7.2.2 复数的乘、除运算 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．(2－i)(1－4i)＝(　　) A．－9－2i B．－2－9i C.6－9i D．2－9i 解析：选B.易知(2－i)(1－4i)＝2－8i－i＋4i2＝－2－9i. 2．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A.－i B．i C．－1 D．1 解析：选A.＝＝－i. 3．复数的共轭复数是(　　) A.1＋i B．＋i C.1－i D．－i 解析：选C.令z＝＝＝＝1＋i.所以z的共轭复数是1－i. 4．已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为(　　) A.1 B．0 C.－ D．－1 解析：选C. 因为z1·z2＝2a＋1＋(a－2)i，所以2a＋1＝0且a－2≠0，解得a＝－. 5．已知a，b∈R，＋＝1，若z＝a＋bi，则＝(　　) A.1 B． C． D．2 解析：选B.化简可得(a＋b)＋(b－a)i＝2，根据复数相等的定义，得解得则z＝1＋i，＝1－i，所以＝. 6．(多选)若复数z＝，则(　　) A.z的共轭复数＝ B.＝ C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 解析：选ABD. z＝＝＝＝＝－. 对于A，＝＋＝，故A正确； 对于B，＝＝，故B正确； 对于C，z＝－，实部为，虚部为－，故C错误； 对于D，z＝－在复平面对应点的坐标为在第四象限，故D正确． 7．＝__________． 解析：易知＝＝＝1－i. 答案：1－i 8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则z(＋i)＝__________． 解析：因为复数z对应的点的坐标为(2，－1)， 所以z＝2－i，则＝2＋i， 所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i. 答案：6＋2i 9．设复数z1和z2分别是方程x2＋x＋4＝0的两个根，则＝_______． 解析：由x2＋x＋4＝0可得＝－＝，可得x＋＝±i， 不妨取z1＝－＋i，z2＝－－i， 所以z1－z2＝i，因此＝. 答案： 10．(13分)(1)计算：＋；(6分) (2)已知z－3i＝4＋6i，求复数z.(7分) 解：(1)原式＝＋＝i(1＋i)＋(－i)1 012＝－1＋i＋1＝i. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z－3i＝4＋6i得，(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝4＋6i，即a2＋b2－3b－3ai＝4＋6i， 所以解得或 所以z＝－2或z＝－2＋3i. 11．(多选)已知复数z满足z2－z＋1＝0，则下列结论正确的是(　　) A.|z|＝1 B．z2＝ C.z2＋＝0 D．z3＝1 解析：选AC.对于A，由已知得＝－， 所以z＝±i，所以＝∓i，所以|z|＝1，故A正确； 对于B，z2＝z－1＝－±i≠，故B不正确； 对于C，当z＝＋i时，z2＝－＋i，＝－i，此时z2＋＝0， 当z＝－i时，z2＝－－i，＝＋i，此时z2＋＝0，故C正确； 对于D，由已知得z3＝z·z2＝z(z－1)＝－1，故D不正确． 12．(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 解析：设z＝1＋bi，b∈R且b≠0. 则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m， 因为m∈R，所以解得m＝2. 答案：2 13．(13分)已知复数z满足z(1＋i)＝4i. (1)求；(6分) (2)若z是方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的一个根，求a＋b的值．(7分) 解：(1)由z(1＋i)＝4i得z＝＝＝2i(1－i)＝2＋2i， 则＝2－2i. (2)由(1)知＝2－2i， 所以 解得所以a＋b＝4. 14．(15分)已知复数z＝m－i(m∈R)，且·(1＋3i)为纯虚数(是z的共轭复数). (1)设复数z1＝，求；(7分) (2)复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为z＝m－i(m∈R)，则＝m＋i， 所以·(1＋3i)＝(m＋i)(1＋3i)＝(m－3)＋(3m＋1)i为纯虚数， 所以解得m＝3. 所以z1＝＝＝＝＝－＋i， 因此＝＝. (2)因为i2 025＝i4×506+1＝i， 则z2＝＝＝＝＋i， 因为复数z2在复平面内对应的点位于第四象限， 则解得－<a<3. 因此实数a的取值范围是. 15．(多选)已知复数z1，z2(z2≠0)，下列命题中正确的是(　　) A.若z∈R，则z1∈R B.若∈R，则1z2∈R C.若＝2z2，则z11＝4 D.若z1z2＝，则z1＝z2 解析：选BC.对于A，取z1＝i，z＝－1∈R，而z1∉R，A错误； 对于B，设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，x1，y1，x2，y2∈R，x＋y≠0， ＝＝＝＋i，由∈R，得x2y1－x1y2＝0，1z2＝(x1－y1i)·(x2＋y2i)＝x1x2＋y1y2－(x2y1－x1y2)i＝x1x2＋y1y2∈R，B正确； 对于C，由＝2z2及已知可设z2＝a>0，z1＝c＋di，c，d∈R，＝＝a＝2a，解得c2＋d2＝4， 则z11＝(c＋di)(c－di)＝c2＋d2＝4，C正确； 对于D，取z1＝i，z2＝－i，z1z2＝1＝，而z1≠z2，D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $