8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的(　　) A．2倍　　　　　　 B．12倍 C.18倍 D．36倍 解析：选D.设正方体棱长为a，则其表面积为6a2，故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为6×36a2，扩大到原来的36倍． 2．某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40(单位：厘米)，平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10.某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积(不考虑表面凹槽)为(　　) A.7×104立方厘米 B.7.5×104立方厘米 C.8×104立方厘米 D.8.5×104立方厘米 解析：选B.直四棱柱的底面积S＝××10＝250(平方厘米)，由于铺设长度为300，故V＝Sh＝250×300＝7.5×104(立方厘米). 3．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为(　　) A.8 B．16 C.8 D．16 解析：选C.每个面的面积为×22＝，所以该图形的表面积为8. 4．已知在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝4，AC＝3，AA′＝2，∠BAC＝60°.则直三棱柱ABC­A′B′C′的体积为(　　) A.2 B．2 C．6 D．6 解析：选D.因为在直三棱柱ABC­A′B′C′中AB＝4，AC＝3，AA′＝2，∠BAC＝60°，所以直三棱柱ABC­A′B′C′的体积为×4×3×sin 60°×2＝6. 5．乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为2 cm，盘口正六边形边长为6 cm，侧棱长为5 cm.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05 g涂料，则共需要涂料约为(　　) (不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：≈1.73，≈4.58) A.241 g B．602 g C．702 g D．718 g 解析：选B.盘子侧面等腰梯形的高为＝(cm)， 底面面积为6××22＝6(cm2)， 侧面六个等腰梯形的面积之和为 6××(2＋6)×＝24(cm2)， 所以每个盘子需要涂料的面积为 (6＋24)×2≈240.6(cm2)， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料240.6×0.05×50≈602(g). 6．(多选)已知用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是(　　) A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 解析：选BD.依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26. 7．已知正三棱柱所有棱长都为1，则其表面积为__________． 解析：由题可知，正三棱柱的表面积为×12×2＋1×1×3＝＋3. 答案：3＋ 8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________． 解析：S△DD1E＝DD1×1＝， 又点F到平面DD1E的距离为1， 所以V三棱锥D1-EDF＝V三棱锥F-DD1E ＝S△DD1E×1＝. 答案： 9．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别为60 cm和40 cm，则它的深度为________ cm. 解析：设油槽的上、下底面面积分别为S′，S，高为h. 由V＝(S＋＋S′)h， 得h＝＝＝75(cm). 答案：75 10．(13分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(4分) (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积．(9分) 解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. (2)如图所示，因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm， 所以A1A＝6 cm. 又梯形ABB1A1的高 h′＝＝4(cm)， 所以S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， 所以S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2. 11．已知正三棱锥的高为2，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为(　　) A. B． C. D． 解析：选A.正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图所示． 则＝×a×，解得a＝4(负值已舍去)， 则正三棱锥的底面积为a2＝4， 故三棱锥的体积为×4×2＝. 12．中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体ABCD­A1B1C1D1中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝x，AA1＝2，E为AA1的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足AE＝AF＝AG.已知委角之后的瓶身体积是长方体ABCD­A1B1C1D1体积的，则长方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线长度为__________． 解析：由题易得长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为2x2，AE＝AF＝AG＝1, 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为8×××1＝， 所以×2x2＝， 解得x＝(负值已舍去)， 所以长方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线长度为＝4. 答案：4 13．(13分)如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1­B1CD的体积． 解：因为AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，所以AB＝A1B1＝5. 方法一：由题意可知V三棱柱A1B1C1-ABC＝S△ABC·AA1＝×4×3×4＝24. 又V三棱锥A1-ADC＝×S△ABC·AA1＝S△ABC·AA1＝4. V三棱锥B1-BDC＝×S△ABC·BB1＝S△ABC·BB1＝4. V三棱锥C-A1B1C1＝S△A1B1C1·CC1＝8， 所以V三棱锥A1-B1CD＝V三棱柱A1B1C1-ABC－V三棱锥A1-ADC－V三棱锥B1-BDC－V三棱锥C-A1B1C1＝24－4－4－8＝8. 方法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为点F，由直三棱柱的性质得，CF可以看作三棱锥C-A1B1D的高，在△ABC中，CF＝＝＝. 又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10. 所以V三棱锥A1-B1CD＝V三棱锥C-A1B1D＝S△A1B1D·CF＝×10×＝8. 14．(15分)如图是一个正四棱台ABCD­A1B1C1D1的石料，上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm，高为30 cm. (1)求正四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面积和体积；(7分) (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少立方厘米的水泥？(8分) 解：(1)由题意可知，正四棱台ABCD­A1B1C1D1的体积V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝(202＋402＋)×30＝28 000， 分别取上、下底面的中心O1，O，B1C1，BC中点M，N，连接OO1，O1M，ON，MN，作MH⊥ON于点H， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则O1O＝MH＝30 cm，O1M＝10 cm， ON＝20 cm，HN＝10 cm， 可得MN＝＝ ＝10， 所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的表面积 S＝202＋402＋4×××10 ＝(2 000＋1 200)(cm2). (2)延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P， 可知＝＝， 则＝＝， 可得V正四棱锥P­A1B1C1D1＝V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝4 000 ，所以该同学至少需要准备4 000 cm3的水泥． 15．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为1，高为3，已知F为棱AA1的中点，D，E分别在棱B1B，C1C上，BD＝2，CE＝1，记四棱锥A1­B1C1ED，三棱锥F­A1DE与三棱锥A­DEF的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A.V1<V2　　　　 B．V2<V3 C.V1＝V2＋V3 D．2V1＝3V2 解析：由题意知，V1＝V四棱锥A1-B1C1ED＝××S四边形B1C1ED＝×××1＝， V2＝V三棱锥F-A1DE＝V三棱锥D-A1EF＝××S△A1EF＝××××1＝， V3＝V三棱锥A-DEF＝V三棱锥D-AEF＝××S△AEF＝××××1＝. 所以V1＝V2＋V3，V1>V2＝V3，2V1>3V2. 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $