6.2.3 向量的数乘运算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 1.D　6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b. 2.A　由＋＝0，得＝－，即a与b的方向相反，排除B、C、D，故选A. 3.D　因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b. 4.B　因为＝4，所以＋＝（＋）＋4＝－5，所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B. 5.AB　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选A、B. 6.CD　因为P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，所以＋＝2，＋＝2，又＋2＋3＝0即（＋）＋2（＋）＝0，所以2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，故B错误，C、D正确；易知P，A，C三点不共线，则向量与不可能平行，故A错误.故选C、D. 7.－　解析：因为＝，所以－＝（＋），即＝－＝λ，所以λ＝－. 8.－　解析：利用向量的三角形法则，可得＝－，＝＋，∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴＝，＝，∴＝－＝－＝（＋）－＝＋－.又∵＝，∴＝－. 9.1　解析：法一　由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ（－），所以＝（1－λ）＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. 法二　由三点共线的性质定理可知，x＋y＝1. 10.解：（1）[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝（4a＋8b－20a＋8b）＝（－16a＋16b）＝－4a＋4b. （2）因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 11.B　∵2＋3＝2＋3，∴2（－）＝3（－），∴2＝3，∴四边形ABCD一定是梯形.故选B. 12.B　如图，因为＝，E为AD中点，所以＝－＝－＝－（＋）＝－［＋（－）］＝－（＋）＝－.故选B. 13.　解析：如图所示，因为＝＋，所以＝，所以MN∥BC.又M为边AB的中点，所以点A到MN的距离等于点N到BC的距离，所以＝＝. 14.解：（1）由题意知，∥，则存在λ∈R，使得＝λ，即ke1－4e2＝λ（－e1＋ke2），　 整理得（k＋λ）e1＝（kλ＋4）e2. 由e1，e2是不共线的向量， 得解得或 又，方向相反，则λ＝－2，k＝2，故k的值为2. （2）由题意得，＝＋＝（k＋1）e1－2e2. 由A，C，D三点共线得，存在μ∈R，使得＝μ，即（k＋1）e1－2e2＝μ（－e1＋ke2），整理得（k＋μ＋1）e1＝（kμ＋2）e2. 由e1，e2是不共线的向量， 得解得或 综上，k＝1或k＝－2. 15.解：因为点R，M，N共线，所以＝λ（λ∈R），则＝λ＋（1－λ）， 因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以＝λ＋（1－λ）＝λ＋（1－λ）， 所以x＋y＝λ＋（1－λ）＝，即y＝－x， 所以 ＝ ＝ ＝≥， 故当且仅当x＝时， 取得最小值，最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3　向量的数乘运算 1.化简：6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝（　　） A.6a＋2b＋8c B.6a－14b C.－2a－14b D.6a＋2b 2.设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是（　　） A.a＝－2b B.a＝2b C.a∥b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜ 3.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝（　　） A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 4.在梯形ABCD中，＝4，＋＝x＋y，则x－y＝（　　） A.5 B.6 C.－5 D.－6 5.〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（　　） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 6.〔多选〕已知P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（　　） A.向量与可能平行 B.点P在线段EF的延长线上 C.点P在线段EF上 D.PE∶PF＝2∶1 7.已知＝，若＝λ，则λ＝　　　　. 8.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝　　　　.（用，表示） 9.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝　　　　. 10.（1）化简：[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]； （2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x. 11.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若2＋3＝2＋3，则四边形ABCD一定是（　　） A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形 12.在△ABC中，＝，E为AD中点，则＝（　　） A.＋ B.－ C.－ D.＋ 13.已知M为△ABC的边AB的中点，N为△ABC内一点，且＝＋，则＝　　　　. 14.已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且＝ke1－4e2，＝－e1＋ke2，＝e1＋2e2. （1）若，方向相反，求k的值； （2）若A，C，D三点共线，求k的值. 15.如图，在三角形OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直线MN上，且＝x＋y（x，y∈R），求代数式的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $