第4章 因式分解（单元自测·基础卷）数学新教材浙教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列由左边到右边的式子变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的识别． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A：，右边为与的积，属于因式分解； B：，右边为，即积的形式，属于因式分解； C：，右边为与的积，属于因式分解； D：，右边为与的差，非积的形式，不属于因式分解； 故选：D． 2．多项式的最大公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的定义，准确掌握公因式的确定方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂即可． 【详解】解：的系数的最大公约数是，各项相同字母的最低指数次幂是， 则多项式的最大公因式是． 故选：C． 3．下列各式添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号，熟练掌握添括号法则是解题关键．根据添括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 5．已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式的乘法是解题的关键；通过展开因式并比较多项式系数即可求解． 【详解】解：∵=， 展开右边：， 比较系数得：， ∴， ∴， 常数项与左边一致， ∴a的值为3； 故选B． 6．已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，由得到，进而通过，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 7．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， A．若，即，不为整数，不符合题意； B．若，即，不为奇数，不符合题意； C．若，即，不为整数，不符合题意； D．若，即，符合题意． 故选：D． 10．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】通过提取公因式进行因式分解即可． 本题考查因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法． 【详解】解：． 故答案为：． 12．添括号：（ ） 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则，根据添括号法则得括号前面添“”，括号内各项都变号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分解因式，代数式求值，利用平方差公式分解因式得到，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．已知多项式分解因式为， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出和的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵多项式分解因式为， ∴，， 故答案为：，． 15．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 16．在多项式中添加一个单项式，使它能用完全平方公式分解因式，添加的单项式是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点即可求解． 根据完全平方公式求解． 【详解】解：， ， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握以上的知识点是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法因式分解； （2）根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 18．（8分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2） 19．（8分）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 20．（8分）二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 21．（8分）对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为，而乙同学因看错了一次项将其分解为． (1)请求出正确的一次项系数和常数项； (2)写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 【答案】(1)一次项系数为，常数项为 (2)原多项式为，因式分解结果为 【分析】本题考查了因式分解以及多项式的乘法． （1）甲同学看错常数项，因此其分解中的一次项系数正确；乙同学看错一次项，因此其分解中的常数项正确，通过展开两人的分解式，分别得到正确的一次项系数和常数项，从而确定原多项式； （2）根据提公因式与完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学的分解：， ∵甲看错常数项， ∴一次项系数正确， 乙同学的分解：， ∵乙看错一次项， ∴常数项正确． （2）由（1）可得原多项式为， 因式分解：． 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）原式 ； （2） ， ， ，即， 时，有最大值． 23．（10分）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 【答案】(1)提公因式法 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）通过观察每一步提取公因式的操作，判断使用的方法即可； （2）列举第一次、第二次的提取公因式结果，根据规律写出第n次提取公因式的结果即可； （3）先提取公因式，再根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 24．（12分）【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 【答案】（1）① ② ③ ④ ；（2）（3）或 【分析】本题考查因式分解，数字类规律探究，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）根据给出的等式，即可得出结果； （3）根据（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）①；②；③；④； （2）由题意可知：； （3）由（2）可知：，解得或． 学科网（北京）股份有限公司13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列由左边到右边的式子变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式的最大公因式是（   ） A．2 B． C． D． 3．下列各式添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 6．已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 10．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 12．添括号：（ ） 13．若，，则 ． 14．已知多项式分解因式为， ， ． 15．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 16．在多项式中添加一个单项式，使它能用完全平方公式分解因式，添加的单项式是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． 18．（8分）分解因式： (1)； (2)． 19．（8分）因式分解 (1) (2) (3) (4) 20．（8分）二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 21．（8分）对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为，而乙同学因看错了一次项将其分解为． (1)请求出正确的一次项系数和常数项； (2)写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 23．（10分）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 24．（12分）【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章因式分解·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 c B B D B D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. a(8a-b) 12.2b-3c+4d 13.4 14.-3,-18 15.180 16.4或4r或4 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】解：(1)原式49㎡-n) =43m+n)(3m-n) (4分) (2)原式(x-2(x2-16) =(x-2(x+4(x-4) ,(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解： ax+20ya(+)+)( （2)--2y+=-(y-l=(x+y-x-y+1(8分) 19.(8分) 【详解】（1)解：原式=2ab4a-6c+3ad,(2分) 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：原式=5x-+10[-(x-门 =5xx-y)2-10(x-y)3 =5x-y2[x-2(x-y] =5(x-y)2(x-2x+2yj =5x-y'(2y-x,(4分) (3)解：原式=[【a+3a-(a-[a2+3a+a-] =a2+2a+1(a2+4a-1 =(a+12(a2+4a-l:(6分) (4)解：原式(x2-1-3 =x2-42 =x-2(x+22.8分) 20.(8分) 【详解】解：设另一个因式为a+k, 则a+a+h=(a+3a+k) 展开右边：(a+3a+)=a2+(k+3)a+3k 比较系数得：k+3=4,b=3k, 解得k=1,b=3, .另一个因式为a+1,b=3.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：甲同学的分解： 2(x-3)(x-9)=2x2-12x+27=2x2-24x+54 甲看错常数项， 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .一次项系数-24正确， 乙同学的分解：2x-2(x-18)=22-20x+36=22-40x+72 :乙看错一次项， .常数项72正确.(4分) 2x2-24x+72 (2)由(1)可得原多项式为 因式分解： 2x2-24x+72=2(x2-12x+36)=2(x-6)2 (8分) 22.(10分) 【详解】(1)原式=r-16x+64-2=(x-82-22=x-8-2(x-8+2 =x-10x-6);(5分) （2)-+14+10=-x-14+10=-x2-14x+49+10+49 =-(x-7)2+59 (x-7)≥0 ∴-(x-7≤0，即x-+59≤59 .x=7时，-x2+14x+10有最大值59.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法；(3分) (2)解：1+x+1++x1+x2++x1+x =(1+x[1+x+x1+x++x1+x =1+x刘1+x+x1+x++x1+x)2 =(1+x)"(1+x) 3/4 学科网 单元速记·巧练 ww6O掌科网0M处好课 www.zxxk.com 知识归纳梳理上测试瑰固提升 =(1+x) ∴.需应用提公因式法n次：(6分) (3)解：1+刘+x1++x1+刘+x1+刘+x1+刘 =(1+x刘[1+x+x1++x1+x2+x1+x =(1+x)(1+x) =(1+x)8 ,(10分) 24.(12分) 【详解】解：（1)0+2a+1=(a+,②-12x+36=(x-6:③4r-4r+1=(2x-:④ 4p+12pg+9g2=(2p+3g):(4分) b2=4ac (2)由题意可知： ;(8分) (3)由（2)可知：(21-=4×1x4,解得1=2.5或1=-15.《12分) ⊙⊙ 4/4 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第4章 因式分解 ·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列由左边到右边的式子变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式的最大公因式是（   ） A．2 B． C． D． 3．下列各式添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 6．已知，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 10．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解： ． 12．添括号：（ ） 13．若，，则 ． 14．已知多项式分解因式为， ， ． 15．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 16．在多项式中添加一个单项式，使它能用完全平方公式分解因式，添加的单项式是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． 18．（8分）分解因式： (1)； (2)． 19．（8分）因式分解 (1) (2) (3) (4) 20．（8分）二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 21．（8分）对于某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了常数项将其分解为，而乙同学因看错了一次项将其分解为． (1)请求出正确的一次项系数和常数项； (2)写出原多项式，并将此二次三项式进行正确的因式分解． 22．（10分）阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 23．（10分）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 24．（12分）【教材呈现】 （1）分解因式： ①______；②______；③______；④______． 【归纳总结】 （2）观察以上四个多项式的系数： ，，，． 于是玉玉猜测：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系，请你用数学式子表示a，b，c之间的数量关系：______； 【解决问题】 （3）若多项式是一个完全平方式，求实数t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $