2026届高考数学模拟卷（七）（全国适用）

2026届高考数学终极模押题卷（七） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 6. 已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 10. 1679年，德国著名数学家、哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发明了二进制，这是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础．对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数1在二进制中就表示为表示为表示为表示为表示为．若自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则______ 13. 已知，，则______. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. （1）若平面，求直线与平面所成角的正切值； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 在中，内角的对边分别为的面积满足： （1）求； （2）若平分，且，求． 18. 已知数列满足： （1）求的值． （2）证明是等比数列，并求数列的通项公式． （3）设，求数列的前项和． 19. 在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． （1）若，求队以的比分赢得比赛的概率； （2）若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； （3）当时，若，有，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极模押题卷（七） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的概念判断AB的真假；根据交集的概念判断C的真假；根据并集的概念判断D的真假. 【详解】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 2. 已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，所以. 故选：C 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在抛物线上得出，再根据抛物线定义计算即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即得， 则. 故选：B. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直向量可得，即，求解即可. 【详解】已知向量 所以，即， 即， 故选：C. 5. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得. 【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种， ④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种， ⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个. 故选：B. 6. 已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论以及的情况，结合零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，若无解，则或； 当时，，若无解，则. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合同角关系可求，再由两角差余弦公式求结论. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以， 故选：B. 8. 已知正四棱台中，，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作的垂面，分别交于，过作于，过作垂直的延长线于，过作于，利用球的体积求得正四棱台的高，利用线面，面面垂直的性质定理可证得平面，结合等腰梯形的性质可求得点到平面的距离. 【详解】设球的半径为，则，解得， 因为正四棱台中放入的最大球的体积为，所以正四棱台的高为， 过作的垂面，分别交于，过作于， 过作垂直的延长线于，过作于， 因为，所以平面，平面， 又平面，所以， 所以，所以四边形是矩形，所以， 所以，又因为平面，所以平面平面， 所以平面，所以，由等腰梯形的性质可得， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（ ） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：． 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意完成列联表，根据列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可. 【详解】由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知 A 正确，B 错误； 由表可知， 因此根据小概率值 的独立性检验，可以认为该新药有效，故 C 错误，D 正确. 故选：AD 10. 1679年，德国著名数学家、哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发明了二进制，这是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础．对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数1在二进制中就表示为表示为表示为表示为表示为．若自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设新定义分别写出的二进制表示方式，判断A、B；由判断C；根据，结合二项式定理有，即可判断D. 【详解】对于A：，故，对； 对于B：，其中共有3个0，故，对； 对于C：，，故，显然时，错； 对于D：，则， 所以，对. 故选：ABD 11. 数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据通项公式的规律，分析各项表达式，结合不等式判断选项. 【详解】根据规律可得，，； 当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增. 当时，取最小值，最小值为，正确. 易得，所以，即，所以，错误. 若，则，，，，； 记数列为1，2，3，5，…，则，. 记， 则； 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ，正确. ，要使得取最小值； 则n为奇数，此时，正确. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】计算出集合后利用补集定义即可得. 【详解】，又， 则. 故答案为：. 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及两角和与差的三角函数公式.根据化简可求得，根据，可得，利用两角差的余弦公式将展开即可求解. 【详解】由题可得，，∵，∴； 又，所以； ∴. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 16. 如图，在四棱锥中，在以为直径的圆上，，. （1）若平面，求直线与平面所成角的正切值； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行性质定理得出，进而得出四边形是矩形，再应用线面垂直判定定理得出平面,找到线面角求出正切值； （2）先建立空间直角坐标系再应用空间向量求解二面角余弦即可. 【小问1详解】 因为平面，平面, 平面平面,所以, 又因为在以为直径的圆上,所以 所以,所以是矩形,所以， 在可得 因为，，所以， 又平面，所以平面， 平面,所以, 因为，，所以， 平面,所以平面, 所以直线与平面所成角为,. 【小问2详解】 因为在以为直径的圆上,所以 过作平行线为轴，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为 所以在 可得， ， ， 设平面法向量为， 则,所以， 令，则， 设平面法向量， 则，所以， 令，则， 设二面角为， 所以， 因为为锐角，所以. 17. 在中，内角的对边分别为的面积满足： （1）求； （2）若平分，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理化简已知条件，进而求出角； （2）根据向量关系和角平分线性质，结合三角形面积公式求出边与的关系，再利用余弦定理求出. 【小问1详解】 已知，根据三角形面积公式，将其代入已知条件可得： 由正弦定理得： 因为，所以，，等式两边同时除以得 因为，所以，等式两边同时除以得： 即，所以.又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 又因为CD平分，所以. 根据三角形面积公式，可得，即. 在中，根据余弦定理，将，代入可得：，化简得 在中，根据余弦定理，将，代入可得：，即， 在中，根据余弦定理，将代入可得：，即， 因为，所以，即，则有： ，即，即， 解得.将代入可得，所以. 18. 已知数列满足： （1）求的值． （2）证明是等比数列，并求数列的通项公式． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）. （2）证明见解析．. （3）. 【解析】 【分析】(1)分别将代入递推公式可得的值. (2)由递推公式构造与的关系,并求出的值,可根据等比数列的定义证明是等比数列,,并求出其通项公式,进而得到数列的通项公式. (3)把由(2)得到的的通项公式,代入，得到数列的通项公式,进而判断数列是等差数列.根据等差数列的前项和公式,求得数列的前项和． 【小问1详解】 因为数列满足：， 所以,. 【小问2详解】 证明：因为，所以. 所以. 因为,所以. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以. 所以数列的通项公式是. 小问3详解】 由(2)知:. 因为当时,. 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列. 所以数列的前项和 故. 19. 在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为． （1）若，求队以的比分赢得比赛的概率； （2）若，数列满足，记数列的前项和为，求证：； （3）当时，若，有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算可得结果； （2）根据已知有，构造等比数列得，进而有，利用放缩法及等比数列前n项和公式可求的范围； （3）根据题意有，讨论、，结合等比数列的定义得与的关系式，根据条件确定的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，队以的比分赢得比赛的概率为. 【小问2详解】 由题意得，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 由，得，故， 所以，故， 又因为，且，所以， 所以， 综上，. 【小问3详解】 由题意得，， 若，则，即，满足题意. 若，则，情况如下： 当时，由，得，满足条件. 当且时，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 由得， 因为，所以，， 所以，解得，且，. 综上，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $