章末综合检测(五)概率（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末综合检测(五) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是(　　) A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C.M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件 解析：选D.事件M是点数为1或2，事件N是点数为2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M∩N是点数为2，是随机事件，是可能发生的，M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件． 2．已知A＝{－1，1}，点P的坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，任取一点P，观察点P的坐标，则试验的样本空间包含的样本点个数为(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 解析：选D. 由题意可得，x的所有可能取值为－1，1，y的所有可能取值为－1，1，故试验的样本空间包含的样本点为(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)，共4个． 3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一条“腿”被设计成了假肢(右).现将2个相同的奥运会吉祥物和1个残奥会吉祥物摆成一排，则残奥会吉祥物在中间的概率为(　　) A. B． C． D． 解析：选A. 记奥运会吉祥物为A，残奥会吉祥物为C，样本空间Ω＝{(AAC)，(ACA)，(CAA)}，共3个样本点，残奥会吉祥物在中间只有1个样本点，则残奥会吉祥物在中间的概率为. 4．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是(　　) A.甲、乙恰有一人中奖 B.甲、乙都没中奖 C.甲、乙至少有一人中奖 D.甲、乙至多有一人中奖 解析：选D. “甲、乙恰有一人中奖”与A互斥但不对立，故A错误；“甲、乙都没中奖”与A互斥但不对立，故B错误；“甲、乙至少有一人中奖”与A可同时发生，不互斥，故C错误；“甲、乙至多有一人中奖”与A互斥且对立，故D正确． 5．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是(　　) A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 解析：选B.对于A，抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平；对于B，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平；对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平；对于D，小明、小华两人各写一个数字6或8，共(6，6)，(6，8)，(8，6)，(8，8)四种情况，两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 6．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先不乘坐第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为(　　) A. B． C. D． 解析：选D. 根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)，共6种，其中此人没有乘坐下等车的情况有5种，则其概率为. 7．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题不正确的是(　　) A.事件A1，A2互斥 B.事件B与事件A1相互独立 C.P(A1B)＝ D.P(B)＝ 解析：选B.根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数， A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B)＝＝，P(A1B)＝＝，故C正确，D正确；因为P(A1B)＝，P(A1)P(B)＝×＝，则P(A1B)≠P(A1)P(B)，则事件B与事件A1不独立，故B不正确． 8．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为p(0<p<1)，则该系统正常工作的概率为(　　) A.[1－(1－p)p2]p 　 B．[1－p(1－p2)]p C.[1－(1－p)(1－p2)]p 　 D.[1－(1－p)2p]p 解析：选C.要使系统正常工作，则A，B都正常工作或C正常工作，D必须正常工作，故该系统正常工作的概率为P{[(AB)∪C]∩D}＝P[(AB)∪C]P(D)＝(1－P()P())P(D)＝(1－P(∪)P())P(D)＝[1－(1－P(AB))(1－P(C))]P(D)＝[1－(1－p2)(1－p)]p. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．某同学参加3次不同测试，用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次测试成绩及格”，则下列说法正确的是(　　) A.J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B. 表示后两次测试成绩均不及格 C.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D.1∩2∩3表示三次测试成绩均不及格 解析：选BCD.因为J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；因为J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；J1∩J2∩J3表示J1，J2，J3同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确；i(i＝1，2，3)表示第i(i＝1，2，3)次测试成绩不及格，所以1∩2∩3表示三次测试成绩均不及格，故D正确． 10．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A＝“取出的小球编号为奇数”，事件B＝“取出的小球编号为偶数”，事件C＝“取出的小球编号小于6”，事件D＝“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是(　　) A.A与B互斥 B．A与B对立 C.C与D对立 D．B与D相互独立 解析：选ABD.抽奖者从中任取一个球的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，事件A＝{1，3，5，7}，事件B＝{2，4，6，8}，事件C＝{1，2，3，4，5}，事件D＝{7，8}，A∪B＝Ω且A∩B＝∅，则A与B互斥，且A与B互为对立事件，A，B正确；C∩D＝∅且C∪D＝{1，2，3，4，5，7，8}真包含于Ω，事件C与D不对立，C错误；P(B)＝＝，P(D)＝＝，P(BD)＝＝P(B)P(D)，事件B与D相互独立，D正确． 11．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等).现要从甲、乙两名同学中选出一人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．则下列说法正确的是(　　) A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大 C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平 解析：选BD.由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个．记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以P(A)＝.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以P(B)＝.因为P(A)<P(B)，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为________颗． 解析：设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗． 答案：300 13．甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________． 解析：设甲射击命中的事件为A，乙射击命中的事件为B，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.8＋0.6－0.5＝0.9. 答案：0.9 14.如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜(它通过各扇门的机会相等)，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是________． 解析：小鼠逃生路线有以下六种情况： 1→2→3→6→9；1→2→5→6→9； 1→2→5→8→9；1→4→5→6→9； 1→4→5→8→9；1→4→7→8→9. 概率分别为P1＝×××＝； P2＝×××＝； P3＝×××＝； P4＝×××＝； P5＝×××＝； P6＝×××＝. 所以小老鼠逃生概率为P＝P1＋P2＋P3＋P4＋P5＋P6＝＋＋＋＋＋＝. 答案： 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%～55%时，病毒死亡较快．现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据如表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%～b%时记为区间[a，b). 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 [15， 25) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75) [75， 85) [85， 95) 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 (1)求上述数据中使病毒死亡较快的空气相对湿度的频率；(5分) (2)从区间[15，35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35)内的概率．(8分) 解：(1)由已知，当空气相对湿度在45%～55%时，病毒死亡较快．而样本在[45，55)上的频数为30，所以所求频率为＝. (2)设事件A为“从区间[15，35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25，35)内”，设区间[15，25)中的两个数据为a1，a2，区间[25，35)中的三个数据为b1，b2，b3， 因此，从区间[15，35)的数据中任取两个数据，包含(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个样本点， 而事件A包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个样本点，所以P(A)＝＝. 16．(本小题满分15分)某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据整理成下表．规定：总分≥60体质健康为合格． 等级 总分 男生 人数 男生 平均分 女生 人数 女生 平均分 优秀 [90，100] 5 91.3 2 91 良好 [80，90) 4 83.9 4 84.1 及格 [60，80) 8 70 11 70.2 不及格 60以下 3 49.6 3 49.1 总计 — 20 — 20 — (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；(6分) (2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．(9分) 解：(1)样本中体质健康合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，所以这名学生体质健康合格的概率为＝. (2)设事件A为“从男生样本中随机选取一人，其体质健康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选取一人，其体质健康等级是优秀”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝×＋×＝. 17．(本小题满分15分)在集合Ω＝{－5，－3，－1，1，3，5}中任意选取一个实数作为a，构造函数f(x)＝x2－ax＋1，x∈R，记事件A为“所选取的实数a使得函数y＝f(x)有两个不等零点”． (1)观察选取的实数a，求事件A发生的概率；(7分) (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数y＝f(x)在上单调递增”，求事件A，事件B至少发生一个的概率．(8分) 解：(1)由已知样本空间Ω＝{－5，－3，－1，1，3，5}，若函数y＝f(x)有两个不等的零点， 则Δ＝(－a)2－4>0，解得a<－2或a>2， 所以事件A对应的集合为A＝{－5，－3，3，5}， 则P(A)＝＝. (2)若函数y＝f(x)在上单调递增， 则－＝≤，即a≤， 所以事件B对应的集合为B＝{－5，－3，－1}， 则事件A，事件B至少发生一个对应的集合A∪B＝{－5，－3，－1，3，5}， 则P(A∪B)＝. 18．(本小题满分17分)某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理(如表).并绘制出不完整的条形统计图(如图). 　 　学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% 学生体质健康条形统计图 (1)求统计表中a，b，c的值．(4分) (2)请补全条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；(5分) (3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”、1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请计算所抽取的两人均为“良好”的概率．(8分) 解：(1)由题意得，样本容量为32÷32%＝100， 则a＝×100%＝3%，b＝100×20%＝20， c＝×100%＝45%. (2)由题得，补全条形统计图，如图所示， 则600×(45%＋32%)＝462(人)， 所以估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462. (3)设3名“良好”学生分别用A，B，C表示，1名“优秀”学生，用D表示，列表如下： A B C D A (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) 由表格知一共有12种等可能性的结果，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有6种，所以选取的2名学生均为“良好”的概率为＝. 19．(本小题满分17分)一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小、质地均一致．设计了两个摸球游戏，其规则如表所示． 游戏1 游戏2 摸球 方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜 规则 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜；若摸出的2球颜色不同，则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间；(5分) (2)求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的；(5分) (3)甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜 利，则游戏结束．每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．(7分) 解：(1)记3个红球分别用1，2，3表示，记白球用w表示，用(x，y)表示两次摸球的情况， 记游戏1与游戏2的样本空间分别为Ω1，Ω2， Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，w)，(2，1)，(2，3)，(2，w)，(3，1)，(3，2)，(3，w)，(w，1)，(w，2)，(w，3)}， Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，w)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，w)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，w)，(w，1)，(w，2)，(w，3)，(w，w)}． (2)记事件A1为“在游戏1中甲获胜”，事件A2为“在游戏2中甲获胜”， A1＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}， A2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(w，w)}， P(A1)＝＝＝， P(A2)＝＝＝， 故游戏1是公平的． (3)记事件Bi为“甲获得第i局游戏胜利”，i＝1，2，3，记事件W为“甲获得比赛胜利”， 由(1)知，P(Bi)＝，P(i)＝，i＝1，2，3， P(W)＝P(B1B2∪1B2B3∪B12B3)＝P(B1B2)＋P(1B2B3)＋P(B12B3)＝P(B1)P(B2)＋P(1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(2)P(B3)＝×＋××＋××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $