第4章 因式分解（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 4．将代数式添括号后，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 6．设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 9．计算的值是（       ） A． B． C． D． 10．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 12．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 13．若，，则 ． 14．已知，，则的值为 15．已知，则 ． 16．规律探究题计算： ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）分解因式： (1)； (2)． 18．（9分）分解因式： (1)； (2)； (3)． 19．（8分）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 20．（7分）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 21．（8分）综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 22．（10分）龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安，大熊猫花花上春晚教学八段锦……与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加5后输出． (1)第一次淇淇输入的式子为，则关联盒输出的式子为_____；若关联盒第二次输出的式子为，则淇淇输入的是_____； (2)在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明． 23．（10分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 24．（12分）阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：_____． (2)多项式：的最小值是_____． (3)已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章因式分解·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 B A D D B B 二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 3ab(1-4a) 12.±4 13.18 14.34 15.4 1013 16.2025 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解： 2xa-bl+3yb-a=2xa-b-3(a-b)=(a-b2r-30:（4分) 3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)1-2x) (2)解： .(8分) 18.(9分) 16m4-81n4 【详解】(1)解： =4m2-9n2）4m2+9n2） =4m2+9m2(2m-3n(2m+3m;(3分) (2)解。mn-mn =m'n(m-n) ；(6分) (3)解：(x+y-4x+y- 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x+y)2-4x+y)+4 =-x+y-2.9分) 19.(8分) 【详解】(1)解：原式=mm-2mn+n） -mn(m-n2 .m+n=3,n=2, :.m-川=(m+m2-4mm=9-8=1 ∴.原式=2×1=2；(4分) (2)解：原式=(m2+ny-2mn=(m2+n2-2mm2 m2+n2=(m+n)'-2mn=9-4=5 原式5-2×22=25-8=17 (8分) 20.(7分) m2-6m-7 【详解】(1)解： =m2-6m+9-16 =(m-3)2-16 =m-3+4)(m-3-4) =(m+1(m-7) (m-3)2≥0 :(m-32-16≥-16 时，多项式m6m-7 当m=3 -16 最小值是；(3分) 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：2m+m+p2-12m-8n-10p+59=0 .2m2-12m+18+n2-8n+16+p2-10p+25=0 .2(m-3)2+n-4)2+(p-5)2=0 .m-3=0,n-4=0,p-5=0, ∴.m=3,n=4,p=5, ∴该三角形的周长为：3+4+5=12.(7分) 21.(8分) 【详解】解：D0+6x+5=x+训x+:2分) ®-8+15=-3训x-5,4分) (2)Or-4x+x2-4x+7列+9 设-4=y 原式(y+(y+7)+9 =y2+8y+7+9 =y2+8y+16 =(y+42 =(x2-4x+42 =(x-2°；(6分) ②证明：r+(x+2(x+3x+4到+1 =(x+1)(x+4(x+2)(x+3)+1 =x2+5x+4x2+5x+6+1 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令r+5x=y 原式=(y+4(y+6)+1 =y2+10y+24+1 =y2+10y+25 =(y+5)2≥0 故x+(x+2x+3(x+4)+1 的值一定为非负数.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：由题意得： 第一次淇淇输入为2a+3,则关联盒输出为：2a+3+5=2a+8, 关联盒第二次输出为3a+1,则淇淇输入的是：3a+1-5=3a-4, 故答案为：2a+8;3a-4；(4分) (2)(2)①9=(2a+3(2a+8=42+22a+24 S2=3a-4)(3a+1=9a2-9a-4 (7分) ②S,+25=9a-9a-4+3=9a-90+2 4 4 92 可以化为一个完全平方式.(10分) 23.(10分) x2+mx-18=(x-2(x+n)=x2+(n-2)x-2n 【详解】(1)由题设知： 故m=n-2,-2n=-18, 解得n=9,m=7. 故答案为：7：(3分) 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设+mr+x-16=4-l(x-2到(4为整式)， 分别令x=1和x=2得： m+n-15=0 8m+2n=0, [m=-5 解得：n=20, .m=-5,n=20;(6分) (3)设-+a+b=(x+pj川2+2x+1 (x+p)(x2+2x+1) =x3+2+p)x2+(1+2p)x+p 2+p=-1 1+2p=a p=b p=-3 a=-5 解得： b=-3’ ∴.多项式x3-x2+ax+b=x3-x2-5x-3, x3-x2-5x-3 =(x-3(x2+2x+1 =(x-3(x+12 :a=5,b=-3,该多项式分解因式为：r-r-5x-3=(x-3训x+.（10分) 24.(12分) x2-6x-16 【详解】(1)解： =x2-6x+9-9-16 516 6 学科网 单元速记·巧练 ww6O掌科网0M处好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 =(x-32-52 =(x-3+5)(x-3-5) =(x+2)x-8): (x+2)x-8) 故答案为： :(4分) (2)解：x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-12-4 (x-1)2≥0 .当x=1时，多项式x2-2x-3取得最小值，最小值是-4： 故答案为：-4：(8分) 121 (3)解： m+”-2m+23 (j4 m*-j八0， ,1)2 1 当m+2”=l时，多项式m+-2m+小-3 得最小值，最小值是-4.(12分) 616 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式． 根据定义判断各选项． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、原式是因式分解，符合题意； D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解和公因式的概念，平方差和完全平方公式．先对每个多项式进行因式分解，即可找出公有的因式． 【详解】解：∵，， ∴ 公因式为． 故选：B 3．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 4．将代数式添括号后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号法则．解题的关键是准确应用添括号的符号法则．检查每个选项，去掉括号后，看结果是否等于原式，进而求解即可． 【详解】解：∵， A．，与原式不符； B．，与原式一致； C．，与原式不符； D．，与原式不符． 故选：B． 5．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 6．设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，可分解为，即三个连续整数的乘积，其中必为偶数；甲的结果1319为奇数，矛盾，故甲错误． 【详解】解：∵， 为三个连续整数之积，其中必含偶数， ∴为偶数， 甲的结果1319为奇数，与恒为偶数矛盾， ∴甲计算错误． 故选A 7．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 8．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质和代数式求值，利用完全平方公式分解因式把所给等式变形为，根据非负数的性质求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴且， ∴，， ∴， 故选：D． 9．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 10．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：∵ 原多项式为， ① 选择d，e进行“加括号操作”，，故说法正确； ② 选择 进行“加括号操作”，，与原式相等，故说法正确； ③ 因为无论哪轮操作，的符号始终不变，所以操作结果与原式之和不可能为，故说法正确； ④ 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于4种，故说法错误； ∴ 错误说法为④，共 个． 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握“找出多项式各项的公因式并提取”是解题的关键．通过观察多项式，找出各项的公因式，利用提取公因式法分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键； 将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：18． 14．已知，，则的值为 【答案】34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 15．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 16．规律探究题计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式．先利用平方差公式分解，再计算即可得到结果． 【详解】解： 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先变形，再利用提取公因式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．（9分）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，熟练运用公式是解题的关键． （1）运用平方差公式两次，即可解答； （2）直接提取公因式，即可解答； （3）根据完全平方公式，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（8分）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)2 (2)17 【分析】本题主要考查代数式的化简求值，对代数式进行变形，然后整体代入求值是解题的关键． （1）首先提取公因式，再利用完全平方公式进行变形，最后整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式求出的值，再将化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵，， ∴ ∴原式； （2）解：原式， ∵， ∴原式． 20．（7分）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【答案】(1)，， (2)12 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． （1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； （2）解：， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 21．（8分）综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据十字相乘法可进行求解①②； （2）①仿照题中所给方法可进行分解因式； ②原式可变形为，然后仿照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（1）①； ②； （2）①， 设， 原式 ； ②证明： ， 令， 原式 ； 故的值一定为非负数． 22．（10分）龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安，大熊猫花花上春晚教学八段锦……与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加5后输出． (1)第一次淇淇输入的式子为，则关联盒输出的式子为_____；若关联盒第二次输出的式子为，则淇淇输入的是_____； (2)在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明． 【答案】(1)； (2)①，；②见解析 【分析】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式因式分解． （1）根据题意利用整式计算即可； （2）①根据题意分别表示出和代数式再化简即可；②利用完全平方公式定义即可． 【详解】（1）解：由题意得： 第一次淇淇输入为，则关联盒输出为：， 关联盒第二次输出为，则淇淇输入的是：， 故答案为：；； （2）（2）①； ． ②． ∵， ∴可以化为一个完全平方式． 23．（10分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2) (3)，该多项式分解因式为： 【分析】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设（A为整式），分别取和得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 24．（12分）阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：_____． (2)多项式：的最小值是_____． (3)已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，多项式取得最小值，最小值是． 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式即可得到结论； （2）仿照题干作答即可； （3）将看作整体，仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ， 当时，多项式取得最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解： ， ， 当时，多项式取得最小值，最小值是． 学科网（北京）股份有限公司18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式与的公因式是（  ） A． B． C． D． 3．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 4．将代数式添括号后，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 6．设为正整数，下面是老师在投影上展示的四位同学选择一个的值计算的结果，小林很快就发现其中一位同学的计算有误，这位同学是（    ） 甲 乙 丙 丁 1319 1716 2184 2730 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 9．计算的值是（       ） A． B． C． D． 10．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： 12．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数 ． 13．若，，则 ． 14．已知，，则的值为 15．已知，则 ． 16．规律探究题计算： ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）分解因式： (1)； (2)． 18．（9分）分解因式： (1)； (2)； (3)． 19．（8分）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 20．（7分）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 21．（8分）综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 22．（10分）龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到李白带你云游长安，大熊猫花花上春晚教学八段锦……与的技术融合让人耳目一新，淇淇同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加5后输出． (1)第一次淇淇输入的式子为，则关联盒输出的式子为_____；若关联盒第二次输出的式子为，则淇淇输入的是_____； (2)在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②淇淇发现可以化为一个完全平方式，请解释说明． 23．（10分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 24．（12分）阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：_____． (2)多项式：的最小值是_____． (3)已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $