6.2.4 第2课时 向量的数量积(二) 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设向量a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 2．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选B.因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0⇒a·b＝|a|2＝2，所以|a－b|＝＝＝＝4. 3．已知向量a，b，c满足2a＋2b＋c＝0，|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选C.由2a＋2b＋c＝0，得2a＋2b＝－c，两边平方得4a2＋8a·b＋4b2＝c2，所以4＋8a·b＋4＝1，即a·b＝－. 4．设a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.因为a，b为非零向量，若a⊥b，则a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2，则|a＋b|＝|a－b|，反之若|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0，由于a，b为非零向量，故a⊥b，所以“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的充要条件． 5．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝3，若与向量b垂直的非零向量c满足c＝λa＋μb(其中λ，μ∈R)，则＝(　　) A．－ B．1 C．6 D．－ 解析：选D.由c＝λa＋μb，b⊥c，得b·c＝b·(λa＋μb)＝λa·b＋μb2＝0.又a·b＝|a||b|cos ＝，b2＝9，所以λ＋9μ＝0，整理得＝－. 6．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 解析：选AC.对于A，由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则|b|＝||＝2，故A正确；对于B，a·b＝·＝||||cos 120°＝×2×2×＝－1，故B错误；对于C，(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；对于D，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故D错误． 7．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝1，若a⊥(λa＋b)，则实数λ＝________． 解析：由a⊥(λa＋b)，得a·(λa＋b)＝λa2＋a·b＝0，又|a|＝2，a·b＝1，则4λ＋1＝0，所以λ＝－. 答案：－ 8．已知△ABC为等腰直角三角形，CA＝CB＝1，若＝＋，则·＝________． 解析：因为△ABC为等腰直角三角形，CA＝CB＝1，所以C为直角，即·＝0，·＝(＋)·＝2＋·＝. 答案： 9．已知|a|＝2，|b|＝2，a·b＝4，λ∈R，则|2a＋λb|的最小值为________． 解析：因为|a|＝2，|b|＝2，a·b＝4， 则|2a＋λb|2＝4a2＋4λa·b＋λ2b2＝32＋16λ＋4λ2＝4(λ＋2)2＋16≥16，当且仅当λ＝－2时，等号成立， 所以|2a＋λb|2的最小值为16， 即|2a＋λb|的最小值为4. 答案：4 10．(13分)已知|a|＝2，|b|＝3，且a·b＝－4. (1)若(a＋kb)⊥a，求k的值；(5分) (2)求b与a＋b夹角的余弦值．(8分) 解：(1)由已知得(a＋kb)·a＝a2＋ka·b＝22－4k＝0，解得k＝1. (2)由已知得，|a＋b|＝＝＝＝， 且b·(a＋b)＝a·b＋b2＝－4＋32＝5， 所以cos 〈b，a＋b〉＝＝＝. 11．(多选)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ.以下结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．|e1－2e2|＝|2e1－e2| C．(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2上的投影向量的模为sin θ 解析：选ABC.对于A，由于e1·e2≤|e1||e2|＝1，所以不存在θ，使e1·e2＝，故A正确；对于B，由于|e1－2e2|2＝1－4e1·e2＋4＝5－4e1·e2，|2e1－e2|2＝4－4e1·e2＋1＝5－4e1·e2，故|e1－2e2|＝|2e1－e2|，故B正确；对于C，由于(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝1－1＝0，故(e1－e2)⊥(e1＋e2)成立，故C正确；对于D，e1在e2上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，所以投影向量的模为|cos θ|，故D错误． 12．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝2，OC＝4.若·＝－5，则·＝________． 解析：由O为BD的中点可知＋＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)－2＝2－2＝－5，又OA＝2，则有OB＝3，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝16－9＝7. 答案：7 13．(13分)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝. (1)证明：(5a－2b)⊥a.(5分) (2)求向量4a－b与4a－b夹角的余弦值．(8分) 解：(1)证明：因为a·b＝2×10×cos ＝10， 所以(5a－2b)·a＝5a2－2a·b＝5×22－2×10＝0， 故(5a－2b)⊥a. (2)由题意得|4a－b|＝＝＝7， |4a－b|＝ ＝＝7， (4a－b)·(4a－b)＝16a2－a·b－2a·b＋b2＝47， 故cos 〈4a－b，4a－b〉＝ ＝＝， 即向量4a－b与4a－b夹角的余弦值为. 14．(15分)已知平面向量e1，e2满足|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，a＝e1＋te2，b＝te1＋e2. (1)若b在a上的投影向量恰为a的相反向量，求实数t的值；(7分) (2)若〈a，b〉为钝角，求实数t的取值范围．(8分) 解：(1)由题意得＝－a，则＝－1， 即a·b＝－|a|2， 因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝， 则e1·e2＝0， 所以a·b＝(e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋(t2＋1)e1·e2＋te＝2t， |a|2＝(e1＋te2)2＝e＋2te1·e2＋t2e＝1＋t2， 所以2t＝－(1＋t2)，解得t＝－1. (2)由(1)知，a·b＝2t， 因为〈a，b〉为钝角， 所以a·b＝2t<0，即t<0， 若a，b共线，设a＝λb，即e1＋te2＝λ(te1＋e2)， 则解得λ＝t＝1或λ＝t＝－1， 要使〈a，b〉为钝角，则t<0且t≠－1， 即实数t的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，0). 15．如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则·的最小值是(　　) A． B．－ C．－ D．－ 解析：选B.连接PO(图略)，由题意可得，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1.为使·最小，只需||最小，即OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF的中点，又EF＝1，因此||min＝＝，所以·的最小值是2－1＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $