8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．在空间中，若两条直线a与b没有公共点，则a与b(　　) A.相交 B．平行 C.异面 D．平行或异面 解析：选D.由题意知在空间中，两条直线a与b没有公共点，即a与b不相交，则a与b可能平行，也可能异面． 2．已知直线a∥直线b，且a与平面α相交，那么b与平面α的位置关系是(　　) A.相交 B．平行或在平面内 C.相交或平行 D．相交或在平面内 解析：选A.因为直线a∥直线b，且a与平面α相交，所以b与平面α相交． 3．已知平面α和平面β平行，若两直线m，n分别在平面α，β内，则m，n的关系不可能是(　　) A.平行 B．相交 C.异面 D．平行或异面 解析：选B.因为平面α和平面β平行，所以平面α和平面β没有公共点，而两直线m，n分别在平面α，β内，所以两直线m，n没有公共点，即两直线m，n不可能相交． 4．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是(　　) A.相交 　　　　 B．平行 C.异面 　　　　 D．相交或异面 解析：选C.取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，PB∩平面GQEF＝P，P∉FQ，所以直线FQ与PB是异面直线． 5．已知a，b为直线，α，β为平面，则下列命题中，正确的是(　　) A.若a∥α，α∥β，则a∥β B．若a∥α，b⊂α，则a∥b C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点 D.若a⊄α，则a与α没有公共点 解析：选C.对于A，若 a∥α，α∥β，则 a∥β或 a⊂β，故A错误； 对于B，若a∥α，b⊂α，则 a∥b或a与b异面，故B错误； 对于C，若a⊂α，则a上的所有点都是a与平面α的公共点，故a与平面α有无数个公共点，故C正确； 对于D，若a⊄α，则 a∥α或a与平面α相交，若a与平面α相交，则a与α有且只有一个公共点，故D错误． 6．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.若直线a不在平面α内，则a∥α B.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α C.若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点 D.平行于同一平面的两直线可以相交 解析：选CD.A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，在长方体ABCD­A1B1C1D1中(图略)，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题． 7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有________条． 解析：由异面直线的定义，知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，所在直线与BD1异面的棱有CD，A1B1，AD，B1C1，AA1，CC1，共6条． 答案：6 8．已知直线a，两个不重合的平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是________． 解析：因为a∥α，a∥β，所以平面α与β相交(如图1)或平行(如图2). 答案：平行或相交 9．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，E，F分别是D1C1，B1B的中点，则平面AEF与平面ABCD的位置关系为________． 解析：因为平面AEF与平面ABCD有公共点A，所以平面AEF与平面ABCD相交． 答案：相交 10．(13分)已知P是空间内一点，a，b，l为直线，α，β为平面，α∩β＝l，a⊂α且a⊄β，b⊂β且b⊄α，a∩b＝P.求证：a与β相交，b与α相交． 证明：如图，因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b， 又b⊂β，所以P∈β. 又a⊄β，所以a与β只有一个公共点P，所以a与β相交．同理，b与α相交． 11．设A，B，C，D是空间中四个不同的点，则下列命题中为真命题的是(　　) A.若AC与BD共面，则AD与BC异面 B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C.若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D.若AB＝AC，DB＝DC，则AD∥BC 解析：选B.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面，故A是假命题；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线，故B是真命题；C中，若AB＝AC，DB＝DC，则AD不一定等于BC，故C是假命题；D中，若AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC相交或异面，故D是假命题． 12．(多选)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中(　　) A.CD∥GH B.AB与EF异面 C.AD∥EF D.AB与CD相交 解析：选ABD.把展开图还原成正方体，如图所示，则点B与D重合，点E与C重合．由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD相交．故选ABD. 13．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个． 解析：正六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系． 答案：4　6 14．(13分)如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线． 证明：方法一：因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，所以点N与点M不重合． 因为N∈平面ABC，P∉平面ABC，MC⊂平面ABC，N∉MC，所以PN与MC为异面直线． 方法二：假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. 因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，所以点M与点N不重合．因为M∈α，N∈α，所以MN⊂α. 因为A∈MN，B∈MN，所以A∈α，B∈α，即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外矛盾．所以假设不成立．故PN与MC为异面直线． 15．(15分)如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论． 解：平面ABC与平面β的交线与l相交． 证明如下： 因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α， 所以AB与l是相交直线． 设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l. 又因为AB⊂平面ABC，l⊂β， 所以P∈平面ABC且P∈β， 即点P是平面ABC与平面β的一个公共点， 而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点， 又因为P，C不重合， 所以直线PC就是平面ABC与平面β的交线， 即平面ABC∩平面β＝PC，而直线PC∩l＝P， 所以平面ABC与平面β的交线与l相交． 学科网（北京）股份有限公司 $