8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．下列几何体中，棱数最多的是(　　) A.五棱锥 B．三棱台 C.三棱柱 D．四棱锥 解析：选A.因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，故选A. 2．下列关于棱柱的说法错误的是(　　) A.三棱柱的底面为三角形 B.一个棱柱至少有五个面 C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 解析：选C.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；由棱柱的定义知，D正确． 3．下面的四个长方体中，是由上边的平面图形围成的是(　　) 解析：选D.由长方体的展开图可得符合的长方体为D. 4．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个五棱柱的体对角线的条数为(　　) A.20 B．15 C．12 D．10 解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的体对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的体对角线均有两条，则一个五棱柱共有5×2＝10条体对角线． 5．如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则拼成一个棱长为6的正方体，需要这样的几何体的个数为(　　) A.2 B．3 C．4 D．5 解析：选B.把该几何体沿题图中虚线折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为如图正方体中的四棱锥P­ABCD，且底面四边形ABCD是边长为6的正方形，由图可知正方体ABCD­A1B1C1P即为棱长为6的正方体，且它可看作是由三个形状相同的四棱锥P­ABCD，P­A1B1BA，P­BCC1B1组合而成的． 6．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是(　　) A.A与B 　　　 B．D与E C.B与D 　　　 D．C与F 解析：选ABD.将平面展开图还原为正方体如图所示．所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F.故选ABD. 7．若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________________________cm. 解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，所以每条侧棱长为＝12(cm). 答案：12 8．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________． 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方，即1∶4. 答案：1∶4 9．已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°.E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为________． 解析：△AEF的周长即为AE，EF，FA三条线段长的和，作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示．当A，E，F，A′四点共线时，△AEF的周长取得最小值，由题意得∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，所以∠APA′＝90°，AA′＝＝2.所以△AEF周长的最小值为2. 答案：2 10．(13分)试从如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中取若干个顶点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号将其表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(4分) (2)四个面都是等边三角形的棱锥；(5分) (3)三棱柱．(4分) 解：(1)如图1所示，三棱锥A1­AB1D1.(答案不唯一) (2)如图2所示，三棱锥B1­ACD1.(答案不唯一) (3)如图3所示，三棱柱ABD­A1B1D1.(答案不唯一) 11．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台上、下底面的距离为(　　) A.12 B．9 C.6 D．3 解析：选D.设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得()2＝，则h＝6(负值已舍去)， 所以棱台上、下底面的距离为6－3＝3. 12．(多选)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，则(　　) A.几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体 B.几何体ABCD­A1EFD1是一个四棱台 C.几何体AA1EB­DD1FC是一个四棱柱 D.几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱 解析：选ACD.因为几何体ABCD­A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故几何体ABCD­A1EFD1不是四棱台，故B错误；在长方体ABCD­A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，故四边形EB1C1F为平行四边形，所以EF＝B1C1，所以EF綉B1C1綉BC.因为几何体AA1EB­DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB­DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱，故C，D正确． 13．(13分)如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？(6分) (2)若正方形边长为2a，则折起后每个面的三角形面积为多少？(7分) 解：(1)根据题意，将正方形ABCD沿题图中虚线将3个三角形折起，使得A，B，C三点重合，可得如图所示的一个三棱锥． (2)由(1)知，其中△DEP为直角三角形， 面积为S△DEP＝PD·PE＝×2a×a＝a2； △DFP为直角三角形，面积为 S△DFP＝PD·PF＝×2a×a＝a2； △PEF为直角三角形，面积为 S△PEF＝PE·PF＝×a×a＝a2； △DEF为等腰三角形，且DE＝DF＝a，EF＝a，可得EF边上的高h＝a，所以面积为S△DEF＝EF·h＝×a×a＝a2. 14．(15分)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值． 解：把长方体的部分面分别按A1B1，B1B，BC展开，分别如图1、图2、图3所示． 对图1、图2、图3三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，，， 由此可见图2是最短路线，所以甲壳虫在长方体中的最短爬行路线如图4所示，即其可以先在长方形ABB1A1内由A到E，且BE＝BB1，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，且DF＝DD1，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为. 15．(多选)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是(　　) A.共有20个正六边形 B.共有10个正五边形 C.共有90条棱 D.共有32个面 解析：选ACD.由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，则＋(m＋n)－＝2，顶点数V＝＝60，解得m＝12，n＝20，所以A正确，B错误；棱数E＝＝90，所以C正确；面数F＝m＋n＝32，所以D正确．故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $