专题01 相交线平行线（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两直线相交 题型02 两直线垂直 题型03 三线八角 题型04 两直线平行 题型05 定义、命题、定理 题型06 平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交 理解对顶角、邻补角的定义性质 基础必考点，常出现在角度计算和数量关系推理过程中。 两直线垂直 理解垂直的定义、性质，会过一点画已知直线的垂线；理解垂线段最短的性质 基础必考点，高频易错点，侧重作图与辨析。 三线八角 能准确识别同位角、内错角、同旁内角 基础识图、大题中常作为隐含条件。 两直线平行线 理解平行线的概念、性质、判定 高频考点，重点考查平行线的性质与判定。 定义、命题、 定理 理解定义、命题、定理的概念；理解命题的题设、结论的结构，能判断命题的真假；能运用定理进行简单的推理证明. 区分概念、掌握几何语言表述，学好几何的基础，常考辨析与改错。 平移 理解平移的基本性质，能利用平移的性质作图、解决实际问题。 基础必考点，常考操作、画图，结合图案设计考查综合能力。 知识点01 两直线相交 1.定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线。 2.邻补角 (1)邻补角的定义 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做互为邻补角。 图中∠1的邻补角是∠2和∠4,∠2是∠1和∠3的邻补角. （2）邻补角的性质 提问：互为邻补角的两个角有何数量关系？ 答:和是180. （3）几何语言： ∵∠1和∠2是邻补角 ∴∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 3.对顶角 （1）对顶角的定义 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）对顶角的性质 对顶角性质： 对顶角相等 几何语言： ∵∠1和∠3是对顶角 ∴∠1=∠3（ 对顶角相等 ） 知识点02 两直线垂直 1.垂直的定义 （1）定义：如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 举例：线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， （2）几何语言： ∵CD⊥AB ∴∠COB=90o 或者：∵∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的性质 （1）垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. （2）垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 (2) ∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧具有这种位置关系的两个角叫做内错角. （3）∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 知识点04 两直线平行 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线； （1）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 几何语言 若c//a，b//a, 则 b//c 2. 平行线的判定 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，同位角相等，两直线平行。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，内错角相等，两直线平行。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 举例：如图所示，已知 b⏊a，c⏊a，那么直线b、c是什么位置关系？ 答：平行关系， ∵ b⏊a，c⏊a ∴∠1=∠2=90，∴ b//c（同位角相等，两直线平行） 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 知识点05 定义、命题、定理 1. 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 例：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b.以上这些表示判断的陈述句都是命题。 易错点：假命题也是命题。 例：“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 例：“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 2.定理与证明 （1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 知识点06 平移 1. 定义：一个图形沿某方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离 这样的图形运动叫作图形的平移； 2. 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上），且相等。 题型一 两直线相交 解｜题｜技｜巧 1. 利用对顶角相等、邻补角和为180°列等式求角度。 2. 已知一个角，快速求其余三个角。 易｜错｜点｜拨 1. 别把“对顶角”和“邻补角”概念弄混。 2. 角度的计算结果容易漏写单位“°”或度。 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线相交于点O． (1)的对顶角是 ，的邻补角是 ； (2)若，求的度数． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，求的度数． 题型二 两直线垂直 答｜题｜模｜板 1. 看到垂直直接写夹角等于90°； 2. 判定两条直线垂直通常就要证明它们的夹角等于90°. 易｜错｜点｜拨 在计算和推理时判定两条直线是否垂直不能凭“目测”——看起来像垂直，必须要有依据。 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是（   ） A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为（   ） A．155° B．145° C．130° D．125° 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）利用网格画图． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到直线 的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 题型三 三线八角 答｜题｜模｜板 1. 先找准截线，再识别同位角、内错角、同旁内角。 2. 求角时先判断角的位置关系，再套性质。 易｜错｜点｜拨 没平行时，不能直接用同位角相等、内错角相等平行线的性质。 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有_____对，同旁内角有______对．    【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 题型四 两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 由角的关系推平行（判定），由平行推角的关系（性质）。 2. 多线平行时，用平行传递性：a∥b，b∥c ⇒ a∥c。 易｜错｜点｜拨 1. 判定和性质互逆，经常用反。 2. 只有两直线平行，同旁内角才互补，不平行不能用。 【典例1】（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，是的平分线， ，，你能算出的度数吗？ 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 题型五 定义、命题、定理 答｜题｜模｜板 1. 命题先拆成**“如果……那么……”**，分清题设和结论。 2. 判断真假：真要说理，假举反例即可。 易｜错｜点｜拨 改写命题时，容易漏写主语、条件写反。 【典例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果________________，那么________________． 【典例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列语句是真命题的有__________（填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 【变式1】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ____________________________． 题型六 平移 答｜题｜模｜板 1. 平移只改位置，形状、大小、方向都不变。 2. 对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 易｜错｜点｜拨 误以为平移会改变角度、长度或图形形状 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）在下列图案中，不能由一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·全国·期中）几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，将直角三角形沿方向平移至三角形，与相交于点G，，三角形的面积为4．下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③．正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为_______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2. 如图，直线，相交于点，下列说法中错误的是（   ）    A． B．和互余 C．与互补 D．与互余 3. 如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4. 下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平移的方向一定是水平的 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 5. 要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是________． 6. 如图，将沿射线BC方向平移到的位置．若，则的长为___________． 7. 如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 8. 如图，在同一平面内，于点，于点，，求证： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，直线，平分，若，则∠2的度数是（        ） A．65° B．60° C．75° D．70° 3. 下列命题中，其中命题成立有（   ）个． ①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 4. 如图，直线， 相交于点， ， 则的度数是________． 5. 如图所示：直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_______． 6. 如图，若，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为___________．（填序号） 7. 看图填空，并在括号内注明理由． 如图，，． 证明： 证明：∵ ∴________（________） ∵（________） ∴________＝（________） ∴（________） 8. 如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 9. 如图，，，．求证：．下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据． 证明：，，（已知） （__________________________） （__________________________） （__________________________） 又（已知）， _______， _______（__________________________） （__________________________） 10. 已知：如图，已知，，求证：    (1) (2) 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 下列说法正确的是（    ） A．同位角相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．内错角相等 D．同角的补角相等 2. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 3. 下列几组图形中，通过平移后能够重合的是（   ） A． B． B．C． D． 4. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式______． 5. （1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 6. 如图，直线交于点O，分别平分和，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7. 填空并完成以下证明： 如图，于点，于点，，，求证：．    证明：∵，（已知）， ∴（______）， ∴（______）， ∴______（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（______）， ∴ ______（内错角相等，两直线平行）， ∵______ （已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 8. 图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两直线相交 题型02 两直线垂直 题型03 三线八角 题型04 两直线平行 题型05 定义、命题、定理 题型06 平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交 理解对顶角、邻补角的定义性质 基础必考点，常出现在角度计算和数量关系推理过程中。 两直线垂直 理解垂直的定义、性质，会过一点画已知直线的垂线；理解垂线段最短的性质 基础必考点，高频易错点，侧重作图与辨析。 三线八角 能准确识别同位角、内错角、同旁内角 基础识图、大题中常作为隐含条件。 两直线平行线 理解平行线的概念、性质、判定 高频考点，重点考查平行线的性质与判定。 定义、命题、定理 理解定义、命题、定理的概念；理解命题的题设、结论的结构，能判断命题的真假；能运用定理进行简单的推理证明. 区分概念、掌握几何语言表述，学好几何的基础，常考辨析与改错。 平移 理解平移的基本性质，能利用平移的性质作图、解决实际问题。 基础必考点，常考操作、画图，结合图案设计考查综合能力。 知识点01 两直线相交 1.定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线。 2.邻补角 (1)邻补角的定义 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做互为邻补角。 图中∠1的邻补角是∠2和∠4,∠2是∠1和∠3的邻补角. （2）邻补角的性质 提问：互为邻补角的两个角有何数量关系？ 答:和是180. （3）几何语言： ∵∠1和∠2是邻补角 ∴∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 3.对顶角 （1）对顶角的定义 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）对顶角的性质 对顶角性质： 对顶角相等 几何语言： ∵∠1和∠3是对顶角 ∴∠1=∠3（ 对顶角相等 ） 知识点02 两直线垂直 1.垂直的定义 （1）定义：如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 举例：线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， （2）几何语言： ∵CD⊥AB ∴∠COB=90o 或者：∵∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的性质 （1）垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. （2）垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 (2) ∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧具有这种位置关系的两个角叫做内错角. （3）∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 知识点04 两直线平行 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线； （1）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 几何语言 若c//a，b//a, 则 b//c 2. 平行线的判定 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，同位角相等，两直线平行。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，内错角相等，两直线平行。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 举例：如图所示，已知 b⏊a，c⏊a，那么直线b、c是什么位置关系？ 答：平行关系， ∵ b⏊a，c⏊a ∴∠1=∠2=90，∴ b//c（同位角相等，两直线平行） 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 知识点05 定义、命题、定理 1. 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 例：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b.以上这些表示判断的陈述句都是命题。 易错点：假命题也是命题。 例：“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 例：“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 2.定理与证明 （1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 知识点06 平移 1. 定义：一个图形沿某方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离 这样的图形运动叫作图形的平移； 2. 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上），且相等。 题型一 两直线相交 解｜题｜技｜巧 1. 利用对顶角相等、邻补角和为180°列等式求角度。 2. 已知一个角，快速求其余三个角。 易｜错｜点｜拨 1. 别把“对顶角”和“邻补角”概念弄混。 2. 角度的计算结果容易漏写单位“°”或度。 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． （1）解：与是对顶角， ， , 即：，； （2）解：平分， ， ， 即：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线相交于点O． (1)的对顶角是 ，的邻补角是 ； (2)若，求的度数． （1）解：的对顶角是， 的邻补角是或， 故答案为：；或； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，求的度数． （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型二 两直线垂直 答｜题｜模｜板 1. 看到垂直直接写夹角等于90°； 2. 判定两条直线垂直通常就要证明它们的夹角等于90°. 易｜错｜点｜拨 在计算和推理时判定两条直线是否垂直不能凭“目测”——看起来像垂直，必须要有依据。 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是（   ） A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 解：过点A作于点B，将水泵房建在了B处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短． 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为（   ） A．155° B．145° C．130° D．125° 解：∵于点O， ∴， ∴， ∵于点O， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）利用网格画图． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到直线 的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． （1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 题型三 三线八角 答｜题｜模｜板 1. 先找准截线，再识别同位角、内错角、同旁内角。 2. 求角时先判断角的位置关系，再套性质。 易｜错｜点｜拨 没平行时，不能直接用同位角相等、内错角相等平行线的性质。 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 解：A、图形中的与是对顶角，故本选项符合题意； B、图形中的与是邻补角，故本选项不符合题意； C、图形中的与不是对顶角，故本选项不符合题意； D、图形中的与是同位角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·上海静安·期中）如图所示的5个角中，内错角有_____对，同旁内角有______对．    解：由图可知： 内错角有：和，和，共2对， 同旁内角有：和，和，和，共3对， 故答案为：2，3． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 题型四 两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 由角的关系推平行（判定），由平行推角的关系（性质）。 2. 多线平行时，用平行传递性：a∥b，b∥c ⇒ a∥c。 易｜错｜点｜拨 1. 判定和性质互逆，经常用反。 2. 只有两直线平行，同旁内角才互补，不平行不能用。 【典例1】（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，是的平分线， ，，你能算出的度数吗？ 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 题型五 定义、命题、定理 答｜题｜模｜板 1. 命题先拆成**“如果……那么……”**，分清题设和结论。 2. 判断真假：真要说理，假举反例即可。 易｜错｜点｜拨 改写命题时，容易漏写主语、条件写反。 【典例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果________________，那么________________． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【典例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列语句是真命题的有__________（填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 解：①若，则，大小不确定，原说法是假命题； ②同旁内角互补，两直线平行，是真命题； ③等角的余角相等，是真命题； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种，是真命题； 故答案为：②③④． 【变式1】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ____________________________． 解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 题型六 平移 答｜题｜模｜板 1. 平移只改位置，形状、大小、方向都不变。 2. 对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 易｜错｜点｜拨 误以为平移会改变角度、长度或图形形状 【典例1】（24-25七年级下·全国·期中）在下列图案中，不能由一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、不能通过平移得到，符合题意； B、可以通过平移得到，不符合题意； C、可以通过平移得到，不符合题意； D、可以通过平移得到，不符合题意． 故选：A． 【典例2】（25-26七年级下·全国·期中）几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 解：根据平移性质可知：，，， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，将直角三角形沿方向平移至三角形，与相交于点G，，三角形的面积为4．下列结论：①；②三角形平移的距离是4；③．正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解：①∵将直角三角形沿方向平移至三角形， ∴． ∴． ∴，故①正确，符合题意； ②三角形平移的距离是的长度，由，可知，则三角形平移的距离大于4，故②错误，不符合题意； ③由平移前后的对应点的连线平行且相等，可知，故③正确，符合题意． 综上，正确的有①③． 故选C． 【变式1】计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为_______． 解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形， ，， 长方形的面积． 答：绿化的面积为． 故答案为：540． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 解：是直线上的一点，是直线外一点，，且， 点到直线的距离是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记定义是解题关键． 2. 如图，直线，相交于点，下列说法中错误的是（   ）    A． B．和互余 C．与互补 D．与互余 解：A．与是对顶角， ，故本选项说法正确，不符合题意； B．， ， 和互余，故本选项说法正确，不符合题意； C．， 与互补，故本选项说法正确，不符合题意； D．与相等，不一定互余，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 解：∵， ∴， ∴， ∵与是对顶角，与是对顶角， ∴， ∴与相等的角共有个， 故选：． 4. 下列命题中，是真命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平移的方向一定是水平的 C．同旁内角互补 D．对顶角相等 解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴A项是假命题； ∵平移的方向可以是铅直的，也可以是倾斜的， ∴B项是假命题； ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴C项是假命题； 对顶角相等, ∴D项是真命题； 故选D． 5. 要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是________． 解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 6. 如图，将沿射线BC方向平移到的位置．若，则的长为___________． 解：∵将沿射线方向平移到的位置． ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 7. 如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 解：（1）平分， ， ； （2）设，则， 根据题意得， 解得， ， ， ． 8. 如图，在同一平面内，于点，于点，，求证： ． 证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 2. 如图，直线，平分，若，则∠2的度数是（        ） A．65° B．60° C．75° D．70° 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选D． 3. 下列命题中，其中命题成立有（   ）个． ①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 解：①错误，因为同旁内角互补，两直线才平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等，正确； ③错误，因为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数； ④错误，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故选：A． 4. 如图，直线， 相交于点， ， 则的度数是________． 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为 5. 如图所示：直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_______． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 6. 如图，若，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为___________．（填序号） 解：∵， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∵， ， 不一定成立， 得不到，即④错误． 综上，正确的有①②③． 故答案为①②③． 7. 看图填空，并在括号内注明理由． 如图，，． 证明： 证明：∵ ∴________（________） ∵（________） ∴________＝（________） ∴（________） 证明：∵ ∴∠BEC（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴ ∠BEC ＝（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） 8. 如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ （1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 9. 如图，，，．求证：．下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据． 证明：，，（已知） （__________________________） （__________________________） （__________________________） 又（已知）， _______， _______（__________________________） （__________________________） 证明：，，（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又（已知）， ， （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 10. 已知：如图，已知，，求证：    (1) (2) （1）证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）； （2）证明：由（1）知， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 下列说法正确的是（    ） A．同位角相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．内错角相等 D．同角的补角相等 解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项错误，不合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故本选项错误，不合题意； C、两直线平行，内错角相等，故本选项错误，不合题意； D、同角的补角相等，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ）    A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大 解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样， 故选：． 3. 下列几组图形中，通过平移后能够重合的是（   ） A． B． B．C． D． 解：A、大小不同，平移后不能重合，不符合题意； B、方向不同，平移后不能重合，不符合题意； C、通过平移可以重合，符合题意； D、方向不同，平移后不能重合，不符合题意； 故选C． 4. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式______． 解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 5. （1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 解：如图， ，即为所求； ； 若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中线段的长度． （2）如图， ，即为所求； ； 6. 如图，直线交于点O，分别平分和，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． （1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 填空并完成以下证明： 如图，于点，于点，，，求证：．    证明：∵，（已知）， ∴（______）， ∴（______）， ∴______（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（______）， ∴ ______（内错角相等，两直线平行）， ∵______ （已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 证明：∵，（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 故答案为：垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握垂线的定义、平行线的判定与性质是解题的关键． 8. 图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． （1）解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $