专题02 实数（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题02 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根 题型02 算术平方根 题型03 立方根 题型04 实数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）-9。 解：（1）∵　(±10)²=100，∴　100 的平方根是　±10； （2）∵　()²=， ∴　 的平方根是； （3）∵²=， ∴　0　的平方根是； （4）∵　任何数的平方都不会是负数，∴ -9 没有平方根。 2.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:，其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 3.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. 知识点02 算术平方根 定义：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 例 求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 解：（1）； （2）； （3）01 总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 例： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 解： 在整数 2 和 3 之间， 在 5 和 6 之间。 知识点03 立方根 1. 定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2. 立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 =- 3. 立方根的小数点移动规律 例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律? 解： =0.06 =0.6 =6 =60 总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 知识点04 实数及其简单的运算 1. 实数的概念及分类 （1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2）实数的分类 （3）实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 2. 实数的运算 （1）实数的相反数 数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. （2）绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||=-（）= （负数的绝对值等于它的相反数） （3）加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） （4）实数的乘方、开方运算 因为 x (x)的平方是 ，所以 是 a 的算术平方根； 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 反之，因为 是 a 的算术平方根，所以 =a； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 同理：，=a . 题型一 平方根 解｜题｜技｜巧 先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 易｜错｜点｜拨 1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（  ） A． B． C．6 D． 题型二 算术平方根 答｜题｜模｜板 结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 易｜错｜点｜拨 结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）的算术平方根是______． 【典例2】（24-25七年级下·四川·期中）已知，则（      ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 题型三 立方根 答｜题｜模｜板 根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 易｜错｜点｜拨 易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 【典例1】（24-25七年级下·福建·期中）若，则的立方根为_______． 【典例2】（24-25七年级下·黑龙江·期中）求下列x的值 (1) (2) (3) 【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 题型四 实数的运算 答｜题｜模｜板 先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 易｜错｜点｜拨 误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 【典例1】（2024七年级下·河南·专题练习）在下列实数中，无理数是（   ） A．0.151515… B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）的相反数是______，绝对值是______． 【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）比较大小：_______2．(填“>”“<”或“=”) 【典例4】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【变式2】（24-25七年级下·湖南·期中）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【变式3】（24-25七年级下·广东·期中）如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____． 【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 下列各数是无理数的是（       ） A．0 B． C． D． 2. 规定：把不超过实数的最大整数记作，例如：，，，则的值等于（  ） A． B． C． D． 3. 下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 4. 下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 的相反数为_____． 6. 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为_______．    7. 求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 8. 计算：． 9. 已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在、、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 2. 观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 3. 计算：_______． 4. 下列实数，0.57557，，，中，其中无理数是_________． 5. 比较大小：7______． 6. （1）计算： （2）求的值： 7. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 8. 动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为2：1． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 2. 比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 比较大小：______，______； 4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为______________． 5. 若的整数部分为a，小数部分为b． (1)求a，b的值； (2)求的值． 6. 计算： 7. 长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 8. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 9. 阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________； (2)已知． ①若x是整数，且，求的值； ②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．    2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平方根 题型02 算术平方根 题型03 立方根 题型04 实数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）-9。 解：（1）∵　(±10)²=100，∴　100 的平方根是　±10； （2）∵　()²=， ∴　 的平方根是； （3）∵²=， ∴　0　的平方根是； （4）∵　任何数的平方都不会是负数，∴-9没有平方根。 2.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:，其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 3.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. 知识点02 算术平方根 定义：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 例 求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 解：（1）；y （2）； （3）01 总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 例： 在整数______和______之间， 在______和______之间。 解： 在整数 2 和 3 之间， 在 5 和 6 之间。 知识点03 立方根 1. 定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2. 立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 =- 3. 立方根的小数点移动规律 例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律? 解： =0.06 =0.6 =6 =60 总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 知识点04 实数及其简单的运算 1. 实数的概念及分类 （1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2）实数的分类 （3）实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 2. 实数的运算 （1）实数的相反数 数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. （2）绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||=-（）= （负数的绝对值等于它的相反数） （3）加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） （4）实数的乘方、开方运算 因为 x (x)的平方是 ，所以 是 a 的算术平方根； 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 反之，因为 是 a 的算术平方根，所以 =a； 因为 是 3 的算术平方根，所以 =3； 归纳： (a0)，=a (a0) ； 同理：，=a . 题型一 平方根 解｜题｜技｜巧 先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 易｜错｜点｜拨 1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（  ） A． B． C．6 D． 【详解】解：∵， ∴36的平方根是， 故选：A． 题型二 算术平方根 答｜题｜模｜板 结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 易｜错｜点｜拨 结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）的算术平方根是______． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：2． 【典例2】（24-25七年级下·四川·期中）已知，则（      ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【详解】解：的算术平方根是：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【详解】解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． 题型三 立方根 答｜题｜模｜板 根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 易｜错｜点｜拨 易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 【典例1】（24-25七年级下·福建·期中）若，则的立方根为_______． 【详解】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·黑龙江·期中）求下列x的值 (1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴ ∴ ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 则或 ∴或． 【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 题型四 实数的运算 答｜题｜模｜板 先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 易｜错｜点｜拨 误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 【典例1】（2024七年级下·河南·专题练习）在下列实数中，无理数是（   ） A．0.151515… B． C． D． 【详解】解：0.151515…、、是有理数，是无理数； 故选：B. 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）的相反数是______，绝对值是______． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）比较大小：_______2．(填“>”“<”或“=”) 【详解】∵， ∴， ∴， ∴．． 故答案为：<． 【典例4】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【详解】（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 【变式2】（24-25七年级下·湖南·期中）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【详解】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·广东·期中）如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴的小数部分， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 下列各数是无理数的是（       ） A．0 B． C． D． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、π是无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 规定：把不超过实数的最大整数记作，例如：，，，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【详解】解：根据的意义得， ， 故选：A． 3. 下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 4. 下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①，故此选项不符合题意； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故此选项符合题意； ③任何实数不是有理数就是无理数，故此选项符合题意； ④两个无理数的和不一定是无理数，故此选项不符合题意； 即：正确的有②③，共2个． 故选：B． 5. 的相反数为_____． 【详解】解：的相反数为， 故答案为：． 6. 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为_______．    【详解】解：输入的值为6时，按程序图计算为：， 开平方后为3时，，取相反数为，， 开平方后为时，， ， 故输出的值为， 故答案为：． 7. 求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 8. 计算：． 【详解】解： ． 9. 已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在、、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 【详解】解：在0，1，，这四个数中，最小的数是：． 故选：C． 2. 观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，第n个等式为 ＝ ∴＝＝ 故选择：C． 3. 计算：_______． 【详解】解： ． 故答案为：0． 4. 下列实数，0.57557，，，中，其中无理数是_________． 【详解】解：，分数，是有理数； 0.57557，有限小数，是有理数； ＝－2，整数，是有理数； 、是无限不循环小数，是无理数． 故答案为：和． 5. 比较大小：7______． 【详解】解：∵ ，且49＞44， ∴， ∴7＞， 故答案为：＞． 6. （1）计算： （2）求的值： 【详解】解：（1）原式 =4； （2）移项，得， ， 直接开平方得． 7. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【详解】（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； （2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案为：；    （3）解：如图所示，即为所求．    8. 动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为2：1． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 【详解】解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但它是无理数，该选项错误； B、根据实数与数轴的关系，实数和数轴上的点是一一对应的，该选项正确； C、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该选项错误； D、算术平方根等于它本身的数是0和，负数没有算术平方根，该选项错误． 故选：B． 2. 比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 3. 比较大小：______，______； 【详解】解：，， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较的方法是解本题的关键． 4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为______________． 【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 5. 若的整数部分为a，小数部分为b． (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算， 对于（1），根据，可知，即可求出答案； 对于（2），将（1）中数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴． 6. 计算： 【详解】解： ； 7. 长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 【详解】解：设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行． 8. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 则格点正方形的面积为，则， ∴． 9. 阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________； (2)已知． ①若x是整数，且，求的值； ②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．    【详解】（1）， ， 的整数部分为4，小数部分为， 即， 故答案为：； （2）①，即， 的整数部分为1，小数部分为， ∴， ∵x是整数，且， ∴， ∴； ②由题意得，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $