8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.B　依题意，正三棱台的高h＝＝1. 2.D　设直棱柱的高为h，则＝4，解得h＝2，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16. 3.C　∵V三棱锥C-A'B'C'＝V三棱柱ABC-A'B'C'＝，∴V四棱锥C-AA'B'B＝1－＝. 4.D　设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110. 5.A　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝.取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，∴S△ADG＝S△BCH＝××2＝，∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱锥E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝××1×2＋×2＝. 6.BD　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26. 7.BC　过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足分别为M，N，如图所示，则AM＝AC＝，AN＝AB＝1，可得A1M＝＝，A1N＝＝.对于A，在Rt△AA1N中，可得sin∠A1AN＝＝，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝，故A错误；对于B，正四棱台的高即为A1M＝，故B正确；对于C，正四棱台的体积V＝×（4×4＋2×2＋）×＝，故C正确；对于D，四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4×＝20＋12，故D错误. 8.a3　解析：＝，∵＝EA1·A1D1＝a2，三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，∴＝×a2·a＝a3，∴＝a3. 9.72　解析：如图，正六边形的每个内角为120°，按虚线处折成高为的正六棱柱，即BF＝，所以BE＝＝1，可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，则正六棱柱的底面积为S＝6××4×4×＝24，所以正六棱柱的体积V＝24×＝72. 10.解：（1）由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. （2）如图所示， ∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm， ∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h'＝＝4（cm）， ∴S棱台侧＝6××4＝144（cm2）， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝（144＋120）cm2. 11.D　因为正方体的面对角线长为a，则其棱长为a，图2所示的几何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，上、下底面是长和宽分别为a和a的矩形，其面积均为a×a＝a2，前、后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2××a×a＝a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝a2，则此几何体的表面积为2（a2＋a2＋a2）＝（4＋2）a2. 12.B　如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，得四棱锥的体积为a2h＝1，即a2h＝3，三棱柱的体积为ahb＝3，即abh＝6，因此b＝2a，于是长方体的体积V＝b2h＝4a2h＝12，所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28. 13.282＋54　解析：由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6＝96（cm2），底面积为6×6＝36（cm2），正方形EFGH的面积为3×3＝9（cm2）.梯形ABFE的高为＝（cm），故正四棱台的侧面积为4××（3＋6）×＝27（cm2），故该模型的表面积为96＋36＋9＋27＝（141＋27）cm2，故所需金属膜的质量为2×（141＋27）＝（282＋54）mg. 14.证明：如图，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，AA'＝h， 故a＋c＞b，a＋b＞c，b＋c＞a， 直三棱柱三个侧面面积分别为 S1＝ah，S2＝bh，S3＝ch， ∴ah＋bh＝（a＋b）h＞ch， ah＋ch＝（a＋c）h＞bh， bh＋ch＝（b＋c）h＞ah， 即直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积. 15.解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V＝aS， 当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则＝aS＝V， ∵＝＝，且＋＝V， ∴＝V， ∴＋＝V＋V＝V， ∴罐内液体车油最多还能剩V L. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（　　） A. B.1 C. D. 2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　） A.8 B.16 C.8＋12 D.8＋16 3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（　　） A. B. C. D. 4.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为（　　） A.80 B.90 C.100 D.110 5.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为（　　） A. B.4 C. D.2 6.〔多选〕用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分几何体的说法正确的是（　　） A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 7.〔多选〕已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（　　） A.∠A1AB＝ B.高为 C.体积为 D.表面积为12 8.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为　　　　. 9.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是　　　　. 10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1和较小的棱锥P-A1B1C1D1E1F1. （1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； （2）若大棱锥P-ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 11.如图1所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　） A.（1＋2）a2 B.（2＋）a2 C.（3＋2）a2 D.（4＋2）a2 12.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.如图1为俯视图，图2为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，求该正四棱台的体积（　　） A.24 B.28 C.32 D.36 13.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为　　　　mg. 14.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积. 15.某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多还能剩多少. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $