6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AC∩BD＝O，则·＝(　　) A．－8 B．－4 C．4 D．8 解析：选A.由平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，得·＝·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝×(9－25)＝－8. 2．已知一个物体在三个力F1＝(0，1)，F2＝(－1，－3)，F3的作用下，处于静止状态，则F3＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(2，1) D．(－2，1) 解析：选B.因为该物体静止，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，又因为F1＋F2＝(0，1)＋(－1，－3)＝(－1，－2)，所以F3＝－(F1＋F2)＝(1，2). 3．已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(，)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B.易知＝(，)，＝(－，)， 可得·＝×(－)＋×＝0， 即⊥，且||＝≠||＝1， 所以△ABC是直角三角形． 4．如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　) A．300 N，300 N B．150 N，150 N C．300 N，300 N D．300 N，150 N 解析：选C.作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在▱OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，由题知||＝600 N，所以||＝||cos 30°＝300 N，||＝||sin 30°＝300 N，||＝||＝300 N. 5．O是△ABC内一点，若满足＋＋＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：选C.设D为BC边上的中点，由＋＋＝0，得＝－(＋)＝－2，所以∥.又点O为直线OA，OD的公共点，所以A，O，D三点共线，即点O在BC边上的中线AD上，同理可得，点O在AB，AC边上的中线上，所以O是△ABC的重心． 6．(多选)已知点O为△ABC外接圆的圆心，||＝6，∠OAC＝30°，则(　　) A．OC＝ B．OC＝2 C．·＝6 D．·＝－6 解析：选BD.令OC＝2t，则由勾股定理易得(2t)2＝t2＋，所以t＝－(舍去)或t＝，所以OC＝2，所以·＝||||cos ∠AOC＝2×2×cos (180°－60°)＝－6. 7．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若·＝6，则AP＝________． 解析：平行四边形ABCD中，设AC与BD交于点O， 则AO＝OC， 因为·＝6， 所以·＝3， 根据向量的几何意义可知 ·＝2＝3，解得AP＝||＝. 答案： 8．某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人位移的大小是________m，方向是北偏东________． 解析：如图所示，此人的位移＝＋，且⊥， 所以||＝ ＝ ＝＝60(m)， 又tan ∠BOA＝＝＝，0°<∠BOA<180°，所以∠BOA＝60°，所以的方向为北偏东30°. 答案：60　30° 9．已知正方形ABCD的边长为1，点P满足＝λ(λ>0)，则·的最大值为________． 解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则C(1，1)，D(0，1)，P(λ，0)， 因为＝(1－λ，1)， ＝(λ，－1)， 所以·＝λ(1－λ)－1＝－λ2＋λ－1＝－(λ－)2－，所以当λ＝时，·取得最大值，最大值为－. 答案：－ 10．(13分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，). (1)求点B，C的坐标；(6分) (2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长．(7分) 解：(1)在平面直角坐标系Oxy中，设B(xB，yB)，由||＝2，知A(2，0)， 又∠OAB＝，||＝1， 则xB＝2＋cos (π－)＝， yB＝sin (π－)＝， 所以点B(，)，又＝(－1，)， 所以＝＋＝(，)＋(－1，)＝(，)， 所以点C(，). (2)由(1)可得，＝(，)，＝(，)， 所以＝3. 所以∥，||＝3||＝3， 又||＝＝2，||＝2， 所以四边形OABC为等腰梯形． 因为||＝2，||＝1，||＝2，||＝3， 所以四边形OABC的周长为8. 11．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方并且与B相距250 m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行速度的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船的航行速度为(　　) A． km/h B．2 km/h C． km/h D．2 km/h 解析：选B.如图所示， tan ∠CAB＝＝⇒∠CAB＝⇒∠CAD＝， 设合速度为v，小货船航行速度为v1，水流的速度为v2， 则v1＋v2＝v⇒v1＝v－v2， 所以|v1|＝|v－v2|＝ ＝ ＝＝2(km/h). 12．(多选)已知点A(0，2)，B(2，0)，C(1，y)，其中y∈R，则(　　) A．若A，B，C三点共线，则y＝1 B．若⊥，则y＝3 C．若||＝||，则y＝2－ D．当y＝2时，〈，〉＝ 解析：选ABD.因为A(0，2)，B(2，0)，C(1，y)，其中y∈R，则＝(2，－2)，＝(1，y－2)， 对于A选项，若A，B，C三点共线，则∥，则2(y－2)＝－2，解得y＝1，A正确；对于B选项，若⊥，则·＝2－2(y－2)＝6－2y＝0，解得y＝3，B正确；对于C选项，若||＝||，即＝，可得(y－2)2＝7，解得y＝2＋或y＝2－，C错误；对于D选项，当y＝2时，＝(1，0)，则cos 〈，〉＝＝＝，因为0≤〈，〉≤π，故〈，〉＝，D正确． 13．已知P为△ABC内一点，满足＋＋2＝0，则△PAB和△ABC的面积比为________． 解析：如图，取AB的中点D，连接PA，PB，PC，PD，则＋＝2，又＋＋2＝0，所以2＋2＝0，故C，D，P三点共线，且满足＝，所以P为CD的中点，所以S△PAB∶S△ABC＝1∶2. 答案：1∶2 14．(13分)在平面直角坐标系Oxy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)(且ab≠0)，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心． (1)求重心E的坐标；(5分) (2)用向量法证明：CD⊥EF.(8分) 解：(1)如图，因为A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)， 所以D(－，)，则由重心坐标公式，得E(，). (2)证明：由(1)得＝(－，)， 易知△ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y). 由||＝||，得(y－b)2＝(－a)2＋y2， 所以y＝，即F(0，). 所以＝(－，－). 所以·＝(－)×(－)＋×(－)＝0，所以⊥，即CD⊥EF. 15．(15分)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值；(6分) (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则D(0，6)，E(3，0)，A(0，0)，F(6，2)，所以＝(3，－6)，＝(6，2). 由于∠EMF就是，的夹角． 所以cos ∠EMF＝ ＝＝， 所以∠EMF的余弦值为. (2)设M(x，y)，所以＝(x，y－6)， 因为∥， 所以3(y－6)＋6x＝0，所以2x＋y－6＝0， 因为＝(x，y)，∥，所以2x－6y＝0，所以x＝3y，所以7y＝6，所以y＝. 所以x＝，所以M(，). 由题得＝(3，2).假设存在满足题意的点P， ①当点P在边AB上时，设P(a，0)，0≤a≤6， 所以＝(a－，－)， 由⊥得3a－－＝0，所以a＝，所以P(，0)，所以||＝＝； ②当点P在边BC(去掉B点)上时，设P(6，b)，0<b≤6，所以＝(，b－)， 由⊥得＋2b－＝0，所以b＝－，舍去． 综上，存在P(，0)符合题意，MP的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $