒自变量与因变量的关系； 3. 牢记自变量有取值范围，不能取任意数值 【典例1】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是淇淇到在超市购买矿泉水时收银机打印的购物小票部分内容，在商品名称、数量、单价、金额的关系中，常量是（    ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（ ） A．的度数 B．的面积 C．的长度 D．的长度 【变式2】（2025八年级下·河北·专题练习）水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 题型二 函数概念辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：紧扣“一个自变量对应唯一因变量”的核心； 第二步：分析题干中两个变量的对应关系，判断是否存在“一个x对应多个y”的情况； 第三步：排除错误表述，锁定正确答案。 易｜错｜点｜拨 1.不将“一个x对应多个y”的关系当作函数； 2.不混淆“自变量”与“函数”的名称； 3.明确函数允许“多对一”，禁止“一对多” 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·月考）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列四个选项中，说法不正确的是（   ） A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量 B．在圆的周长公式中，2是常量，，，均为变量 C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 D．一种金属，其质量是体积的函数 【变式2】（24-25八年级下·河北承德·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 题型三 函数表示方法 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记三种表示方法的核心定义和优缺点； 第二步：对照题干描述，判断表示方法的应用是否符合适用场景； 第三步：排除错误表述，锁定正确答案 易｜错｜点｜拨 1.不遗漏解析法中的自变量取值范围； 2. 不混用三种表示方法的适用场景； 3. 不出现列表法对应错误、图像法描点错误的问题 【典例1】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（20-21八年级下·河北唐山·期中）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 题型四 自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 第一步：判断函数类型（整式、分式、二次根式），结合代数式有意义的要求列条件； 第二步：结合实际场景（若有）补充取值限制； 第三步：解不等式（组），确定自变量取值范围。 易｜错｜点｜拨 1.不忽略分式分母不为0、二次根式被开方数非负的要求； 2.不忽略实际场景对自变量的限制； 3. 解不等式时不出现计算错误。 【典例1】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式1】已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． (1)在①～④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是______（填序号）； (2)去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 题型五 求函数的值 解｜题｜技｜巧 第一步：求函数值时，将自变量值代入函数关系式，按运算规则计算； 第二步：求自变量值时，列方程求解，结合自变量取值范围剔除不合理解； 第三步：规范书写答案。 易｜错｜点｜拨 1. 代入自变量值时不出现符号错误； 2. 计算代数式时不出现运算顺序错误； 3. 已知函数值求自变量时，不忽略取值范围。 【典例1】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级下·河北邯郸·期中）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当时，，那么当时，这种正方形合金板材的成本是（    ） A．36元 B．72元 C．108元 D．144元 【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·月考）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ） A．−3 B．−2 C．0 D．2 题型六 函数图像的画法与解读 解｜题｜技｜巧 第一步：画图像时，按“列表→描点→连线”三步进行，确保描点准确、连线平滑； 第二步：解读图像时，先读点、再读变化趋势、最后读特殊点； 第三步：对照函数关系式，判断图像是否符合要求 易｜错｜点｜拨 1.描点时不出现坐标颠倒的错误； 2.连线时不超出自变量取值范围，不画成折线（非线性关系除外）； 3. 解读图像时不混淆横、纵坐标 【典例1】（23-24八年级下·河北雄安·期末）已知一次函数． (1)补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)求时的取值范围． 【变式1】学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数C：的图象情况．他通过列表得到如下几组数据： x … 0 2 4 … y … a 3 1 b …    (1)表格中a＝ ，b＝ ． (2)结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数C的图象，并写出该函数的最小值． (3)若一次函数与函数C的图象有2个交点，请求出m的取值范围． 【变式2】数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 题型七 函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 第一步：审题，确定自变量与因变量； 第二步：设函数关系式，根据题干条件求参数； 第三步：结合自变量取值范围，解决题干问题； 第四步：规范书写解题步骤 易｜错｜点｜拨 1.不混淆自变量与因变量； 2.求参数时不出现计算错误； 3. 不忽略实际意义对自变量的限制，不出现不符合实际的答案。 【典例1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在“探究物体浮力与浸入深度的关系”实验中，小刚用弹簧测力计悬挂一个圆柱体缓慢浸入盛水的容器中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小刚将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 2 4 6 弹簧测力计示数 20 17 14 11 (1)观察表中数据，推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是___________函数关系；（填“正比例”或“一次”） (2)根据上述推测，求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式； (3)当弹簧测力计示数时，求圆柱体浸入水中的深度． 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）明明的家与超市、学校依次在同一直线上．明明骑自行车从学校放学回到家后，发现忘了买水笔．他立刻走出家门步行到超市，选购了一会儿后快速回到家．下面的图像反映了明明从学校出发后离家的距离y（单位：）与他离开学校的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题： (1)填空： ①明明家与学校的距离是______，他放学用了______骑车到家； ②明明在超市停留的时间是______；B点坐标的实际意义是______； ③明明从学校骑车回家的速度是______，从家步行到超市的速度是______； (2)当时，求出y与x的函数关系式． 题型八 函数多解与分类讨论 解｜题｜技｜巧 第一步：识别多解信号（绝对值、无明确取值范围）； 第二步：分情况罗列所有可能的自变量取值； 第三步：代入函数关系式验证，剔除不合理解；第四步：汇总有效解，规范书写。 易｜错｜点｜拨 1. 树立分类讨论意识，不遗漏可能的取值情况； 2. 验证环节不可少，剔除矛盾解； 3. 结合自变量取值范围，不保留不合理解。 【典例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【变式1】1号、2号两个热气球分别从地面和距离地面40米处同时匀速上升，先后到达距地面米的高度，并停留此高度观光．设经过（分钟）时，1号、2号两个热气球与地面的距离分别为，（米），其函数图象如图所示． (1)求1号热气球上升过程中关于的函数表达式，并求出的值． (2)1号热气球在上升过程中，求两热气球与地面距离相等时的高度． (3)2号热气球在上升过程中，经多少分钟它们的高度相差20米？ 【变式2】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 题型九 函数图像与实际场景 解｜题｜技｜巧 第一步：分析实际场景中自变量与因变量的变化关系（递增、递减、不变）；第二步：对照选项中的图像，判断图像的变化趋势是否与实际场景一致；第三步：验证图像的特殊点（如起点、终点）是否符合实际意义，锁定正确答案。 易｜错｜点｜拨 1.不误解实际场景的变化趋势（如“匀速行驶”对应线性图像，误选非线性图像）； 2.不忽略实际场景的起点、终点，误选不符合的图像； 3. 解读图像时，不混淆横、纵坐标对应的实际意义 【典例1】回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． ． 【变式1】向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 2.如图，与的关系式为（　　）    A． B． C． D． 3.下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A．   B．   C．   D．   4.已知，，，四点，若其中两点不可能在同一个函数图象上，这两点是（   ） A．点P和点Q B．点Q和点N C．点P和点N D．点M和点N 5.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.下列关系式中y不是x的函数是（      ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级下·河北廊坊·月考）《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下： 甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距； 乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇； 丙：嘉嘉的速度比淇淇慢． 下列判断正确的是（   ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 4.如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　） A．3 B． C． D．4.5 5.（21-22八年级下·河北石家庄·期末）请你用学习“函数”时积累的经验的方法研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)完成下列步骤，画出函数的图象； ①把表格填完整： ②在坐标系中描点并连线． (2)观察图象，当时，随的增大而______填“增大”或“减小”； (3)根据图象，请直接写出不等式的解集． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 2.如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（    ）． A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 3.如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是； ②AD的长度为3cm； ③a的值为7； ④当时，t的值为或9．    A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4.周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆． 两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙． 甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变． 设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示； 甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示． (1)学校与图书馆之间的路程为 米， ； (2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长； (3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象． 5.（22-23八年级下·河北沧州·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：    (1)长为多少cm？ (2)图乙中a为多少？ (3)由需__________s，__________； (4)图甲的面积为多少？ (5)图乙中b为多少s？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 变量与常量辨析 题型02 函数的概念辨析 题型03 函数表示方法 题型04 自变量取值范围 题型05 求函数的值 题型06 函数图像的画法和解读 题型07 函数的实际应用 题型08 函数多解与分类讨论 题型09 函数图像与实际场景 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 核心考点 复习目标 考情规律 1. 变量与常量的识别 能结合具体实例，准确区分问题中的变量与常量，明确自变量与因变量的对应关系 基础概念考点，常以选择题、填空题形式出现，命题常结合实际情境（如行程、几何变化问题）考查，易错点为忽略 “常量是固定不变的量，变量是可变化的量” 的本质区别 2. 函数的概念辨析 能根据函数的定义，判断两个变量之间的关系是否为函数关系，明确函数的三要素（自变量、因变量、对应关系） 高频易错考点，多以选择题形式考查，命题常通过 “多对一”“一对多” 的关系辨析考查概念，易错点为混淆 “函数关系” 与 “非函数关系”，忽略自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值 3. 自变量的取值范围确定 能根据函数表达式的类型（整式、分式、二次根式、实际情境），准确求出自变量的取值范围 期中必考基础题型，以填空题为主，命题常结合分式分母不为 0、二次根式被开方数非负、实际情境中量的实际意义（如长度非负）综合考查，易错点为遗漏实际情境的限制条件 4. 函数值的求解 能根据自变量的取值，代入函数表达式准确求出对应的函数值；能根据函数值反求自变量的值 基础计算考点，常以填空题、简单解答题形式出现，命题多为直接代入求值，或结合方程求解自变量，易错点为代入计算时符号错误、运算失误 5. 函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法） 能根据具体情境，选择合适的方法表示函数关系；能读懂函数的图象、表格，从中提取自变量与因变量的对应信息 期中核心考点，多以选择题、解答题形式考查，命题常结合实际情境（如行程、温度变化、水量变化）考查图象的解读与绘制，易错点为混淆图象的横纵轴含义、误读图象的变化趋势 6. 函数图象的识别与解读 能结合实际问题，判断对应的函数图象；能从函数图象中读取关键点（起点、终点、转折点）的实际意义 期中高频考点，常以选择题、解答题形式出现，命题多为 “情境 - 图象” 的匹配题，易错点为忽略图象的分段变化、转折点的实际含义（如行程问题中的停留、变速） 知识点01 变量与常量 核心内容 1. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如圆周率π、固定的速度、固定的单价等）。 2. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，分为自变量和因变量。 3. 自变量与因变量：在变化过程中，主动变化的量叫做自变量；随着自变量的变化而被动变化的量叫做因变量（如路程随时间变化，时间是自变量，路程是因变量）。 4. 核心关系：因变量的取值由自变量的取值确定，一个自变量（在取值范围内）对应唯一的因变量值。 示例 判断下列变化过程中的常量与变量、自变量与因变量：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）之间的关系。 解：常量：60（速度）；变量：s（路程）、t（时间）；自变量：t（行驶时间，主动变化）；因变量：s（路程，随时间变化而变化）。 易错点 1.混淆常量与变量，误将“数值不变的量”当作变量（如把π当作变量），或把“变化的量”当作常量。 2.分不清自变量与因变量，误将因变量当作自变量（如认为“路程变化导致时间变化”，颠倒两者关系）。 3.忽略“自变量有取值范围”，认为自变量可以取任意数值（如时间t不能为负数）。 知识点02 函数的概念 核心内容 1. 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 2. 函数的本质：“唯一对应”，即一个自变量值对应唯一一个因变量值，多个自变量值可以对应同一个因变量值，但一个因变量值不能对应多个自变量值。 3. 函数的表示：常用三种表示方法——解析法（关系式）、列表法、图像法。 4. 函数的判断：判断两个变量是否为函数关系，关键看“一个x是否对应唯一的y”。 示例 1. 判断：中，y是x的函数吗？解：是，对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应。 2. 判断：中，y是x的函数吗？解：不是，当时，或，一个x对应两个y，不满足“唯一对应”。 易错点 忽略函数的“唯一对应”特征，误将“一个x对应多个y”的关系当作函数（如、）。 混淆“自变量”与“函数”的名称，误说“x是y的函数”（正确表述为“y是x的函数”）。 认为“多个x不能对应同一个y”，忽略函数允许“多对一”，只禁止“一对多”。 知识点03 函数的三种表示方法 表示方法 核心定义 优点与注意事项 解析法 用数学关系式表示两个变量之间的函数关系（如、） 优点：简洁明了，可计算任意自变量对应的函数值； 注意：标注自变量取值范围。 列表法 将自变量x的取值和对应的函数值y列成表格，直观呈现两者的对应关系。 优点：直观易懂，可快速查找对应值； 注意：只能呈现有限个自变量的对应值。 图像法 在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数值y为纵坐标，描点、连线，得到函数的图像。 优点：直观反映函数变化趋势； 注意：描点要准确，连线要平滑（符合函数变化规律）。 示例 用三种方法表示函数（x为）： 1. 解析法：（）； 2. 列表法： x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 3. 图像法：在平面直角坐标系中，描出点，再用直线连接这四个点。 易错点 用解析法表示函数时，遗漏自变量取值范围，导致函数关系不完整（如，未标注）。 列表法中，自变量与函数值对应错误，或遗漏部分取值，导致对应关系混乱。 图像法中，描点坐标错误，或连线时不符合函数变化规律（如线性关系画成折线）。 混淆三种表示方法的适用场景，如用列表法表示无限个自变量的函数关系。 知识点04 自变量的取值范围 核心内容 自变量的取值范围：使函数关系式有意义，且符合实际意义的自变量的所有取值，分为两种情况： 1.代数式有意义（纯数学角度）： ① 整式函数（如、）：自变量可取全体实数； ② 分式函数（如，k为常数）：自变量不能使分母为0，即； ③ 二次根式函数（如）：自变量不能使被开方数为负数，即。 2.符合实际意义（结合实际场景）：自变量的取值需符合生活、生产实际（如时间、人数为正整数、路程）。 示例 1. 求函数的自变量取值范围：整式函数，自变量x可取全体实数。 2. 求函数的自变量取值范围：分式函数，分母，解得。 3. 求函数的自变量取值范围：二次根式函数，被开方数，解得。 4. 若函数（t表示行驶时间，y表示路程），则自变量t的取值范围是。 易错点 1.忽略分式分母不能为0、二次根式被开方数非负的要求，误求自变量取值范围。 2.只考虑代数式有意义，忽略实际意义。 3.解不等式时计算错误，导致自变量取值范围出错。 知识点05 函数值 核心内容 1. 函数值定义：对于函数y是x的函数，当x取某一个确定的值时，对应的y的值叫做当时的函数值（如，时，函数值为）。 2. 计算方法：将自变量的具体值代入函数关系式，按照代数式运算规则计算，即可得到对应函数值。 3. 逆向计算：已知函数值，求对应的自变量值，需解关于自变量的方程（注意结合自变量取值范围取舍）。 示例 1. 已知函数，求时的函数值：代入，得。 2. 已知函数，当时，求x的值：由，解得（结合自变量取值范围，符合要求，即为所求）。 易错点 代入自变量值时，符号错误（如代入，误算为，正确为）。 计算代数式时，运算顺序错误（如先算乘法再算加减，误为先算加减再算乘法）。 已知函数值求自变量时，忽略自变量取值范围，保留不合理解。 混淆“自变量值”与“函数值”，将函数值当作自变量代入计算。 知识点06 函数图像的画法与解读 核心内容 1. 函数图像的画法（三步法）： ① 列表：在自变量取值范围内，选取若干个有代表性的自变量值，计算出对应的函数值，列成表格； ② 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，对应函数值y为纵坐标，准确描出每个点； ③ 连线：根据函数变化规律，将描出的点用平滑的线连接起来（线性关系连直线，其他关系按趋势连线）。 2. 函数图像的解读： ① 读点：图像上任意一点的坐标，表示“当自变量为x时，对应的函数值为”； ② 读变化趋势：观察图像的上升、下降，判断y随x的变化情况（如x增大，y增大；x增大，y减小）； ③ 读特殊点：与x轴交点（时的自变量值）、与y轴交点（时的函数值）。 示例 画出函数的图像，并解读： 1. 列表：对应； 2. 描点：； 3. 连线：用直线连接上述点，起点为，向右上方延伸。 解读：① 点表示时，； ② 图像从左到右上升，说明y随x的增大而增大； ③ 与x轴交点为，与y轴交点为。 易错点 描点时坐标错误，导致图像偏离正确位置。 连线时不平滑，或超出自变量取值范围连线（如，误将线连到处）。 解读图像时，混淆“横坐标”与“纵坐标”，误将y值当作x值解读。 无法根据图像判断y随x的变化趋势，或误判变化方向（如上升误判为下降）。 知识点07 函数的实际应用 核心内容 1. 应用步骤： ① 审题：找出题目中的变量，确定自变量与因变量； ② 设函数：根据变量关系设出函数关系式（可采用解析法、列表法），明确自变量与因变量的意义； ③ 确定关系：根据题目给出的两组对应值，确定函数关系式的具体形式； ④ 应用：根据函数关系式，解决求函数值、求自变量值、判断变化趋势等问题，结合实际意义取舍答案。 2. 常见应用场景：行程问题、计费问题、利润问题、产量问题等（均需结合实际意义确定自变量取值范围）。 示例 某商店出售笔记本，每个笔记本进价2元，售价x元，卖出y个，且y与x的关系为线性关系，当时，；当时，。求y与x的函数关系式，并求当售价为5元时，卖出的笔记本数量。 解：① 设y与x的函数关系式为；② 代入(3,100)、(4,80)，得方程组：，；③ 解得，，函数关系式为（）；④ 当时，，即卖出60个。 易错点 设函数关系式时，混淆自变量与因变量（如行程问题中，误将路程设为自变量，时间设为因变量）。 列方程组求解参数时，计算错误，导致函数关系式错误。 解决实际问题时，忽略自变量取值范围，得出不符合实际的答案（如售价为负数、卖出数量为小数）。 无法根据实际场景提炼函数关系，找不到对应的自变量与因变量。 题型一 变量与常量辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：明确常量“数值不变”、变量“数值变化”的核心特征； 第二步：区分自变量（主动变化）与因变量（被动变化）； 第三步：对照题干描述，排除错误判断，锁定正确答案 易｜错｜点｜拨 1.不将固定不变的量（如π、固定单价）当作变量； 2. 不颠倒自变量与因变量的关系； 3. 牢记自变量有取值范围，不能取任意数值 【典例1】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是淇淇到在超市购买矿泉水时收银机打印的购物小票部分内容，在商品名称、数量、单价、金额的关系中，常量是（    ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【答案】C 【解析】解：由题意可知，金额数量单价，金额是随着数量的变化而变化的， 所以常量是单价， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（ ） A．的度数 B．的面积 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【解析】解：在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度， 故选：D． 【变式2】（2025八年级下·河北·专题练习）水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【答案】C 【解析】解：∵周长C随着半径的变化而变化， ∴半径和周长C为变量． 故选：C． 题型二 函数概念辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：紧扣“一个自变量对应唯一因变量”的核心； 第二步：分析题干中两个变量的对应关系，判断是否存在“一个x对应多个y”的情况； 第三步：排除错误表述，锁定正确答案。 易｜错｜点｜拨 1.不将“一个x对应多个y”的关系当作函数； 2.不混淆“自变量”与“函数”的名称； 3.明确函数允许“多对一”，禁止“一对多” 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·月考）下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； D、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列四个选项中，说法不正确的是（   ） A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量 B．在圆的周长公式中，2是常量，，，均为变量 C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 D．一种金属，其质量是体积的函数 【答案】B 【解析】解：A．在匀速运动公式中，是的函数，是常量，正确，不符合题意； B．在圆的周长公式中，2，是常量，，均为变量，不正确，符合题意； C．入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数．正确，不符合题意； D．根据质量密度体积，可知密度为常数，质量是体积的函数，正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北承德·期中）观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 【答案】B 【解析】解：由表格可知：当时，或，则的值不唯一，所以不是x的函数； 由图象可知：给出一个变量x的值，有唯一的值与之相对应，所以是x的函数． 故选：B． 题型三 函数表示方法 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记三种表示方法的核心定义和优缺点； 第二步：对照题干描述，判断表示方法的应用是否符合适用场景； 第三步：排除错误表述，锁定正确答案 易｜错｜点｜拨 1.不遗漏解析法中的自变量取值范围； 2. 不混用三种表示方法的适用场景； 3. 不出现列表法对应错误、图像法描点错误的问题 【典例1】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 【变式2】（20-21八年级下·河北唐山·期中）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 【答案】（1）所挂物体质量及弹簧长度间的关系；所挂物体质量为自变量；（2）y=14+0.8x；（3）20.8cm；（4）0≤x≤10． 【解析】（1）由题意，弹簧的长度随着物体质量的变化而变化，所以上表反映了所挂物体质量及弹簧长度间的关系，其中所挂物体质量为自变量； （2）由表知：所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，则当物体质量为x千克时，y=14+0.8x 即在弹性限度范围内写出与之间的关系式为：y=14+0.8x； （3）当x=8.5时，y=14+0.8×8.5=20.8 即此时弹簧长度为20.8厘米； （4）当y=22时，22=14+0.8x 解得：x=10 即在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为时，所挂物体的最大质量为10千克 所以x的取值范围为：0≤x≤10． 题型四 自变量取值范围 解｜题｜技｜巧 第一步：判断函数类型（整式、分式、二次根式），结合代数式有意义的要求列条件； 第二步：结合实际场景（若有）补充取值限制； 第三步：解不等式（组），确定自变量取值范围。 易｜错｜点｜拨 1.不忽略分式分母不为0、二次根式被开方数非负的要求； 2.不忽略实际场景对自变量的限制； 3. 解不等式时不出现计算错误。 【典例1】（23-24八年级下·河北石家庄·期中）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【解析】解：根据题意得：，且， 解得：． 故选：A． 【变式1】已知等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ， ， ， 两边之和大于第三边， ， ， ，故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． (1)在①～④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是______（填序号）； (2)去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 【答案】(1)②④ (2)①；③ 【解析】（1）解：①中，；③中，，不合题意， ②；④的函数表达式为整式，自变量可取全体实数， 故答案为：②④． （2）解：①有意义 ，则， ； ③有意义 ，则， ． 题型五 求函数的值 解｜题｜技｜巧 第一步：求函数值时，将自变量值代入函数关系式，按运算规则计算； 第二步：求自变量值时，列方程求解，结合自变量取值范围剔除不合理解； 第三步：规范书写答案。 易｜错｜点｜拨 1. 代入自变量值时不出现符号错误； 2. 计算代数式时不出现运算顺序错误； 3. 已知函数值求自变量时，不忽略取值范围。 【典例1】（24-25八年级下·河北保定·开学考试）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，即：无实数解， ∴A选项不存在零点， ∵，即：无实数解， ∴B选项不存在零点， ∵，即：无实数解， ∴C选项不存在零点， ∵，即：有实数解， ∴D选项存在零点， 故选：D． 【变式1】（21-22八年级下·河北邯郸·期中）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当时，，那么当时，这种正方形合金板材的成本是（    ） A．36元 B．72元 C．108元 D．144元 【答案】B 【解析】解：设， 当时，， 则， 解得：， ∴， 当时，，即这种正方形合金板材的成本是72元， 故选B． 【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·月考）按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ） A．−3 B．−2 C．0 D．2 【答案】B 【解析】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 题型六 函数图像的画法与解读 解｜题｜技｜巧 第一步：画图像时，按“列表→描点→连线”三步进行，确保描点准确、连线平滑； 第二步：解读图像时，先读点、再读变化趋势、最后读特殊点； 第三步：对照函数关系式，判断图像是否符合要求 易｜错｜点｜拨 1.描点时不出现坐标颠倒的错误； 2.连线时不超出自变量取值范围，不画成折线（非线性关系除外）； 3. 解读图像时不混淆横、纵坐标 【典例1】（23-24八年级下·河北雄安·期末）已知一次函数． (1)补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)求时的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的面积 (3) 【解析】（1）解：当时，，当时，， 补全表格如下： 0 1 4 6 描点、连线，画出函数图象，如图所示． , （2）当时，， 解得， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为， 的面积． （3）当时，． 当时，． ， 随的增大而增大， 当时，的取值范围是． 【变式1】学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数C：的图象情况．他通过列表得到如下几组数据： x … 0 2 4 … y … a 3 1 b …    (1)表格中a＝ ，b＝ ． (2)结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数C的图象，并写出该函数的最小值． (3)若一次函数与函数C的图象有2个交点，请求出m的取值范围． 【答案】(1)5， (2)图见解析，y得最小值为 (3) 【解析】（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：5，； （2）解：函数C的图象如图：    由图可知，当时，y有最小值为； （3）解：将代入中，得，此时，函数与函数C有一个交点， 由图知，当时，函数与函数C有两个交点． 【变式2】数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)图象见解析；性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 【解析】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解： 作， ∵， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （3）解：作， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵P在AB上， ∴， 即： ， （4）利用描点法画图，如图3所示： 性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 题型七 函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 第一步：审题，确定自变量与因变量； 第二步：设函数关系式，根据题干条件求参数； 第三步：结合自变量取值范围，解决题干问题； 第四步：规范书写解题步骤 易｜错｜点｜拨 1.不混淆自变量与因变量； 2.求参数时不出现计算错误； 3. 不忽略实际意义对自变量的限制，不出现不符合实际的答案。 【典例1】（25-26八年级上·河北张家口·月考）综合与实践 【情境再现】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 【图象分析】嘉嘉用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． （1）根据图1回答下列问题： ①乌龟在这次比赛中的速度是______米/分钟； ②图中线段的实际意义是______； 【故事改编】淇淇对童话故事进行了改编：兔子输了比赛，心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和上次一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，淇淇根据故事情节绘制如图2的图象． （2）图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，，分别表示兔子和乌龟所行的路程， ①求兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离； ②兔子到达终点后，将在终点等待乌龟，直接写出当乌龟和兔子相距120米时x的值． 【答案】（1）①20；②兔子在距起点400米的地方，睡了40分钟 （2）①400米；②14或26或34 【解析】解：（1）①由图象可得赛跑的全程是1200米，乌龟花了60分钟， ∴乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； ②由图象知，， 即线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟； （2）①由（1）得， ， 解得， ∴（米）． 答：兔子追上乌龟时，它们到小树处的距离是400米． ②由图可知，兔子距起点的路程（米）， 乌龟距起点的路程为（米）， ∵乌龟和兔子相距120米， ∴或， 当时， ， ∴， 解得：或； 当时， ， ， 解得：； 综上，当乌龟和兔子相距120米时，或或． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在“探究物体浮力与浸入深度的关系”实验中，小刚用弹簧测力计悬挂一个圆柱体缓慢浸入盛水的容器中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小刚将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下表： 圆柱体浸入水中的深度 0 2 4 6 弹簧测力计示数 20 17 14 11 (1)观察表中数据，推测弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是___________函数关系；（填“正比例”或“一次”） (2)根据上述推测，求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式； (3)当弹簧测力计示数时，求圆柱体浸入水中的深度． 【答案】(1)一次 (2)弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式为 (3) 【解析】（1）解：∵圆柱体浸入水中的深度逐渐增加，弹簧测力计示数逐渐减小， ∴估计弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间满足的函数关系是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）解：设，把代入得，， ∴， ∴， ∴弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数解析式为； （3）解：当时， ∴， 解得，． 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）明明的家与超市、学校依次在同一直线上．明明骑自行车从学校放学回到家后，发现忘了买水笔．他立刻走出家门步行到超市，选购了一会儿后快速回到家．下面的图像反映了明明从学校出发后离家的距离y（单位：）与他离开学校的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题： (1)填空： ①明明家与学校的距离是______，他放学用了______骑车到家； ②明明在超市停留的时间是______；B点坐标的实际意义是______； ③明明从学校骑车回家的速度是______，从家步行到超市的速度是______； (2)当时，求出y与x的函数关系式． 【答案】(1)①1600，8；②6；明明在第18分钟时到达离家600米的超市；③200；60 (2) 【解析】（1）解：①当时，对应的函数值为1600， 故明明家与学校的距离为； 当时，对应的自变量的值为8， 即他放学骑车到家所用时间为， 故答案为：1600,8； ②解：明明在超市停留的时间是；B点坐标的实际意义是明明在第18分钟时到达离家600米的超市； 故答案为：6，明明在第18分钟时到达离家600米的超市； ③解：根据速度等于路程除以时间得：明明从学校骑车回家的速度是，从家步行到超市的速度是； 故答案为：200,60． （2）解：设此时的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为． 题型八 函数多解与分类讨论 解｜题｜技｜巧 第一步：识别多解信号（绝对值、无明确取值范围）； 第二步：分情况罗列所有可能的自变量取值； 第三步：代入函数关系式验证，剔除不合理解；第四步：汇总有效解，规范书写。 易｜错｜点｜拨 1. 树立分类讨论意识，不遗漏可能的取值情况； 2. 验证环节不可少，剔除矛盾解； 3. 结合自变量取值范围，不保留不合理解。 【典例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当在段时，，当在段时，； (3)存在， 【解析】（1）解：∵，轴，轴 ∴； （2）解：由可得：， 当点P在线段上时， ∵点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ， ； 当点在线段上时， ∵， ∴， 即， ∴ 点走过的路程． （3）解：存在符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：； 当点在线段上时， ， ， 解得：（舍去）， 综上所述：当秒时，． 【变式1】1号、2号两个热气球分别从地面和距离地面40米处同时匀速上升，先后到达距地面米的高度，并停留此高度观光．设经过（分钟）时，1号、2号两个热气球与地面的距离分别为，（米），其函数图象如图所示． (1)求1号热气球上升过程中关于的函数表达式，并求出的值． (2)1号热气球在上升过程中，求两热气球与地面距离相等时的高度． (3)2号热气球在上升过程中，经多少分钟它们的高度相差20米？ 【答案】(1)，的值为； (2)1号热气球在上升过程中，两热气球与地面距离相等时的高度为米； (3)2号热气球在上升过程中，经15分钟或45分钟或60分钟它们的高度相差20米． 【解析】（1）解：设，将代入，得， 解得， ∴． 将代入，得． ∴的值为； （2）解：设关于的函数表达式为， 将，分别代入，得， 解得． ∴关于的函数表达式为． ∵1号热气球在上升过程中，两热气球与地面距离相等， ∴，解得． 当时， (米) ． ∴1号热气球在上升过程中，两热气球与地面距离相等时的高度为米； （3）解：∵2号热气球在上升过程中，使得它们的高度相差20米， ∴分三种情况进行讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． 综上，2号热气球在上升过程中，经15分钟或45分钟或60分钟它们的高度相差20米． 【变式2】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【解析】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 题型九 函数图像与实际场景 解｜题｜技｜巧 第一步：分析实际场景中自变量与因变量的变化关系（递增、递减、不变）； 第二步：对照选项中的图像，判断图像的变化趋势是否与实际场景一致； 第三步：验证图像的特殊点（如起点、终点）是否符合实际意义，锁定正确答案。 易｜错｜点｜拨 1.不误解实际场景的变化趋势（如“匀速行驶”对应线性图像，误选非线性图像）； 2.不忽略实际场景的起点、终点，误选不符合的图像； 3. 解读图像时，不混淆横、纵坐标对应的实际意义 【典例1】回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意，师生队伍离学校的距离先增大，然后不变，最后变小，则符合题意的为B选项的函数图象． 【变式1】向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发先步行到离学校的凉亭，然后在凉亭休息了，再步行，最终到离凉亭的生态园，选项A与上述分析一致，符合题意； B、他们距离学校越来越远，值也随之增大，选项B总路程是减小的，不符合题意； C、最终值为，代表他们最终回到了学校，与题干“去生态园”不符，不符合题意； D、中间在凉亭休息一段时间，此时与学校的距离不变，图像为平行与轴的线段，选项D没有体现出休息阶段，不符合题意； 故选： A． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【解析】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，y是变量， 故选：C． 2.如图，与的关系式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是的外角， ∴，即， 故选：． 3.下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解：选项A，根据图象，当时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 4.已知，，，四点，若其中两点不可能在同一个函数图象上，则这两点是（   ） A．点P和点Q B．点Q和点N C．点P和点N D．点M和点N 【答案】C 【解析】解：A、点、中，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； B、、中，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； C、、，一个x对应两个函数值，不在同一个函数图像上，符合题意； D、、，y随x的变化而变化，在同一个函数图像上，不符合题意； 故选：C ． 5.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.下列关系式中y不是x的函数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在选项B，C，D中，每给x一个值，y都有1个值与它对应，所以B，C，D中y是x的函数， 在A中，给x一个正值，y有2个值与之对应，所以y不是x的函数． 故选A 2.（24-25九年级下·河北廊坊·月考）《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意，水缸中的水开始不变，玩耍的孩童落入水缸中，水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，此时水位会迅速下降 由分析得：比较符合故事情节． 故选：C． 3.（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下： 甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距； 乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇； 丙：嘉嘉的速度比淇淇慢． 下列判断正确的是（   ） A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】C 【解析】解：①从图中可以看出，时，，，，即起跑前嘉嘉、淇淇相距，正确； ②从图中可以看出，时，，时，，8秒后嘉嘉超过了淇淇，正确； ③从图中可以看出，，，， 即嘉嘉的速度比淇淇快，错误． 故选：C． 4.如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　） A．3 B． C． D．4.5 【答案】C 【解析】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变， ∴， ∵是中位线， ∴， 当点P在线段上时，， 由图象知，当点P和点C重合时，即时，的面积， ∴， 解得． 故选：C． 5.（21-22八年级下·河北石家庄·期末）请你用学习“函数”时积累的经验的方法研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)完成下列步骤，画出函数的图象； ①把表格填完整： ②在坐标系中描点并连线． (2)观察图象，当时，随的增大而______填“增大”或“减小”； (3)根据图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)增大 (3) 【解析】（1）解：①把表格填完整： 在坐标系中描点并连线． （2）观察图象可知，当时，随的增大而增大； 故答案为：增大； （3）解：根据图象可得，不等式的解集是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 【答案】D 【解析】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误； 根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误； 小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误； 根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确； 故选：D． 2.如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（    ）． A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 【答案】B 【解析】解：A、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大先减小后增大，而由大变小的距离等于由小变大的距离，故此选项不符合题意； B、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，故此选项符合题意； C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大越来越小，故此选项不符合题意； D、由图1可知，若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A的距离是BA，在点C时的距离是BC，BA＜BC，故此选项不符合题意； 故选B． 3.如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是； ②AD的长度为3cm； ③a的值为7； ④当时，t的值为或9．    A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴，，， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴，故②正确； ∴，故③正确； 当点M未到点B时，过点N作于点E，    同理可得：， ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F，    此时， ∴， ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：D． 4.周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆． 两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙． 甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变． 设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示； 甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示． (1)学校与图书馆之间的路程为 米， ； (2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长； (3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象． 【答案】(1)5000，200； (2)，分钟 (3)见解析 【解析】（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程为5000米， （米/分）， 故答案为：5000，200； （2）当时，设 将，代入得 解得 ∴； 当时，设 将，代入得 解得 ∴； 综上所述，， 当甲返回学校时， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴（分钟） 答：甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长为分钟； （3）由（2）得，甲追乙的过程中， 当时，甲的速度是400米/分， 当时，， 甲乙两人第25分钟时，到达公园， 如图， 5.（22-23八年级下·河北沧州·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：    (1)长为多少cm？ (2)图乙中a为多少？ (3)由需__________s，__________； (4)图甲的面积为多少？ (5)图乙中b为多少s？ 【答案】(1)8cm (2) (3)； (4) (5)17s 【解析】（1）解：由图象可得点P从点B到点C运动的时间是4s，运动的速度是每秒2cm， 故的长度是， 即长是8cm． （2）解：∵，， ∴， 即图乙中a的值为； （3）解：； ∵需2s， ∴， ∴． 故答案为： （4）解：由图可知，，，，， ∴， ∴图甲的面积是． （5）解：由题意，可得，即b的值是17s． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $