6.3 阶段小测(一)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

阶段小测(一) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则2a－3b＝(　　) A．(21，2) B．(－21，2) C．(2，21) D．(－2，21) 解析：选B.由题意得2a＝(－6，8)，3b＝(15，6)，所以2a－3b＝(－21，2). 2．已知向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则“k＝2”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，a⊥b⇔a·b＝0⇔k－2＝0⇔k＝2，所以“k＝2”是“a⊥b”的充要条件． 3．在△ABC中，D为边BC的中点．若＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．a＋b C．－a－b D．a－b 解析：选A.由图可得，＝＋＝＋＝b－a. 4．已知向量a和b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝(　　) A．3 B．－1 C．8－5 D．13 解析：选A.由题意可得(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos 60°＝8－5＝3. 5．若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，则实数m＝(　　) A．6 B．－6 C．3 D．－3 解析：选B.把|a＋b|＝|a－b|两边平方得：a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，所以m＋6＝0，解得m＝－6. 6．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0，又|a|＝1，可得3－4|b|cos θ＋|b|2＝0，又|b|≠0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即|b|＝时取等号，故cos θ≥.结合θ∈[0，π]及余弦函数图象可知θ的最大值为. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．若向量a＝(2，0)，b＝(1，)，则(　　) A．|b|＝2 B．a·b＝2 C．b在a上的投影向量为a D．a与b的夹角为 解析：选ABC.对于A，因为b＝(1，)，所以|b|＝＝2，故A正确；对于B，又a＝(2，0)，所以a·b＝2×1＋0×＝2，故B正确；对于C，易得|a|＝2，所以b在a上的投影向量为＝·＝a，故C正确；对于D，因为cos 〈a，b〉＝＝＝，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，故D错误． 8．(2025·徐州期中)已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点(含边界)，＝λ＋μ，其中λ，μ∈[0，1]，则下列选项中正确的是(　　) A．若λ＋μ＝1，则||的最小值为 B．若λ＋μ＝1，则·的最大值为4 C．若λ＝，则·＝2 D．若μ＝，则·＝2 解析：选ABC.如图，以A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则依题意有A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，则＝(2，0)， ＝(0，2)， 因为＝λ＋μ， 所以＝(2λ，2μ). 对于A，因为λ＋μ＝1，所以μ＝1－λ，||2＝4λ2＋4μ2＝4λ2＋4(1－λ)2＝82＋2， 当λ＝时，||最小，最小值为，故A正确； 对于B，因为·＝4λ，λ∈[0，1]，所以当λ＝1时，·有最大值，最大值为4，故B正确； 对于C，因为·＝4λ，λ＝，所以·＝4×＝2，故C正确； 对于D，因为·＝4λ，μ＝，不能求出其值，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________． 解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)，λ<0，又因为a，b不共线，所以所以k2＝16，解得k＝－4(正值已舍去). 答案：－4 10．已知点M(2，2)和点N(5，－2)，写出一个满足“在x轴上且∠MPN为直角的点P”的横坐标为________． 解析：设点P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－5，2)，由题意可知·＝(x－2)(x－5)－4＝0，解得x＝1或x＝6. 答案：1或6 11．将函数f(x)＝4cos x的图象和直线g(x)＝x－1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，An，若P的坐标为(0，)，则|＋＋…＋|的值为________． 解析：由题意，作出图象如图， 可得函数f(x)＝4cos x的图象和直线 g(x)＝x－1的所有交点共5个，根据余弦函数的中心对称性可知，A1和A5，A2和A4关于A3对称，则＋＝＋＝2， 所以|＋＋…＋|＝|5| ＝5＝5. 答案：5 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)若＝2a＋b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值；(6分) (2)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．(7分) 解：(1)＝2a＋b＝(4，1)，＝a＋mb＝(2m＋1，m)， 因为A，B，C三点共线，所以∥， 所以4m－(2m＋1)＝0，即m＝. (2)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)， 所以ka－b＝(k－2，－1)，a＋2b＝(5，2)， 又ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)＋5＝0，即k＝－. 13．(本小题满分15分)在如图所示的扇形AOB中，扇形的半径为2，∠AOB＝，点C在弧AB上移动，＝x＋y. (1)若∠AOC＝，求x＋y的值；(7分) (2)求x＋y的最大值．(8分) 解：(1)如图所示建立平面直角坐标系，当∠AOC＝时，易知O(0，0)，A(2，0)， B(－1，)，C(，1)， 所以＝(2，0)，＝(－1，)， ＝(，1)， 因为＝x＋y， 则解得 所以x＋y＝. (2)方法一：设∠AOC＝α(α∈[0，])，C(2cos α，2sin α)，则＝(2cos α，2sin α)， 所以解得 则x＋y＝cos α＋sin α＝2sin (α＋)， 因为α∈[0，]，所以α＋∈[，]， 由正弦函数的性质可知：当且仅当α＋＝， α＝，即C为中点时，(x＋y)max＝2. 方法二：连接AB，设AB交OC于点M(图略)，则x＋y＝，当OM取得最小值时，x＋y取得最大值，所以当OM⊥AB时，OMmin＝OA·cos ＝2×＝1，所以(x＋y)max＝＝2. 14．(本小题满分15分)(2025·北京延庆期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和；(4分) (2)当P是线段AB的中点时，求，的坐标和cos ∠PCB；(5分) (3)设＝λ，是否存在λ使得∠PCD＝，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．(6分) 解：因为CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2， 所以OA＝4，CD＝4，即A(4，0)，D(6，0)，B(0，2)，C(6，4). (1)＝－，＝＋＝－2－. (2)当P为线段AB的中点时，P(2，1)， 所以＝(－4，－3)，＝(－6，－2)， 所以·＝(－4)×(－6)＋(－3)×(－2)＝30，||＝5，||＝2， 所以cos ∠PCB＝＝＝. (3)假设存在满足题意的λ， 则＝λ＝(4λ，－2λ)， 则P(4λ，2－2λ)，所以＝(－6＋4λ，－2－2λ)，又＝(0，－4)， 所以·＝8＋8λ，||＝，||＝4， 故cos ＝＝>0， 整理得，3λ2－14λ＋8＝0，解得λ＝或λ＝4， 又P是线段AB上的动点，所以λ＝，即存在实数λ＝，使得∠PCD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $