9.2.4 总体离散程度的估计(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

9.2.4　总体离散程度的估计 1.A　因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A. 2.D　因为连续8年的亩产量的平均数为×（450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为×[（450－450）2＋（430－450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150. 3.C　由题意可知，这10个数据的平均数为＝ai＝3，方差为s2＝（ai－）2＝（－10）＝（－90）＝6，解得＋＋…＋＝＝150. 4.D　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大. 5.D　由题意可得，xi＝5，x9＝1，x10＝9，则xi＝50，故＝xi＝（xi－x9－x10）＝（50－1－9）＝5，因为x9，x10是波动幅度最大的两个点的值，所以去除x9，x10这两个数据后，整体波动幅度减小，故＞. 6.BD　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2＋…＋（xn－6）2＝n，则＝ ＝9， ＝＝4，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.故选B、D. 7.AB　对于A，甲收费站的平均通行车辆数为≈1 371，乙收费站的平均通行车辆数为≈1 343，故甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数，故A正确；对于B，甲收费站通行车辆数的极差为2 000－800＝1 200，乙收费站通行车辆数的极差为1 800－800＝1 000，故B正确；对于C，甲收费站通行车辆数为800，1 200，1 200，1 200，1 600，1 600，2 000，中位数为1 200，乙收费站通行车辆数为800，800，1 200，1 600，1 600，1 600，1 800，中位数为1 600，故C错误；对于D，通过方差公式计算甲、乙收费站通行车辆数的方差，可以判断甲收费站通行车辆数的方差小于乙收费站通行车辆数的方差，故D错误. 8.265　解析：依题意＝130，＝115，＝110，＝215，∴＝×130＋×110＝115（分），∴全班学生成绩的方差为s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]＝×（115＋225）＋×（215＋25）＝85＋180＝265. 9.5　1.6　解析：设这10个数据分别为：x1，x2，…，x7，x8＝4，x9＝5，x10＝6，根据题意＝5⇒x1＋x2＋…＋x7＝35，＝2⇒（x1－5）2＋（x2－5）2＋…＋（x7－5）2＝14，所以＝＝＝5， s2＝ ＝＝1.6. 10.解：（1）这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90， 这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为＝60， 这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80， 这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为＝60. （2）＝×（30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90）＝60， ＝×（20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80）＝59， ＝×[（30－60）2＋（40－60）2＋（50－60）2＋（50－60）2＋（60－60）2＋（60－60）2＋（70－60）2＋（70－60）2＋（80－60）2＋（90－60）2]＝300， ＝×[（20－59）2＋（40－59）2＋（50－59）2＋（50－59）2＋（60－59）2＋（60－59）2＋（70－59）2＋（80－59）2＋（80－59）2＋（80－59）2]＝349. （3）由（1）可知这两个品种极差和中位数都相等，由（2）可知＞，＜， 则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树. 11.D　设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平均分＝，原方差＝，该同学回归校园后新平均分＝＝＝，即平均分不变.该同学回归校园后新方差＝ ＝＝＜，即方差变小.故选D. 12.AD　对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7，故A正确；对于B选项，若乙地过去10日每天新增疑似病例分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对于C选项，若丙地过去10日每天新增疑似病例分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2＞×（8－2）2＝3.6＞2.6，与条件方差为2.6矛盾，故过去10日，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确. 13.112　解析：由400∶600＝2∶3，不妨设样本由男生2人（x1，x2）和女生3人（y1，y2，y3）组成.由题设得（x1＋x2）＝80，即x1＋x2＝160；（y1＋y2＋y3）＝60，即y1＋y2＋y3＝180，所以样本的平均分＝×（160＋180）＝68，样本的方差s2＝×[10＋（80－68）2]＋×[20＋（60－68）2]＝112，即估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为112. 14.解：（1）＝×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟）， ＝×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟）， ＝×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210）2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝， ＝×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215）2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝. （2）①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5位工作人员进行检查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元）， 每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝15（元）. ②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类， 则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生活垃圾分类， 则A小区一个月至少需要专职人员≈16（位）， 则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为＝64（元）. ③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民，可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户. 综上，方案一的惠民力度大，更值得推广. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.4　总体离散程度的估计 1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（　　） A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 2.（2025·莆田月考）有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年的亩产量（单位：kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为　（　　） A.120 B.80 C.15 D.150 3.（2025·广州月考）若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方差为6，则＋＋…＋＝（　　） A.50 B.100 C.150 D.200 4.已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（　　） 5.如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则（　　） A.＞5，＞ B.＜5，＜ C.＝5，＜ D.＝5，＞ 6.〔多选〕（2025·金华月考）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　） A.这组新数据的平均数为6 B.这组新数据的平均数为9 C.这组新数据的方差为1 D.这组新数据的方差为4 7.〔多选〕春节7天假期期间，高速公路免费通行.如图是某部门统计的甲、乙两个收费站在第n天的通行车辆数量统计图，则下列结论正确的是（　　） A.甲收费站的平均通行车辆数多于乙收费站的平均通行车辆数 B.甲收费站通行车辆数的极差大于乙收费站通行车辆数的极差 C.甲收费站通行车辆数的中位数大于乙收费站通行车辆数的中位数 D.甲收费站通行车辆数的方差大于乙收费站通行车辆数的方差 8.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生方差为　　　　　. 9.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为s2，则＝　　　，s2＝　　　　. 10.（2025·江门模拟）某果园试种了 A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和. A（单位/kg） 60 50 40 60 70 80 70 30 50 90 B（单位/kg） 40 60 50 80 80 50 60 20 80 70 （1）分别求这两个品种产量的极差和中位数； （2）求，，，； （3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 11.在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　） A.平均分变大，方差不变 B.平均分变小，方差不变 C.平均分不变，方差变大 D.平均分不变，方差变小 12.〔多选〕在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2； 丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为2.6. 则一定符合该标志的是（　　） A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 13.某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为　　　　. 14.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230 B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210 （1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差； （2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A小区物业及住户协商，初步实施下列方案： 方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照3 000元（按照28天计算标准）计算； 方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工资按照4 000元（按照28天计算标准）计算. ①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？ ③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $