6.4.3 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为(　　) A．1 B． C．2 D． 解析：选A.因为△ABC的面积为，所以S＝AB·AC·sin ＝AC＝，所以AC＝1. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．5 D．6 解析：选A.因为a＝5，b＝4，c＝6，所以cos A＝＝＝，因为0<A<π，所以sin A＝＝，所以S＝bc sinA＝×4×6×＝. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c cos A＋a cos C＝2c，若a＝b，则sin B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为c cos A＋a cos C＝2c，由正弦定理可得sin C cos A＋sin A cos C＝2sin C，所以sin (A＋C)＝2sin C，所以sin B＝2sin C，所以b＝2c.又a＝b，所以a＝2c，所以cos B＝＝＝.因为B∈(0，π)，则sin B＝＝. 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠BAC＝，c＝6，b＝4，M为BC边上一点，且AM⊥AB，则AM＝(　　) A．3 B．3 C． D． 解析：选D. 根据题意得∠CAM＝－＝，则×6×4sin＝×6AM＋×4AM·sin ，解得AM＝. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 解析：选C.设C为最大角，则A为最小角，因为A＋C＝120°，所以＝＝＝ ＝×＋＝，所以＝1，所以tan A＝1.又因为A为锐角，所以A＝45°，C＝75°. 6．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，b＝，c cos A＋a cos C＝2b cos B，则(　　) A．B＝ B．C＝ C．c＝ D．S△ABC＝ 解析：选AD.对于A，c cos A＋a cos C＝2b cos B，由正弦定理得sin C cos A＋sin A cos C＝2sin B cos B，即sin (A＋C)＝2sin B cos B，所以sin B＝2sin B cos B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B＝，故B＝，A正确； 对于B，根据正弦定理＝得＝，则sin A＝，因为A∈，所以A＝，所以C＝π－－＝，B错误； 对于C，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得3＝2＋c2－2c×，解得c＝或c＝(舍去)，C错误； 对于D，S△ABC＝ac sin B＝×××＝，D正确． 7．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则△ABC的最小内角的余弦值为_________． 解析：由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4， 可得A是最小的角，设a＝2t(t>0)，则b＝3t，c＝4t，由余弦定理的推论得cos A＝＝. 答案： 8．(2025·马鞍山期中)在△ABC中，若△ABC的面积为，B＝120°，a2＋c2＝3ac，则b＝________． 解析：由△ABC的面积为，B＝120°可得ac sin 120°＝，化简得ac＝4，由a2＋c2＝3ac，得a2＋c2＝12，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×(－)＝16，所以b＝4. 答案：4 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c＝2a＝2，sin A＋b sin B＝2sin C－b sin A，则sin A＝________． 解析：由c＝2a＝2得c＝2，a＝1， 又sin A＋b sin B＝2sin C－b sin A 得a sin A＋b sin B＝c sin C－b sin A， 由正弦定理得a2＋b2＝c2－ab，故a2＋b2－c2＝－ab，又由余弦定理的推论 cos C＝＝＝－，C∈(0，π)， 所以sin C＝＝， 由正弦定理有＝，即＝， 所以sin A＝. 答案： 10．(13分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b sin (＋A)＝a sin B. (1)求角A的大小；(6分) (2)已知a＝6，c＝2.求△ABC的面积．(7分) 解：(1)因为b sin ＝a sin B， 由诱导公式得b cos A＝a sin B， 由正弦定理得sin B cos A＝sin A sin B， 因为sin B≠0， 所以cos A＝sin A， 即tan A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得62＝b2＋(2)2－4b×， 整理得b2－2b－24＝0， 由b>0，解得b＝4， 所以△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝×4×2×＝6. 11．如图，已知在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝7，AD＝CD＝4，则AC＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由四边形ABCD为圆O的内接四边形可知∠ABC＋∠ADC＝π，则在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠ABC＝＝，在△ADC中，由余弦定理的推论得cos ∠ADC＝＝，因为∠ABC＋∠ADC＝π，所以cos ∠ABC＝－cos ∠ADC，即＝－，解得AC＝. 12．(2025·洛阳期末)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，且△ABC的面积为，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________． 解析：因为在△ABC中，AB＝AC＝2，且△ABC的面积为， 所以S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝， 解得sin ∠BAC＝， 所以∠BAC＝60°或∠BAC＝120°， 当∠BAC＝60°时，因为AB＝AC，所以B＝C＝60°， 又∠ADC＝45°，所以∠DAC＝180°－60°－45°＝75°，不符合题意； 当∠BAC＝120°时，因为AB＝AC，所以B＝C＝30°，又∠ADC＝45°，所以在△ADC中， 由正弦定理可得＝， 即AD＝＝＝. 答案： 13．(15分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A；(6分) (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．(9分) 解：(1)由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin (A＋)＝1，由于A∈(0，π)，则A＋∈(，)，故A＋＝，解得A＝. (2)b sin C＝c sin 2B⇔sin B sin C ＝2sin C sin B cos B， 又B∈，C∈，则sin B sin C≠0，则cos B＝，B＝，C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理可得，＝＝， 即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 14．(15分)在四边形ABCD中，AB∥CD，记∠ACD＝α，AD sin D＝AC cos α，∠BAC的平分线与BC相交于点E，且AE＝1，AB＝. (1)求cos α的大小；(6分) (2)求BC的值．(9分) 解：(1)在△ACD中，由正弦定理得＝， 所以AD sin D＝AC sin α， 因为AD sin D＝AC cos α， 两式相除得1＝， 所以tan α＝， 又因为0<α<π，可得α＝， 所以cos α＝. (2)因为AB∥CD，所以∠BAC＝α＝， 又因为AE平分∠BAC，可得∠BAE＝∠CAE＝， 因为S△BAE＋S△CAE＝S△ABC，且AB＝，AE＝1， 所以AB·AE sin ＋AC·AE sin ＝AB·AC sin ， 即××1×＋AC×1×＝×AC×，解得AC＝， 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠BAC＝()2＋()2－2×××＝，所以BC＝. 15．某高级中学设计了一个“水滴状”校徽的平面图(如图)，徽章由等腰三角形ABC及以弦BC和劣弧BC所围成的弓形所组成，其中AB＝AC，劣弧BC所在的圆为△ABC的外接圆，圆心为O.已知∠BAC＝，外接圆的半径是2，则该图形的面积为________． 解析：如图将圆O补充完整，连接OB，OC，取BC中点为D，连接AD. 因为∠BAC＝，∠BAC为劣弧BC对应的圆周角，∠BOC为劣弧BC对应的圆心角，则∠BOC＝，△OBC为正三角形，又外接圆半径为2，则弓形面积为S扇形BOC－S△BOC＝××4－×4＝－. 因为△ABC为等腰三角形，AD平分角∠BAC， 则∠BAD＝，又BD＝1， 则＝sin ⇒AB＝. 又sin ＝sin (－)＝sin cos －cos sin ＝，则AB＝＝＋， 则S△ABC＝AB2sin ∠BAC＝×(＋)2×＝2＋. 则该图形面积为－＋2＋＝＋2. 答案：＋2 学科网（北京）股份有限公司 $