8.5.2 直线与平面平行 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　) A．有且只有一个 B．有无数多个 C．有且只有一个或不存在 D．不存在 解析：选A.在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．故选A. 2．乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．l⊂α B．l∈α C．l∥α D．l与α相交 解析：选C.由题意得l⊄α，且l平行于乒乓球网的下边缘，而乒乓球网的下边缘在平面α内， 由线面平行的判定定理得l∥α成立． 3．如图所示，在四棱锥PABCD中，M, N分别为PC, AC上的点，且MN∥平面PAD，则下列说法正确的是(　　) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 解析：选B.直线MN⊂平面PAC，MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA， 所以MN∥PA，PA与PD，AD相交，所以MN与PD，AD异面． 4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是(　　) A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 解析：选C.因为BC∥AD，AD⊂平面PAD， BC⊄平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 因为BC⊂平面EFBC， 平面EFBC∩平面PAD＝EF， 所以BC∥EF. 因为BC＝AD，EF＜AD， 所以EF＜BC， 所以四边形EFBC是梯形． 5．在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析：选A.对于A，如图所示，连接BC，取BC中点为O，连接OQ，由中位线性质可知AB∥OQ，且OQ∩平面MNQ＝Q，则AB与平面MNQ不平行，故A满足题意； 对于B，C，由正方体结构特征，易得AB∥MQ，结合线面平行的判定定理，知B，C不满足题意； 对于D，由正方体结构特征，易得AB∥NQ，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意． 6．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形ABCD的对角线的交点为O，M为PB的中点，则(　　) A．OM∥PD B．OM∥平面PAC C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PDC 解析：选ACD.因为矩形ABCD的对角线的交点为O，所以O是BD的中点，又M为PB的中点，所以OM∥PD.因为OM⊄平面PDA，PD⊂平面PDA，所以OM∥平面PDA.因为OM⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以OM∥平面PDC，故A，C，D正确．OM与平面PAC有公共点O，故B错误． 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1所有的棱所在的直线中，与平面CDD1C1平行的直线有_________条． 解析：由题意，如图所示，则与平面CDD1C1平行的直线有AB，BB1，A1B1，AA1，共4条． 答案：4 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，若E是PA上一点，则当点E满足条件：____________时，PC∥平面EBD. 解析：如图，取PA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD交于点O，连接EO，易知EO∥PC.因为EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.即当E为PA的中点时，PC∥平面EBD. 答案：E为PA的中点 9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方形AA1D1D的中心，点Q是正方形A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为____________． 解析：如图，连接AD1，AB1， 因为PQ∥平面AA1B1B， 平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1， 所以PQ∥AB1， 所以PQ＝AB1＝×＝. 答案： 10．(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，G分别为A1C1，BC的中点．证明：C1G∥平面ABE. 证明：取AB的中点H，连接EH，HG，因为G为BC的中点，所以HG∥AC，且HG＝AC，因为E为A1C1的中点，所以EC1∥AC，且EC1＝AC，所以HG∥EC1，且HG＝EC1, 所以四边形EHGC1为平行四边形，所以C1G∥EH.又因为C1G⊄平面ABE，EH⊂平面ABE，所以C1G∥平面ABE. 11．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，从A，B，C，A1，B1，C1中取3个点确定平面α，若平面α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是(　　) A．A1，B，C B．A1，B，C1 C．A，B，C1 D．A，B1，C1 解析：选C.由于几何体ABC-A1B1C1是三棱台，则AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1， 当AB⊂平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB，选项C符合要求． 12．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为__________． 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB. 因为CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，所以CD∥平面SAB. 因为CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面SAB＝EF，所以EF∥CD，则EF∥AB. 因为E为SA的中点，所以F为SB的中点，所以EF＝AB＝1. 因为△SAD是边长为2的等边三角形， 所以DE⊥SA，且DE＝2sin 60°＝， 同理可得CF＝，因此四边形DEFC的周长为3＋2. 答案：3＋2 13．已知菱形ABCD沿对角线BD向上折起后连接AC可以得到三棱锥A-BCD，E，F分别是棱AB，BC的中点，AB＝BD＝2，Q为棱CD上的一点，且DE∥平面AFQ，则＝________． 解析：如图，连接CE，交AF于点M，连接QM， 因为DE∥平面AFQ，DE⊂平面CDE，平面CDE∩平面AFQ＝QM， 所以DE∥QM， 又因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以点M为△ABC的重心， 所以＝， 在△CDE中，由DE∥QM, 有＝＝. 答案： 14．(13分)如图，P是四面体ABCD的边BD上任意一点，E，F分别在AD，CD上，且AE∶AD＝CF∶CD.又BE与AP相交于点R，BF与CP相交于点Q，求证：RQ∥EF. 证明：因为AE∶AD＝CF∶CD， 所以AC∥EF， 因为EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF， 所以AC∥平面BEF. 因为AP∩BE＝R，CP∩BF＝Q， 所以平面ACP∩平面BEF＝RQ， 又因为AC⊂平面ACP，AC∥平面BEF， 所以AC∥RQ，又AC∥EF， 所以RQ∥EF. 15．(15分)如图，正四棱锥P­ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA＝5∶8. (1)在线段BD上是否存在一点N，使MN∥平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；(7分) (2)假设存在满足条件(1)的点N，求线段MN的长．(8分) 解：(1)存在，BN∶ND＝5∶8.理由如下： 假设在线段BD上存在一点N， 使MN∥平面PBC， 连接AN并延长，交BC于点E，连接PE. 因为MN∥平面PBC，MN⊂平面APE， 平面APE∩平面PBC＝PE， 所以MN∥PE， 则＝＝， 因为在正方形ABCD中，AD∥BC， 所以＝＝， 假设成立． 此时BN∶ND＝5∶8. (2)由(1)得BE∶AD＝5∶8，所以BE＝. 在△PBE中，PE2＝PB2＋BE2－2PB·BE cos 60°＝132＋－2×13××＝， 所以PE＝. 因为MN∥PE，所以MN∶PE＝8∶13， 所以MN＝×＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $