章末综合检测(二)复数（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知z＝－1－i，则＝(　　) A．0　　　 B．1 C．　　　 D．2 解析：选C .若z＝－1－i， 则＝＝. 2．已知z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则z2＝a＋i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.复数z1＝(a＋1)－2i为纯虚数，则a＋1＝0，则a＝－1，所以z2＝－1＋i， 所以复数z2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限． 3．已知a，b∈R，(1＋ai)i＝3＋bi(i为虚数单位)，则a＋b＝(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 解析：选C.由(1＋ai)i＝3＋bi可得－a＋i＝3＋bi，故因此a＋b＝－2. 4．若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选C.方法一(解方程法)：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C. 方法二(取倒数法)：因为＝1＋i， 所以＝， 即1－＝＝－i， 即＝＋i＝， 所以z＝＝1－i，故选C. 5．在复平面内，若i是虚数单位，表示复数z与的点关于实轴对称，则z＝(　　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 解析：选D.由＝＝1＋i，则该复数在复平面对应点的坐标为(1，1)，又(1，1)关于实轴对称的点的坐标为(1，－1)，则z＝1－i. 6．已知复数z，则“＝1”是“z＋∈R”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设z＝a＋bi，a，b∈R，＝＝1，即a2＋b2＝1， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a∈R，故充分性成立； 反过来，若z＋∈R，举例，z＝2时，z＋∈R，但＝2，故必要性不成立． 所以“＝1”是“z＋∈R”的充分不必要条件． 7．已知α，β是关于x的方程x2＋x＋a＝0(a∈R)的两根，则下列说法错误的是(　　) A．若a>，则α，β是一对共轭复数 B．若a＝1，则α3＝β3＝1 C．对∀a∈R，α＋β＝－1 D．对∀a∈R，＝ 解析：选D.对于A，Δ＝1－4a，当a>时，Δ<0，则方程有两个共轭虚根，所以α＝，A正确； 对于B，若a＝1，则Δ＝－3<0，设α，β是x2＋x＋1＝0的两个共轭虚根， 又x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)， 所以α3＝β3＝1，B正确； 对于C，由求根公式可知x2＋x＋a＝0的两根分别为(Δ≥0)，或(Δ<0)， 所以α＋β＝－1，所以C正确； 对于D，当Δ>0时，比如a＝－2时，此时α＝1，β＝－2，所以≠，D错误． 8．在复平面内，复数z1，z2分别对应点Z1，Z2，复数z1的虚部为3，复数z2满足条件|z2－1＋2i|＝1 ，则|z2－z1|的最小值为(　　) A．0 B．4 C．5 D．6 解析：选B.由复数z1的虚部为3，可知在复平面内，复数z1对应的点在直线y＝3上， 又复数z2满足条件|z2－1＋2i|＝1，可得复数z2对应的点在以C(1，－2)为圆心，半径为1的圆上．而|z2－z1|＝|2－1|＝|Z1Z2|＝||则表示直线y＝3上的点到圆C上的点的距离．如图所示， 则当点C，Z2，Z1共线(Z2在C，Z1之间)且CZ1与直线y＝3垂直时距离最小，|z2－z1|min＝3－(－2)－1＝4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是(　　) A．若z1＋z2＝0，则z1＝0且z2＝0 B．若＋＝0，则z1＝0且z2＝0 C．若＝，则向量1和2重合 D．若＝0，则1＝2 解析：选BD.对于A中，z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2，故A错误； B中，＋＝0，说明＝＝0， 即z1＝z2＝0，故B正确； C中，＝，说明＝，但1与2方向不一定相同，故C错误； D中，＝0，则z1＝z2，故1＝2，D正确． 10．复数z满足z2＋4＝0，则(　　) A．z为纯虚数 B．＝2 C．z的实部不存在 D．复数z＋z2在复平面内对应的点在第二象限 解析：选AB.由z2＋4＝0，解得z＝－2i或z＝2i，故z为纯虚数．＝2，z的实部为0，不是不存在，z＋z2＝－4±2i则复数z＋z2在复平面内对应的点为(－4，2)或(－4，－2)，则对应的点在第二象限或第三象限． 11．已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是(　　) A．若z＝0，则z1＝0 B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 C．|z1－iz1|＝|z1＋iz1| D．＝1＋2 解析：选ACD.对于A，z＝0，则|z|＝|z1|2＝0，解得|z1|＝0，即z1＝0，故A正确； 对于B，取z1＝i，z2＝1，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故B错误； 对于C，|z1－iz1|＝|z1(1－i)|＝|1－i||z1|＝|z1|，|z1＋iz1|＝|z1(1＋i)|＝|z1|·|1＋i|＝|z1|，故C正确； 对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i，＝a＋c－(b＋d)i，1＋2＝a－bi＋c－di＝a＋c－(b＋d)i，所以＝1＋2，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，且满足|z＋|＝|z－|＝|z|2，则复数z＝________． 解析：由题意设z＝a＋bi(a，b∈R，a<0，b>0)，则＝a－bi. 因为|z＋|＝|z－|＝|z|2， 则|2a|＝|2bi|＝a2＋b2，即|a|＝|b|＝， 解得|a|＝|b|＝1. 因为a<0，b>0，所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i. 答案：－1＋i 13．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2－i)是纯虚数，则实数a＝__________． 解析：由复数(1＋ai)(2－i)＝(2＋a)＋(2a－1)i， 因为复数(1＋ai)(2－i)是纯虚数，可得解得a＝－2. 答案：－2 14．已知i是虚数单位，复数z满足z(1－i)＝1＋i，则＝____________． 解析：z＝＝＝＝i，所以＝－i. 答案：－i 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)已知m∈R，复数z＝(m2－m－2)＋(m2＋3m＋2)i. (1)若z为纯虚数，求；(6分) (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数m的值．(7分) 解：(1)由于复数z＝(m2－m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数， 所以 解得m＝2，此时z＝12i， ＝＝＝. (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限， 则 解得－1<m<2， 故整数m的值有0，1. 16．(本小题满分15分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根． (1)求b，c的值；(7分) (2)试判断1－i是不是方程的根．(8分) 解：(1)由1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0， 而b，c为实数，解得 所以b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，因此方程成立，所以1－i是方程的根． 17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)1＝11＋2i. (1)求z1；(7分) (2)若复数z满足＝2，z在复平面内对应的点为Z，且点A(－1，0)，B(1，0)，求·的取值范围．(8分) 解：(1)设z1＝a＋bi，a，b∈R，则1＝a－bi，所以(1＋2i)(a－bi)＝a＋2b＋(2a－b)i＝11＋2i， 即所以即z1＝3＋4i. (2)设z＝m＋ni(m，n∈R)，则z在复平面内对应的点为Z(m，n)，由(1)知z1＝3＋4i，又因为＝2，所以Z(m，n)在以(3，4)为圆心，2为半径的圆上，即 所以·＝(－4－2cos θ，－4－2sin θ)·(－2－2cos θ，－4－2sin θ)＝16sin θ＋12cos θ＋28＝20sin (θ＋φ)＋28∈[8，48]，tan φ＝， 即·的取值范围是. 18．(本小题满分17分)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－ai(a∈R，i是虚数单位). (1)若z1－z2在复平面内对应的点落在虚轴上，求实数a的值；(7分) (2)若z2是实系数一元二次方程x2－(a＋1)x＋n＝0的根，且z＋mz1(m∈R)是实数，记z＝＋＋，求的值．(10分) 解：(1)因为复数z1＝a＋i，z2＝1－ai， 所以z1－z2＝a－1＋(a＋1)i， 其对应的点为(a－1，a＋1)， 由题意a－1＝0，解得a＝1. (2)由题意知x2－(a＋1)x＋n＝0的两根分别为1－ai，1＋ai， 所以 所以所以z1＝1＋i，z2＝1－i， 因为z＋mz1＝(a＋i)2＋m(a＋i)＝(1＋i)2＋m＋mi＝m＋(2＋m)i为实数， 所以2＋m＝0，即m＝－2， 所以z＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝1＋＝－i， 所以＝＝. 19．(本小题满分17分)eix＝cos x＋isin x被称为“欧拉公式”，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. (1)已知z1＝，z2＝2，求z1z2；(5分) (2)已知O为坐标原点，z1＝i，z2＝1－i，且复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，点C在AB上，且＝2，求；(5分) (3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： cos 2x＋isin 2x＝ei(2x)＝(eix)2＝(cos x＋isin x)2＝cos2x－sin2x＋i·2sinx cos x， 所以cos 2x＝cos 2x－sin 2x， sin 2x＝2sin x cos x. 类比上述过程，求出sin 3x，cos 3x.(将sin 3x表示成sin x的式子，将cos 3x表示成cos x的式子).(7分)(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3) 解：(1)由题意可知 z1z2＝×2 ＝×2 ＝3＝3i. (2)因为z1＝i，z2＝1－i， 则点A(0，1)，B(1，－1)， 可得＝(0，1)，＝(1，－2)， 则＝＋＝＋ ＝(0，1)＋(1，－2)＝， 所以＝＝. (3)由题意可得cos 3x＋isin 3x＝ei(3x)＝(eix)3 ＝(cos x＋isin x)3 ＝cos 3x＋3cos2x(isinx)＋3cos x(isin x)2＋(isin x)3 ＝cos 3x－3cos x sin2x＋i(3cos2x sinx－sin3x) ＝cos3x－3cosx＋i[3sinx－sin3x] ＝4cos3x－3cosx＋i(3sin x－4sin3x)， 所以sin3x＝3 sin x－4sin 3x，cos 3x＝4cos3x－3cosx. 学科网（北京）股份有限公司 $