8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为(　　) A．2π B．3π C．4π D． 解析：选A.由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为2， 所以圆锥的侧面积为π×1×2＝2π. 2．某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像(如图)，其下半部分可看成直径约为2 m的球体，则雪人下半部分的体积约为(　　) A． m3 B． m3 C． m3 D． m3 解析：选A.因为球的直径约为2 m，所以球的体积约为×π×13＝. 3．若圆台上、下底面面积分别为π，4π，高为2，则圆台的侧面积为(　　) A． B． C．3π D． 解析：选C.设圆台的上底面半径为r1，下底面半径为r2，因为圆台上、下底面面积分别为π，4π， 所以πr＝π，πr＝4π，解得r1＝1，r2＝2(负值已舍去)， 设圆台母线长为l，由勾股定理得l＝＝， 故圆台的侧面积S＝π(1＋2)＝3π. 4．沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同的圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为(　　) A.π cm3 B．π cm3 C．8π cm3 D．π cm3 解析：选B.由题意可知，这些细沙的体积为××π×32×6＝π (cm3). 5．如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了100 m2，则圆柱的侧面积是(　　) A．100π m2 B．200π m2 C．100 m2 D．200 m2 解析：选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，依题意可得2rh＝100， 所以圆柱的侧面积S侧＝2πrh＝100π(m2). 6．(多选)某公司现为某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则下列结论正确的有(　　) A．R＝3r B．R＝6r C．V2＝9V1 D．2V2＝27V1 解析：选AD.由截面图可以看出，圆柱形包装盒的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r， 圆柱形包装盒的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，V1＝πr3，V2＝πR2h＝18πr3，则有2V2＝27V1. 7．若圆柱的底面半径为1，且其表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为________． 解析：设圆柱的高为h，因为圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍， 所以2π×12＋2πh＝2×2πh，解得h＝1， 所以圆柱的体积为π×12×1＝π. 答案：π 8．若平面α截球O所得圆的半径为1，球的表面积是12π，则球心O到平面α的距离为________． 解析：设球的半径为R，则球的表面积为12π＝4πR2，所以R＝， 因为平面α截球O所得的圆半径为r＝1，所以球心O到平面α的距离d＝＝＝. 答案： 9．如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为________． 解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r＝4， 则2πl＝2×2πr，解得l＝2r＝8， 所以圆锥的表面积为π×8×4＋π×42＝48π. 答案：48π 10．(13分)在如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一周， (1)说明所得几何体的结构特征；(3分) (2)求所得几何体的表面积和体积．(10分) 解：(1)根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一周后， 所得几何体的上部分是圆锥，下部分是圆柱挖去一个半球体的组合体． (2)该组合体的表面积为S组合体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球 ＝π×4×4＋2π×4×4＋×4π×42 ＝π， 该组合体的体积为V组合体＝V圆锥＋V圆柱－V半球 ＝×π×42×4＋π×42×4－××π×43＝. 11．酒是一种礼仪与情感文化，情深意长．每当读起王翰的“葡萄美酒夜光杯”，犹如突然间在人们眼前展现出酒香四溢的盛大宴席．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 解析：选A.前面三个酒杯都是上大下小，观察题图可知，饮酒一半即体积减少一半后剩余酒的高度应该都在中点以上，且下方越小，所剩酒的高度就越高，第二个酒杯是圆锥型，饮酒一半后所剩酒的高度应该最大，第四个酒杯是圆柱型，饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间． 12．已知某圆台的体积为19π，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为10π，则该圆台的高为______． 解析：设圆台的高为h，上、下底面圆的半径为r1，r2， 则由上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为10π， 得 解得 由圆台的体积为19π，得h＝19π，解得h＝3. 答案：3 13．(15分)如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2 cm，圆柱筒的高是2 cm. (1)求这种“浮球”的体积；(7分) (2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆2元，共需花费多少费用？(8分) 解：(1)因为该“浮球”的圆柱筒的底面半径和半球的半径r＝2 cm， 圆柱筒的高h＝2 cm，所以两个半球的体积之和为V1＝πr3＝π×23＝π， 圆柱的体积V2＝πr2h＝π×22×2＝8π， 所以该“浮球”的体积 V＝V1＋V2＝π＋8π＝π. (2)根据题意，上、下两个半球的表面积为S1＝4πr2＝4π×22＝16π ， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为S2＝2πrh＝2π×2×2＝8π ， 所以“浮球”的表面积S＝S1＋S2＝24π. 所以共需花费24π×2＝48π(元). 14．(15分)如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱． (1)求此圆锥的表面积与体积；(6分) (2)试用x表示圆柱的高h′；(3分) (3)当x为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少？(6分) 解：(1)由r＝1，h＝3，得l＝， 所以S侧＝πrl＝π，S底＝πr2＝π， 故S表＝π ，V＝·πr2·h＝π. (2)由相似可得＝， 得h′＝3. (3)记圆柱的表面积为S， 则S＝2πx·h′＋2πx2＝2πx·3＋2πx2＝2π＝－4π＋， 因为0<x<1，所以当x＝时，Smax＝. 15．(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有(　　) A．该圆台轴截面ABCD的面积为6 cm2 B．该圆台的体积为 cm3 C．该圆台的高为3 cm D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm 解析：选BD.由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝(cm)，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，故A错误；圆台的体积为V＝π×(1＋2＋4)×＝(cm3)，故B正确；将圆台补成圆锥OO1，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π， 如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3(cm)，则CP＝＝5(cm)，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确．故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 $