8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体(　　) A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 解析：选C.将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的几何体是由两个同底的圆锥组成的． 2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A.一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：选B.圆面绕着直径所在的轴旋转一周形成球，矩形绕着中间轴旋转一周形成圆柱．故选B. 3．一个圆柱的侧面展开图为正方形，则它的高和底面直径的比为(　　) A．2π∶1 B．1∶2π C．π∶1 D．1∶π 解析：选C.设高为h，底面直径为d，由题意可得h＝πd，可得h∶d＝π∶1. 4．用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为(　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm 解析：选D.由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝＝20(cm). 5．若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为(　　) A．π　　　　　　　 B．2π C．3π D．4π 解析：选A.如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故＝＝＝，可得r＝R＝1，所以截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. 6．(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是(　　) A．圆柱的所有母线长都相等 B．过圆柱底面圆周上一点A作该圆柱的母线，有且只有一条 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 解析：选ABD.圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，所以A正确；由圆柱的结构特征可知，过底面圆周上任意一点都可作一条母线，且只有一条，所以B正确；用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误；一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选ABD. 7．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周所得到的几何体为______________________． 解析：如图，过平行四边形的顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕5 cm边所在直线旋转一周，得到一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱． 答案：一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱 8．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的底面半径为________． 解析：由题可知该圆柱的底面直径为＝2，所以底面半径为. 答案： 9．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，则将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的圆心角为________． 解析：因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线l等于底面圆的直径2r. 将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的半径为l＝2r，弧长为2πr， 所以扇形的圆心角为＝π. 答案：π 10．(13分)一个圆台的母线长为13 cm，两底面面积分别为16π cm2和81π cm2.求： (1)圆台的高；(6分) (2)截得此圆台的圆锥的母线长．(7分) 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，由已知可得上底面半径O1A＝4 cm，下底面半径OB＝9 cm， 又腰长AB＝13 cm, 所以圆台的高为AM＝＝12(cm). (2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO， 可得＝， 解得l＝cm， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 11．如图，圆锥底面半径为3，母线PA＝12，＝，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，则最短路线长度为(　　) A.6 B．16 C．4 D．12 解析：选C.把圆锥侧面沿母线PA剪开，展开在同一平面内得扇形APA′，连接AB，如图， 令扇形APA′圆心角大小为θ，则12θ＝2π×3，解得θ＝，在Rt△PAB中，PB＝PA′＝4， 则AB＝＝＝4， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为4. 12．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　) 解析：选AD.一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或曲线的一部分． 13．(13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积；(6分) (2)若圆M的面积为3π，求OA.(7分) 解：(1)若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径 r＝＝＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝π. (2)因为圆M的面积为3π， 所以圆M的半径r＝， 则OA2＝＋3， 所以OA2＝3，所以OA2＝4， 所以OA＝2. 14．(15分)用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥SO底面圆的半径是2，轴截面SAB的面积是4. (1)求圆锥SO的母线长；(6分) (2)过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值．(9分) 解：(1)因为轴截面SAB的面积为×4×SO＝4，所以SO＝2，所以圆锥SO的母线长l＝＝4. (2)在轴截面SAB中，SO＝2，SA＝4，SO⊥OA，所以∠SAB＝，所以∠ASB＝. 故0＜∠BSC≤. 由三角形的面积公式， 得S△SBC＝×SC×SB sin ∠BSC＝l2sin ∠BSC＝8sin ∠BSC，所以当∠BSC＝时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8. 15．单板滑雪U型场地技巧是指在倾斜的半圆形赛道中滑行及进行跳跃、回转等空中技巧的运动．单板滑雪的U型场地可近似看为圆柱体的一部分(如图)，若一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为(注：sin 53°≈，sin 37°≈)(　　) A. m B. m C. m D. m 解析：选A.设圆柱的底面半径为r m，U型场地的截面图如图1所示，设圆心为O，过点O作OC⊥AD于点C，则在Rt△ACO中，(r－4)2＋＝r2，解得r＝10，所以sin ∠AOC＝＝，所以∠AOC≈53°，所以∠AOD≈106°，所以的长约为×2π×10＝(m).U型场地的展开图如图2所示，连接AB，则从顶端A点滑行到另一顶端B点的最短距离约为 m．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $