6.2.4 第1课时 向量的数量积(一) 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.a·b＝1×2×cos ＝1. 2．已知a，b，c为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若a＋b＝λc，则λ＝(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－2 解析：选B.依题意，任意两个向量的夹角均为120°，由平行四边形法则可知，a＋b＝－c，所以λ＝－1. 3．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选A.观察图形知，|a|＝2，|b|＝2，〈a，b〉＝，所以a·b＝2×2×＝－4. 4．已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为(　　) A．－b B．b C．－b D．－b 解析：选C.由题意，a在b上的投影向量为|a|cos 120°＝|a|cos 120°＝－b. 5．如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中A，B是正方形的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若AB＝4，则·的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.如图，作CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，且CD与左半圆相切，切点为C，EF与右半圆相切，切点为E.·＝||·||cos 〈，〉，因为AB＝4，所以AD＝BF＝2.当P与E重合时，||cos 〈，〉最大，最大值为4＋2＝6，此时·取得最大值，最大值为4×6＝24；当P与C重合时，||cos 〈，〉最小，最小值为－2，此时·取得最小值，最小值为4×(－2)＝－8.故·的取值范围是. 6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．与共线的单位向量为± B.若△ABC是等边三角形，则向量在向量上的投影向量为 C．若·<0，则△ABC为钝角三角形 D．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 解析：选AC.对于A，与共线的单位向量为±，故A正确；对于B，因为△ABC为等边三角形，所以在上的投影向量为||cos A·＝，故B错误；对于C，·＝||·||cos A<0，所以cos A<0，又0°<A<180°，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故D错误． 7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则a与b的夹角为________． 解析：作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|＝1，可知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°，所以a与b的夹角为60°. 答案：60° 8．已知|a|＝，且a·b＝－3，则向量b在向量a上的投影向量为________． 解析：向量b在向量a上的投影向量为＝a＝－a. 答案：－a 9．在圆C中，已知弦AB＝1，则·＝________． 解析：如图，C为圆心，AC为半径，AB为弦，故在上的投影向量的长度为||，所以·＝||·||＝×1×1＝. 答案： 10．(13分)已知|a|＝3，|b|＝2，sin 〈a，b〉＝，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b；(7分) (2)求a在b上的投影向量．(6分) 解：(1)因为sin 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以cos 〈a，b〉＝±，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×2×＝±3. (2)a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉e＝±e. 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：选A.cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝，所以|a×b|＝2×5×＝8. 12．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________． 解析：因为||2＝||2＋||2， 所以B＝90°，所以·＝0. 因为cos C＝，cos A＝， 所以·＝||||cos (180°－C)＝4×5×(－)＝－16. ·＝||||cos (180°－A)＝5×3×＝－9. 所以·＋·＋·＝－25. 答案：－25 13．(13分)在△ABC中，||＝||＝4，·＝8.判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC为正三角形，理由如下： 因为||＝||＝4，·＝8， 所以cos 〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈(0，π)， 所以〈，〉＝，即∠BAC＝， 又||＝||， 所以∠ACB＝∠CBA＝，故△ABC为正三角形． 14．(15分)如图，扇形AOB中的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量；(7分) (2)求·的取值范围．(8分) 解：(1)连接BM，AM(图略). 由已知可得＝，四边形OAMB是菱形， 则＝＋， 所以＝－＝－(＋) ＝－－. (2)在菱形OAMB中，∠AOB＝120°，所以△BOM，△MOA是等边三角形．因为BM＝OM，BD＝OC，∠MBD＝∠MOC，所以△MBD≌△MOC，所以∠BMD＝∠OMC，所以∠DMC＝∠DMO＋∠OMC＝∠DMO＋∠BMD＝∠BMO＝60°，即∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求||的最大值与最小值即可． 当⊥时，||最小，此时||＝， 则·＝××cos 60°＝. 当与或重合时，||最大， 此时||＝1，则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 15．C60是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，A，B，C为正多边形的顶点，则·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.如图所示， 连接BC，由对称性可知，BA＝BC，取AC的中点H，连接BH，则AC⊥BH，AH＝AC， 又因为正六边形的边长为1，所以AC＝2， 所以·＝||||cos ∠BAC＝||·||＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $