8.4.1 平面 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 A 基础达标 1．当我们停放自行车时，只要将自行车的脚撑放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一个面 B. 不共线的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】选B.自行车前、后轮与脚撑分别接触地面，此时三个接触点不在同一条直线上，所以可以确定一个平面，从而使得自行车在地面上稳定停放.故选B. 2．如果直线 平面 ，直线 平面 ，,,,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为, ,所以 , 又因为, ,所以 , 又，,所以 ， 所以A正确，B错误； ,所以C,D错误. 3．如图,平面 平面,, ,,， ,,直线,过,,三点确定的平面为 ,则平面 , 的交线必过（ ） A. 点 B. 点 C. 点,但不过点 D. 点和点 【答案】D 【解析】选D.根据基本事实3判定点C和点D既在平面 内又在平面 内,故点C，D在 与 的交线上.故选D. 4．在三棱锥的棱，，，上分别取，，，四点，若,则点（ ） A. 一定在直线上 B. 一定在直线上 C. 在直线或上 D. 不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【解析】选B.如图，因为 平面， 平面，，所以 平面， 平面.又平面 平面，所以. 5．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断中正确的是（ ） A. ，，，四点中必有三点共线 B. ，，，四点中不存在三点共线 C. 直线与相交 D. 直线与平行 【答案】B 【解析】选B.两条平行直线、两条相交直线、一条直线及这条直线外一点都分别确定一个平面. 6．[2024·湖南衡阳月考]（多选）已知 , 为两个平面，，，，为四个不同的点，为直线，下列推理正确的是（ ） A. , ,, B. 与 不重合， , , , C. 与 不重合， , D. ,, ,,, ,且，，不共线 , 重合 【答案】ABD 【解析】选.对于A，由基本事实2可知， ,A正确.对于B，由基本事实2可知，直线 ， ,又 与 不重合，所以，B正确.对于C，因为 , , 与 不重合，所以 ,由基本事实3可知 为经过点A的一条直线而不是点A，故 的写法错误，C错误.对于D，因为A，B，不共线，所以由基本事实1可知，过A，B，有且只有一个平面，故 , 重合，D正确. 7．若点在直线上，在平面 内，则，, 之间的关系可记作__________. 【答案】 【解析】因为点（元素）在直线（集合）上，所以.又因为直线（集合）在平面 （集合）内，所以 .所以 . 8．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成__部分. 【答案】21 【解析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分. 9．如图，在正方体中回答下列问题： （1） 平面 平面____________； （2） 平面 平面________. 【答案】（1） （2） 【解析】 9．由题图可知，（1）平面 平面；（2）平面 平面. 10．如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证：直线，，在同一平面内. 证明：因为点，，在同一直线 上，点 不在直线 上. 所以点，，确定唯一的一个平面，设为 ， 所以 ，因为，所以 ，因为,,, ，所以 , , ，即直线，，在同一平面内. B 能力提升 11．如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（ ） A. ,,,四点共面，且 B. ,,,四点共面，且 C. ,,,四点不共面，且 D. ,,,四点不共面，且 【答案】B 【解析】选B.连接,,（图略）,因为 为正方形 的中心，所以.又因为 为 的中点，所以，所以由三角形的中位线定理可知，，所以由推论3知，C,,,四点共面.过点 作 于点，连接（图略），则.过点 作 于点，连接（图略），则，所以.故选B. 12．（多选）如图，在三棱柱中，，分别为棱和上的点（不包括端点），且,则下列结论正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面 C. 平面与平面不相交 D. ，，三点共线 【答案】ABD 【解析】选.对于A，因为，所以，共面，即B，C，，四点共面，故A正确.对于B，, 平面，所以 平面，故B正确.对于C，直线 与直线 相交， 平面， 平面，则平面 与平面 相交，故C错误.对于D，因为, 平面，所以 平面，由B知 平面，又平面 平面，所以,故D正确. 13．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，平面与线段交于点，则________. 【答案】 【解析】如图，延长，交于点，连接 交 于一点，易知该点为点，因为 是 的中点，， 所以 是 的中点，因为 是 的中点，所以，， 因此有，,于是有. 14．如图，已知正方体，，分别是棱，的中点 （1） 画出平面与平面的交线，并说明理由； （2） 设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线. 【答案】 （1） 解： 如图，分别延长，，相交于一点，连接，则直线 即为平面 与平面 的交线，理由如下： 因为,, 平面， 平面，所以 平面， 平面， 即 为平面 和平面 的公共点. 又点 为平面 和平面 的公共点，所以直线 为平面 与平面 的交线. （2） 证明：如图，连接，，. 在正方体 中，因为,且，所以四边形 为平行四边形. 因为 为直线 与平面 的交点，所以. 又 平面，所以 平面， 又 平面，平面 平面， 所以,所以，，三点共线. C 素养拓展 15．[2024·福建泉州期末]已知四面体的所有棱长都是3，点，，分别在棱，，上，，，，平面交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】选C.因为四面体 的所有棱长都是3，，，，所以，，，，，，延长 交 的延长线于点，连接 交 于一点，因为平面 交 于 点，易知该点即为 点.过 作 交 于点，易知 为边长为1的等边三角形，所以 为 的中点，所以，所以，所以，过 作 交 于点，所以 为边长为1的等边三角形，所以，所以，因为，所以，即，所以.故选C. 16．[2024·湖南衡阳期中]如图，在正四棱台中，，，，分别为棱，，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6． （1） 证明：直线，，相交于同一点； （2） 求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积． 【答案】 （1） 证明：在正四棱台 中，因为，，，， 所以四边形，均为梯形，则直线 与 必相交，与 必相交． 延长，，，设 的延长线与 的延长线交于点，的延长线与 的延长线交于点． 在正四棱台 中，，， 则，， 得，所以点，重合， 即直线，，相交于同一点． （2） 解：正四棱台 的体积为． 由题意可得三棱台 的高为6， 则三棱台 的体积为． 故所求几何体的体积为． 学科网（北京）股份有限公司 $