第10章 概率 章末综合检测（五）（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末综合检测（五） （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】选C.由题意得所有样本点为（数学，计算机），（数学,航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个. 2．从2，4，6，8中任取2个不同的数，，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.从2，4，6，8中任取2个不同的数，，样本空间 共有12个样本点，“”包含的样本点有,，,共4个，所以所求概率为. 3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“朝上的面的点数是1或2”，事件“朝上的面的点数是2或3”，则（ ） A. B. C. “朝上的面的点数是1或2或3” D. “朝上的面的点数是1或2或3” 【答案】C 【解析】选C.由题意可知，，，，，所以，，2，，则“朝上的面的点数是1或2或3”，“朝上的面的点数是2”，故A，B，D错误，C正确． 4．假设，，且与相互独立，则（ ） A. 0.7 B. 0.9 C. 0.2 D. 0.5 【答案】A 【解析】选A.因为A与B相互独立，所以 与 也相互独立，所以.故选A. 5．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是，，，，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则的最大值是（ ） A. 0.6 B. 0.79 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】选B.因为甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，所以，解得.所以 的最大值是0.79.故选B. 6．已知某口袋中放有大小、质地完全相同的红球和白球各若干个．若有放回地从口袋中每次摸取1个球，连续摸两次，记两次摸到的小球颜色不同的概率为，两次摸到的小球颜色相同的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设口袋中有红球 个，白球 个，则两次摸到的小球颜色不同的概率,两次摸到的小球颜色相同的概率．因为，，所以,当且仅当 时等号成立,所以. 7．从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：克）的频数分布表如下： 分组 频数 5 10 20 15 用比例分配的分层随机抽样方法从质量在和内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由于题表中，两组的频数之比为，故抽取的4个苹果中质量在 内的有（个），记为,质量在 内的有（个），记为，，，任取2个，有，，，,，，共6个样本点，其中有1个苹果的质量在 内的样本点有，，，共3个，所以所求概率为. 8．甲、乙两名同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A. 甲得9张，乙得3张 B. 甲得6张，乙得6张 C. 甲得8张，乙得4张 D. 甲得10张，乙得2张 【答案】A 【解析】选A.由题意得，骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为（张），乙得到的游戏牌为（张）.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论中正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】选.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，. 对于A，2个球都是红球为，其概率为，故A正确； 对于B，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B错误； 对于C，2个球至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D，2个球中恰有1个红球的概率为，故D正确.故选. 10．一个质地均匀的正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，2，3，4，5，6，7，，定义事件，2，3，，事件，5，6，，事件，5，6，，则（ ） A. B. C. D. 事件，,两两相互独立 【答案】BC 【解析】选.对于A,因为，2，3，4，5，6，，所以,故A错误；对于B,因为,所以，故B正确；对于C,因为,所以，又,所以,故C正确；对于D,,所以事件A，B，C不是两两相互独立,故D错误. 11．某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人），则下列说法错误的是（ ） 满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意） 1 1 6 2 3 2 A. 满意度为0.56 B. 不满意度为0.1 C. 三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐 D. 从点餐不满意的顾客中任意选取2人，则两人都是中年人的概率是 【答案】BC 【解析】选.满意度为，故A中说法正确；不满意度为，故B中说法错误；老年人中选择自助餐的比例为，中年人中选择自助餐的比例为，青年人中选择自助餐的比例为，因为，所以中年人更倾向于选择自助餐，故C中说法错误；因为点餐不满意的顾客中，老年人有1人（记为老），中年人有2人（记为中1，中2），青年人有2人（记为青1，青2），一共有5人，所以从点餐不满意的顾客中任意选取2人，所有可能的结果有（老，中1），（老，中2），（老，青1），（老，青2），（中1，中2），（中1，青1），（中1，青2），（中2，青1），（中2，青2），（青1，青2），共10种，则两人都是中年人的概率是，故D中说法正确.故选. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，，则为整数的概率是________. 【答案】 【解析】从2，3，8，9这4个数中任意取2个数字，记为，，有12种取法，分别为，，，，，，，，，，，，其中能使 为整数的有,，故所求概率为. 13．在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟的方法估计三只豚鼠被感染的概率：先由计算机产生之间的整数随机数，指定1,2,3,4表示被感染，5,6,7,8,9,0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计“三只豚鼠中至少一只被感染”的概率为____. 【答案】0.75 【解析】由题意，事件“三只豚鼠中至少一只被感染”的对立事件为“三只豚鼠都没有被感染”，随机数中满足三只豚鼠都没有被感染的有907,966,569,556,989，共5组，故“三只豚鼠都没有被感染”的概率为，则“三只豚鼠中至少一只被感染”的概率为. 14．产品质量检验过程主要包括进货检验、生产过程检验、出货检验三个环节.已知某产品单独通过率为，单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入的概率为，则________. 【答案】 【解析】设 表示“第 次通过”，表示“第 次通过”. 由题意知，， 即，解得 或（舍去）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同）. （1） 在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率； （2） 求从这6名同学中选出的2名同学中至少有1名女同学的概率. 【答案】（1） 解：依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为. （2） 设,,,表示参加摄影社的男同学，,表示参加摄影社的女同学， 则从6名同学中选出2名同学共有15种等可能的结果：,,,,,,,,,,,,,,, 其中至少有1名女同学的结果有9种：,,,,,,,,，根据古典概型计算公式，从6名同学中选出的2名同学中至少有1名女同学的概率为. 16．（本小题满分15分）为了了解某市社区开展群众体育活动的情况，拟采用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三个区抽取7个社区进行调查．已知，，三个区分别有18,27,18个社区． （1） 求从，，三个区分别抽取的社区个数； （2） 若从抽得的7个社区中随机抽取2个进行调查结果对比，求这2个社区中至少有1个来自区的概率． 【答案】（1） 解：由题意，得社区总数为，样本容量与总体中的个体数的比为，所以从，，三个区分别抽取的社区个数为2,3,2. （2） 设，为在 区中抽取的2个社区，，，为在 区中抽取的3个社区，，为在 区中抽取的2个社区，在这7个社区中随机抽取2个，样本点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个， 则随机抽取的2个社区中至少有1个来自 区的样本点有，，，，，，，，，，，共11个，所以这2个社区中至少有1个来自 区的概率. 17．（本小题满分15分）规定肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2 000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图. （1） 求的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数； （2） 用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标； （3） 从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲、乙购买哪条鱼互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量超标的概率． 【答案】（1） 解：由，解得.则这200条鱼汞含量的样本平均数为. （2） 样本中鱼体汞含量在 内的频率为. 则估计进口的这批鱼中共有 条鱼汞含量超标. （3） 由（2）可知，样本中鱼体汞含量在 内的频率为. 则顾客甲购买的鱼中存在汞含量超标的鱼的概率为，顾客乙购买的鱼汞含量超标的概率为.则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为. 18．（本小题满分17分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表： 第一轮 甲乙 丙丁 第二轮 甲丙 乙丁 第三轮 甲丁 乙丙 规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线（进入下一赛段）．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1） 求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由； （2） 若第一轮比赛结束时，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率． 【答案】 （1） 解：记事件“第 轮比赛丁胜”，“第 轮比赛丁平局”，“第 轮比赛丁负”． 丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平， 记事件“丁三轮比赛两胜一平”， 则. 丁总分7分一定出线. 理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多为6分,小组赛两队出线，所以丁一定出线． （2） 第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁．又丁总分为6分，所以丁对战甲、乙都获胜，此时乙总分最多为3分，少于丁总分． ①第二轮中若甲负丙或平丙，则甲总分最多为4分，少于丁总分，此时甲、乙少于丁总分，丁一定出线，其相应的概率. ②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负乙，则丙总分最多为4分，此时丙、乙少于丁总分，丁一定出线，其相应的概率． ③第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙胜乙，则甲、丁、丙总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为， 则丁出线的概率． 综上，丁以6分出线的概率为. 19．（本小题满分17分）某知识竞答类节目中，把所有的选手分成，两组，每组选一名代表在本组的白板上答题，规定每局比赛两组回答同一道题，若都答对或都答错则两组都不计分，若只有一个小组回答正确，则回答正确的小组计1分，回答错误的小组不计分．直至其中一组比另一组高2分，比赛结束，计分高的小组获胜．设每局比赛中，组计1分的概率为 ，组计1分的概率为 ,两组都不计分的概率为 ，，，，，且每局比赛结果相互独立． （1） 若进行2局比赛后组获胜的概率为，进行3局比赛后组获胜的概率为，求 ， , ; （2） 请从下面两个问题中任选一个进行解答． ①当时，若比赛4局后组获胜的概率比组获胜的概率大，求 的取值范围; ②当时，若比赛不限制局数，记“组获胜”为事件，证明：. 注：若选择多个问题分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1） 解：记“每局比赛中 组计1分”为事件,“每局比赛中 组计1分”为事件，“每局比赛中两组都不计分”为事件, 则 ， ， ， 记“进行2局比赛后 组获胜”为事件, 则， 解得， 记“进行3局比赛后 组获胜”为事件,则,解得， 又，，，， 则. （2） 若选择问题①： 因为，所以每局比赛结果仅有“组计1分”或“组计1分”两种情况，所以. 记“进行4局比赛后 组获胜”为事件, 则 , 记“进行4局比赛后 组获胜”为事件, 则 , 因为，所以 ， 即,所以，又， 解得. 若选择问题②： 证明：因为，所以每局比赛结果仅有“组计1分”或“组计1分”两种情况，所以. 由题意,进行2局比赛后的结果可能有三种，分别为 组计2分，组计2分，，组各计1分， 当，组各计1分后，组获胜的概率也是,故． 所以， 即， 因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $