9.2.4 总体离散程度的估计 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是(　　) A．极差 B．平均数 C．方差 D．标准差 解析：选B.平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度、波动大小． 2．甲、乙、丙、丁四名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都相同，标准差分别为3.5，4.62，5.6，6.2，这四名同学在这次篮球比赛中，发挥最稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选A.标准差反映一组数据的波动大小，标准差越小，越稳定， 因为甲的标准差最小，所以甲发挥最稳定． 3．若数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的方差是(　　) A．9 B．10 C．19 D．20 解析：选D.因为数据x1，x2，…，xn的方差是5, 所以数据2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的方差是22×5＝20. 4．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5都为正数，其方差s2＝(x－80)，则样本数据的平均数为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选C.令样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，则s2＝x－2＝(x－80)，因此2＝16，又样本数据均为正数，所以＝4. 5．某地区今年举行了校园足球联赛，赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队(下称甲队)每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队(下称乙队)每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是(　　) A．平均来说乙队比甲队防守效果好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 D．甲队每场比赛必失球 解析：选C.对于A，因为甲队每场比赛平均失球数小于乙队每场比赛平均失球数，所以平均来说甲队比乙队防守效果好，A不正确；对于B，因为甲队每场失球个数的标准差大于乙队每场失球个数的标准差，所以乙队比甲队技术水平更稳定，B不正确；对于C，由题意可知，甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，C正确；对于D，由题中信息可知，甲队未必每次都失球，D不正确． 6．(多选)已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则(　　) A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 解析：选BC.依题意，这组新数据的平均数为＝6，方差为×[2＋(7－6)2]＋×[0＋(1－6)2]＝. 7．一组数据x1，x2，…，x100的平均数为21，方差s2＝0，则这组数据中x12＝________． 解析：因为s2＝ ＝0，所以(x1－21)2＋(x2－21)2＋…＋(x100－21)2＝0，由平方运算的特点可知x1－21＝x2－21＝…＝x100－21＝0，即x1＝x2＝…＝x100＝21，所以x12＝21. 答案：21 8．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝6，方差s2＝21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n＝________． 解析：因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到24(n－1)＝21n，解得n＝8. 答案：8 9．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为________． 解析：甲同学抽取的样本占总样本的比例为＝，乙同学抽取的样本占总样本的比例为＝，总平均数为×5＋×6＝5.4，总方差为×[9.84＋(5－5.4)2]＋×[15.64＋(6－5.4)2]＝12.4. 答案：12.4 10．(13分)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出折线图． (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(6分) (2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？(7分) 解：(1)记甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数为1，乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数为2， 1＝＝195(mm)， 2＝＝194(mm). (2)甲厂10个轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195， 则平均数为 ＝195， 所以方差为 ×[02＋(－1)2＋12＋(－1)2＋12＋02]＝， 乙厂10个轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195， 则平均数为＝195， 所以方差为×[02＋12＋02＋(－1)2＋02＋02]＝， 因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均数一样，但乙厂的方差更小，所以乙厂的轮胎相对更好． 11．四名同学A，B，C，D各抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断出一定有出现点数6的是(　　) A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2 D．平均数为3，方差为2.4 解析：选D.对于A，点数可为1，1，1，2，5，故A错误；对于B，点数可为2，2，3，4，5，故B错误；对于C，点数为1，2，3，4，5即符合条件，故C错误；对于D，因为平均数为3，点数与平均数差的平方为0，1，4，9，根据方差公式可知点数与平均数差的平方和为2.4×5＝12，从而点数与平均数差的平方只能是0，1，1，1，9，所以点数只能为2，2，2，3，6，则出现点数6，故D正确． 12．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，则高三学生每天读书时间的方差s＝________． 解析：由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[s＋(3.3－3)2]，解得s＝3. 答案：3 13．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差最大时被污损的两个数据分别是________和________． 解析：设这组数据的最后2个数分别是10＋x，y(x∈N，x≤9)，依题意，9＋10＋11＋(10＋x)＋y＝50，则y＝10－x，这组数据的方差s2＝×[1＋0＋1＋x2＋(－x)2]＝x2＋≤，当且仅当x＝9时取等号，此时y＝1，所以这组数据的方差最大时被污损的两个数据分别是19，1. 答案：19　1 14．(13分)某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖，学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛，为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛，现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如表： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩；(5分) (2)从考试发挥的稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．(8分) 解：(1)根据题中数据可知， 甲同学的平均成绩 1＝＝85， 乙同学的平均成绩 2＝＝85. (2)由(1)可知1＝2＝85， 甲同学成绩的方差s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝ ×[(－3)2＋(－4)2＋(－6)2＋(－7)2＋102＋32＋82＋(－1)2]＝35.5， 乙同学成绩的方差s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝×[72＋102＋(－5)2＋(－10)2＋(－2)2＋(－5)2＋52＋02]＝41， 所以s<s， 综上所述，甲、乙两名同学平均成绩相同，所以两名同学水平相当； 又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，所以甲比乙的发挥更加稳定． 所以应该选择甲同学参加国赛． 15．(15分)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将10只小鼠均分为两组：对照组(不加药物)和实验组(加药物).测得10只小鼠体重(单位：g)如下： 对照组：20.1 20.1 20.5 20.3 20.5 实验组：20.0 19.9 19.8 20.1 20.2 对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s. (1)求，，s，s；(7分) (2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用(若－≥2，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用).(8分) 解：(1)＝＝20.3 (g)， s＝×[(20.1－20.3)2＋(20.1－20.3)2＋(20.5－20.3)2＋(20.3－20.3)2＋(20.5－20.3)2] ＝0.032， ＝＝20.0 (g)， s＝×[(20.0－20.0)2＋(19.9－20.0)2＋(19.8－20.0)2＋(20.1－20.0)2＋(20.2－20.0)2]＝0.02. (2)－＝0.3，(－)2＝0.09，2＝2＝2，(2)2＝4×0.052＝0.208， 所以－<2，所以该药物对小鼠的生长没有显著的抑制作用． 学科网（北京）股份有限公司 $